ชวนคิด
จาก EP3 เราแยกตัวประกอบได้ว่า
ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น
เราจะใช้การแยกตัวประกอบเพื่อหาค่า \(x\) ที่ทำให้สมการเป็นจริง
เป้าหมายการเรียนรู้
เมื่อเรียนจบ ผู้เรียนสามารถ
- จัดสมการให้อยู่ในรูป \(ax^2+bx+c=0\)
- แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองได้
- ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ได้ถูกต้อง
- หาคำตอบของสมการกำลังสองได้ครบทุกคำตอบ
- ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่ากลับได้
EP นี้ต่อยอดโดยตรงจาก EP3 เรื่องการแยกตัวประกอบ
สมการกำลังสองคืออะไร
สมการกำลังสองอยู่ในรูปทั่วไป
- \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริง
- \(a\ne0\)
- เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรคือ \(2\)
สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
ถ้าผลคูณของสองจำนวนเป็นศูนย์ แสดงว่าต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนเป็นศูนย์
ดังนั้น
จึงได้
- \(x-2=0 \Rightarrow x=2\)
- \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)
คำตอบคือ \(x=2\) หรือ \(x=3\)
สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ใช้ได้เมื่ออยู่ในรูป “ผลคูณเท่ากับศูนย์” เช่น \((x-2)(x-3)=0\) เท่านั้น
ขั้นตอนมาตรฐาน 4 ขั้น
- ย้าย ทุกพจน์มาอยู่ฝั่งเดียว และให้อีกฝั่งเป็น \(0\)
- แยก ตัวประกอบพหุนามกำลังสอง
- ศูนย์ แต่ละวงเล็บด้วยสมบัติผลคูณเป็นศูนย์
- ตอบ ค่า \(x\) ให้ครบ และตรวจคำตอบ
ตัวอย่างที่ 1: สมการพร้อมแยกตัวประกอบ
หาสองจำนวนที่คูณกันได้ \(12\) และบวกกันได้ \(-7\)
ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
- \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)
- \(x-4=0 \Rightarrow x=4\)
ตัวอย่างที่ 2: ต้องย้ายข้างก่อน
ขั้นที่ 1 ย้าย \(12\) มาฝั่งซ้าย
ขั้นที่ 2 แยก ตัวประกอบ
ขั้นที่ 3 ศูนย์ แต่ละวงเล็บ
- \(x+6=0 \Rightarrow x=-6\)
- \(x-2=0 \Rightarrow x=2\)
ตัวอย่างที่ 3: สัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ไม่เป็น 1
แยกตัวประกอบได้เป็น
- \(2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)
- \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)
ตัวอย่างที่ 4: คำตอบซ้ำ
แยกตัวประกอบได้เป็น
ดังนั้น
การตรวจคำตอบ
นำค่าที่ได้แทนกลับในสมการเดิม
ได้ \(0=0\) จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง
จุดที่พลาดบ่อย
พลาดที่ 1: แยกตัวประกอบทั้งที่อีกฝั่งยังไม่เป็นศูนย์
เช่น \(x^2-5x=6\) ต้องย้ายก่อนเป็น \(x^2-5x-6=0\)
พลาดที่ 2: ตอบไม่ครบสองค่า
จาก \((x-2)(x+5)=0\) ต้องตอบ \(x=2\) และ \(x=-5\)
พลาดที่ 3: ย้ายข้างแล้วเครื่องหมายผิด
\(x+4=0\) ต้องได้ \(x=-4\) ไม่ใช่ \(x=4\)
พลาดที่ 4: ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์กับผลบวก
จาก \(A+B=0\) ยังสรุปไม่ได้ว่า \(A=0\) หรือ \(B=0\)
ลองทำ
ข้อ 1 จงแก้สมการ \(x^2-5x+6=0\)
ดูเฉลย
\((x-2)(x-3)=0\)
ดังนั้น \(x=2\) หรือ \(x=3\)
ข้อ 2 จงแก้สมการ \(x^2+7x+12=0\)
ดูเฉลย
\((x+3)(x+4)=0\)
ดังนั้น \(x=-3\) หรือ \(x=-4\)
ข้อ 3 จงแก้สมการ \(x^2-2x-15=0\)
ดูเฉลย
\((x-5)(x+3)=0\)
ดังนั้น \(x=5\) หรือ \(x=-3\)
ข้อ 4 จงแก้สมการ \(x^2+3x=10\)
ดูเฉลย
ย้ายข้างได้ \(x^2+3x-10=0\)
\((x+5)(x-2)=0\)
ดังนั้น \(x=-5\) หรือ \(x=2\)
ข้อ 5 จงแก้สมการ \(2x^2+5x+2=0\)
ดูเฉลย
\((2x+1)(x+2)=0\)
ดังนั้น \(x=-\frac12\) หรือ \(x=-2\)
ข้อ 6 จงแก้สมการ \(4x^2-25=0\)
ดูเฉลย
\((2x-5)(2x+5)=0\)
ดังนั้น \(x=\frac52\) หรือ \(x=-\frac52\)
Mini Quiz
เลือกคำตอบแล้วกด ตรวจคำตอบ ระบบจะนับคะแนนให้อัตโนมัติ
Challenge
จงแก้สมการ
ดูเฉลย
แยกตัวประกอบได้เป็น
- \(3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac23\)
- \(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
คำตอบคือ \(x=-\frac23\) หรือ \(x=1\)
สรุปท้ายบท
- จัดสมการให้อยู่ในรูป \(ax^2+bx+c=0\)
- แยกตัวประกอบพหุนาม
- ใช้สมบัติ \(AB=0\Rightarrow A=0\) หรือ \(B=0\)
- หาค่า \(x\) ให้ครบทุกค่า
- ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่ากลับ
ย้าย – แยก – ศูนย์ – ตอบ