สรุปพื้นฐานเมทริกซ์ การหาขนาด การบวก ลบ คูณเมทริกซ์ ความหมายของ det สูตร determinant และวิธีหา Inverse Matrix แบบเข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่าง แบบฝึกหัด และแนวข้อสอบสำหรับเตรียมสอบแข่งขัน
สรุปสูตรเมทริกซ์ det และ Inverse Matrix
เรียนรู้ขนาดของเมทริกซ์ การบวก ลบ คูณ การหา determinant และการหาเมทริกซ์ผกผัน พร้อมแบบฝึกหัดและแนวข้อสอบ
1. เมทริกซ์คืออะไร
เมทริกซ์ (Matrix) คือ ตารางของจำนวน ซึ่งจัดเรียงเป็นแถวและหลัก
เมทริกซ์ตัวอย่างนี้มี 2 แถว และ 2 หลัก จึงมีขนาด 2 × 2
| จำนวนแถว | จำนวนหลัก | ขนาดเมทริกซ์ |
|---|---|---|
| 2 แถว | 3 หลัก | 2 × 3 |
| 3 แถว | 2 หลัก | 3 × 2 |
| 1 แถว | 4 หลัก | 1 × 4 |
2. การบวกและลบเมทริกซ์
เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้ เมื่อเมทริกซ์ทั้งสอง มีขนาดเท่ากัน
3. การคูณเมทริกซ์
ก่อนคูณเมทริกซ์ ต้องตรวจสอบขนาดของเมทริกซ์ทั้งสองก่อน
ตัวอย่าง เมทริกซ์ขนาด 2 × 3 คูณเมทริกซ์ขนาด 3 × 4 สามารถคูณกันได้
4. det คืออะไร
det ย่อมาจาก Determinant ภาษาไทยเรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ หรือตัวกำหนดของเมทริกซ์
กำหนดเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 ดังนี้
สามารถหา det ได้จากสูตร
ตัวอย่างการหา det
5. det สำคัญอย่างไร
det ใช้ตรวจสอบว่าเมทริกซ์สามารถหา Inverse Matrix หรือเมทริกซ์ผกผันได้หรือไม่
| ค่าของ det | ผลที่เกิดขึ้น |
|---|---|
| det(A) ≠ 0 | หา A−1 ได้ |
| det(A) = 0 | หา A−1 ไม่ได้ |
6. Inverse Matrix คืออะไร
Inverse Matrix คือ เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์เดิม เขียนแทนด้วย A−1
เมื่อนำเมทริกซ์เดิมคูณกับเมทริกซ์ผกผัน จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์เอกลักษณ์ทำหน้าที่คล้ายเลข 1 ในการคูณจำนวนจริง
7. สูตรหา Inverse Matrix ขนาด 2 × 2
กำหนดให้
เมื่อ ad − bc ≠ 0 จะได้
ขั้นตอนจำ 3 ขั้น
- หา det โดยใช้สูตร ad − bc
- สลับตำแหน่ง a กับ d
- เปลี่ยนเครื่องหมายของ b และ c
- คูณทั้งเมทริกซ์ด้วย 1 ÷ det(A)
8. ตัวอย่างการหา Inverse Matrix
กำหนดให้
เนื่องจาก det(A) = 7 ≠ 0 จึงสามารถหา Inverse Matrix ได้
สลับเลข 2 กับเลข 5
เปลี่ยนเลข 3 เป็น −3 และเปลี่ยนเลข 1 เป็น −1
9. จุดที่นักเรียนมักทำผิด
- จำสูตร det ผิดจาก ad − bc เป็น ad + bc
- สลับตำแหน่งสมาชิกทั้ง 4 ตัว แทนที่จะสลับเฉพาะมุมซ้ายบนกับมุมขวาล่าง
- ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกมุมขวาบนและมุมซ้ายล่าง
- ลืมหารด้วย det
- พยายามหา Inverse ทั้งที่ det เท่ากับศูนย์
- เข้าใจผิดว่า A−1 คือการนำสมาชิกทุกตัวกลับเศษเป็นส่วน
10. แบบฝึกหัดพื้นฐาน
- 2 × 2
- 2 × 3
- 3 × 2
- 3 × 3
ดูเฉลย
เพราะเมทริกซ์มี 2 แถว และ 3 หลัก
- 5
- 7
- 15
- 23
ดูเฉลย
det(A) = (3)(5) − (2)(4) = 15 − 8 = 7
- 0
- 2
- 4
- 8
ดูเฉลย
det(A) = (1)(4) − (2)(2) = 4 − 4 = 0
ดังนั้นเมทริกซ์นี้ไม่มี Inverse
- det(A) = 0
- det(A) = 1 เท่านั้น
- det(A) ≠ 0
- สมาชิกทุกตัวต้องเป็นจำนวนบวก
ดูเฉลย
เมทริกซ์จะมี Inverse เมื่อ det(A) ≠ 0
แล้ว det(A) เท่ากับเท่าใด
- 5
- 8
- 10
- 11
ดูเฉลย
det(A) = (2)(4) − (1)(3) = 8 − 3 = 5
11. แนวข้อสอบเมทริกซ์
- 2 4 1 2
- 2 1 3 5
- 3 6 1 2
- 4 8 2 4
ดูเฉลย
det(A) = (2)(5) − (1)(3) = 10 − 3 = 7
เนื่องจาก det ไม่เท่ากับศูนย์ จึงหา Inverse ได้
ข้อใดคือ A−1
- 1 2 4 −2 −3 1
- − 1 2 4 −2 −3 1
- 1 2 1 −2 −3 4
- ไม่มี Inverse
ดูเฉลย
det(A) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
และ A ไม่มี Inverse แล้ว x เท่ากับเท่าใด
- 1
- 2
- 3
- 6
ดูเฉลย
เมทริกซ์ไม่มี Inverse แสดงว่า det เท่ากับศูนย์
6x = 6
x = 1
- A ไม่มี Inverse
- A มี Inverse
- A ต้องเป็นเมทริกซ์ศูนย์
- สรุปไม่ได้
ดูเฉลย
เพราะ −5 ไม่เท่ากับศูนย์ จึงสามารถหา Inverse ได้
จงหา A−1
- 1 −1 −2 3
- 3 −1 −2 1
- 1 5 1 −1 −2 3
- ไม่มี Inverse
ดูเฉลย
det(A) = (3)(1) − (1)(2) = 3 − 2 = 1
สรุปสูตรเมทริกซ์ก่อนสอบ
| เรื่อง | สูตรหรือหลักจำ |
|---|---|
| ขนาดเมทริกซ์ | แถว × หลัก |
| การบวกและลบ | ขนาดต้องเท่ากัน และคำนวณตำแหน่งเดียวกัน |
| การคูณ | หลักของตัวหน้า = แถวของตัวหลัง |
| Determinant | det(A) = ad − bc |
| หา Inverse ได้ | det(A) ≠ 0 |
| หา Inverse ไม่ได้ | det(A) = 0 |
| สูตร Inverse | สลับมุม เปลี่ยนกลาง แล้วหาร det |
ถ้า det เป็นศูนย์ จะหา Inverse ไม่ได้
คอมเมนต์