EP5 การวิเคราะห์ข้อความและเงื่อนไข
ข้อสอบจริงมักไม่ให้สัญลักษณ์ \(p\to q\) มาโดยตรง แต่จะให้ข้อความภาษาไทย เช่น
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจร่างกาย ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบรอบต่อไป
หน้าที่ของผู้ทำข้อสอบคือ แยกข้อความ กำหนดตัวแปร เขียนสัญลักษณ์ และวิเคราะห์ว่าข้อสรุปใดถูกต้อง
\[ \boxed{\text{อ่านข้อความ}} \to \boxed{\text{แยกประพจน์}} \to \boxed{\text{เขียนสัญลักษณ์}} \to \boxed{\text{วิเคราะห์}} \]
อย่าวิเคราะห์ข้อความยาวทั้งหมดในใจ ให้เปลี่ยนข้อความเป็น \(p,q,r\) ก่อน แล้วโจทย์จะสั้นและมองเห็นคำตอบง่ายขึ้น
จุดประสงค์การเรียนรู้
เมื่อเรียนจบ EP5 ผู้เรียนจะสามารถ
- แยกประพจน์ย่อยจากข้อความภาษาไทยได้
- แปลงคำเชื่อมเป็นสัญลักษณ์ตรรกศาสตร์ได้
- ระบุเหตุและผลของข้อความเงื่อนไขได้
- แยกเงื่อนไขจำเป็นและเงื่อนไขเพียงพอได้
- ตรวจจับการกลับเหตุและการปฏิเสธเหตุได้
- วิเคราะห์ว่าข้อสรุปใดสรุปได้จากข้อมูล
1. คำเชื่อมที่ต้องจำ
| ข้อความภาษาไทย | สัญลักษณ์ | อ่านว่า |
|---|---|---|
| ไม่, ไม่มี, ไม่ได้ | \(\neg p\) | ไม่ \(p\) |
| และ, ทั้ง...และ..., แต่ | \(p\land q\) | \(p\) และ \(q\) |
| หรือ | \(p\lor q\) | \(p\) หรือ \(q\) |
| ถ้า...แล้ว... | \(p\to q\) | ถ้า \(p\) แล้ว \(q\) |
| ก็ต่อเมื่อ, ถ้าและเฉพาะถ้า | \(p\leftrightarrow q\) | \(p\) ก็ต่อเมื่อ \(q\) |
แม้จะแสดงความขัดแย้งในภาษาไทย แต่ในตรรกศาสตร์ทำหน้าที่เหมือนคำว่า “และ”
\[ \text{\(p\) แต่ \(q\)} = p\land q \]
2. ขั้นตอนแปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์
- อ่านข้อความให้เข้าใจความหมายโดยรวม
- แยกข้อความที่บอกค่าจริงหรือเท็จได้
- กำหนดตัวแปร \(p,q,r,s\)
- วงคำเชื่อม เช่น ไม่ และ หรือ ถ้า ก็ต่อเมื่อ
- ตรวจว่าอะไรเป็นเหตุและอะไรเป็นผล
- เขียนสัญลักษณ์และอ่านย้อนกลับเพื่อตรวจสอบ
ตัวอย่าง
ถ้านักเรียนอ่านหนังสือและทำแบบฝึกหัด นักเรียนจะสอบผ่าน
\[ p:\text{ นักเรียนอ่านหนังสือ} \]
\[ q:\text{ นักเรียนทำแบบฝึกหัด} \]
\[ r:\text{ นักเรียนสอบผ่าน} \]
จึงเขียนได้เป็น
\[ (p\land q)\to r \]
อ่านสัญลักษณ์กลับเป็นภาษาไทย หากมีความหมายตรงกับข้อความเดิม แสดงว่าโครงสร้างมีแนวโน้มถูกต้อง
3. ตัวอย่างการแปลงข้อความ
ตัวอย่างที่ 1: การปฏิเสธ
กำหนดให้ \(p\) แทน “ผู้สมัครส่งเอกสารครบ”
“ผู้สมัครส่งเอกสารไม่ครบ”
\[ \neg p \]
ตัวอย่างที่ 2: และ
กำหนดให้ \(p\) แทน “ผู้สมัครมีบัตรสอบ” และ \(q\) แทน “ผู้สมัครมีบัตรประชาชน”
“ผู้สมัครมีบัตรสอบและบัตรประชาชน”
\[ p\land q \]
ตัวอย่างที่ 3: แต่
กำหนดให้ \(p\) แทน “ผู้สมัครมาถึงตรงเวลา” และ \(q\) แทน “ผู้สมัครนำบัตรสอบมา”
“ผู้สมัครมาถึงตรงเวลา แต่ไม่ได้นำบัตรสอบมา”
\[ p\land\neg q \]
ตัวอย่างที่ 4: หรือ
กำหนดให้ \(p\) แทน “สอบรอบเช้า” และ \(q\) แทน “สอบรอบบ่าย”
“ผู้สมัครสอบรอบเช้าหรือรอบบ่าย”
\[ p\lor q \]
ตัวอย่างที่ 5: ถ้า...แล้ว...
กำหนดให้ \(p\) แทน “ฝนตก” และ \(q\) แทน “ถนนเปียก”
“ถ้าฝนตก แล้วถนนเปียก”
\[ p\to q \]
ตัวอย่างที่ 6: ผลอยู่หน้าคำว่า “ถ้า”
“ผู้สมัครจะพิมพ์บัตรสอบได้ ถ้าระบบยืนยันการสมัครแล้ว”
\[ p:\text{ ระบบยืนยันการสมัคร} \]
\[ q:\text{ ผู้สมัครพิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ p\to q \]
ข้อความหลังคำว่า “ถ้า” คือเหตุ แม้จะปรากฏหลังผลในประโยค
ตัวอย่างที่ 7: ก็ต่อเมื่อ
“ผู้สมัครผ่านเกณฑ์ ก็ต่อเมื่อได้คะแนนไม่น้อยกว่า 60 คะแนน”
\[ p:\text{ ผู้สมัครผ่านเกณฑ์} \]
\[ q:\text{ ได้คะแนนไม่น้อยกว่า 60 คะแนน} \]
\[ p\leftrightarrow q \]
4. เหตุและผลของข้อความเงื่อนไข
\[ \underbrace{p}_{\text{เหตุ}} \to \underbrace{q}_{\text{ผล}} \]
| ส่วนของข้อความ | ชื่อ | ตำแหน่ง |
|---|---|---|
| \(p\) | เหตุ หรือเงื่อนไขตั้งต้น | ต้นลูกศร |
| \(q\) | ผลที่ตามมา | ปลายลูกศร |
จาก
\[ p\to q \]
ไม่สามารถสรุปว่า
\[ q\to p \]
ตัวอย่างเช่น ถนนเปียกอาจเกิดจากฝนตก รถน้ำ หรือท่อน้ำแตกก็ได้
5. เงื่อนไขเพียงพอและเงื่อนไขจำเป็น
\[ \underbrace{p}_{\text{เงื่อนไขเพียงพอ}} \to \underbrace{q}_{\text{เงื่อนไขจำเป็น}} \]
| หัวข้อ | เงื่อนไขเพียงพอ | เงื่อนไขจำเป็น |
|---|---|---|
| ภาษาอังกฤษ | Sufficient condition | Necessary condition |
| ตำแหน่งใน \(p\to q\) | \(p\) ต้นลูกศร | \(q\) ปลายลูกศร |
| คำจำ | มีเงื่อนไขนี้แล้วเพียงพอให้ได้ผล | ถ้าเหตุเกิด ผลนี้ต้องเกิด |
| รูปประโยคที่พบบ่อย | ถ้า \(p\)... | \(q\) ต้องเกิดตามมา |
\[ \boxed{\text{ต้นลูกศร = เพียงพอ}} \]
\[ \boxed{\text{ปลายลูกศร = จำเป็น}} \]
ตัวอย่างที่ 1
ถ้า \(n\) หารด้วย 4 ลงตัว แล้ว \(n\) เป็นจำนวนคู่
\[ p:\text{ \(n\) หารด้วย 4 ลงตัว} \]
\[ q:\text{ \(n\) เป็นจำนวนคู่} \]
\[ p\to q \]
- หารด้วย 4 ลงตัว เป็นเงื่อนไขเพียงพอของการเป็นจำนวนคู่
- การเป็นจำนวนคู่ เป็นเงื่อนไขจำเป็นของการหารด้วย 4 ลงตัว
แต่การเป็นจำนวนคู่ไม่เพียงพอให้หารด้วย 4 ลงตัว เพราะ 6 เป็นจำนวนคู่ แต่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว
ตัวอย่างที่ 2
ถ้าผู้สมัครเข้าห้องสอบได้ ผู้สมัครต้องมีบัตรประจำตัวสอบ
\[ p:\text{ ผู้สมัครเข้าห้องสอบได้} \]
\[ q:\text{ ผู้สมัครมีบัตรประจำตัวสอบ} \]
\[ p\to q \]
- การเข้าห้องสอบได้ เป็นเงื่อนไขเพียงพอให้ทราบว่ามีบัตรสอบ
- การมีบัตรสอบ เป็นเงื่อนไขจำเป็นของการเข้าห้องสอบได้
- การมีบัตรสอบอย่างเดียวอาจยังไม่เพียงพอ เพราะอาจมาสายหรืออยู่ผิดสนามสอบ
การเป็นเงื่อนไขจำเป็นหรือเพียงพอ ต้องพิจารณาจากข้อความที่โจทย์กำหนด ไม่ควรเติมกฎหรือข้อเท็จจริงภายนอกเอง
6. รูปประโยคที่ออกสอบบ่อย
| รูปประโยค | สัญลักษณ์ | ข้อสังเกต |
|---|---|---|
| ถ้า \(p\) แล้ว \(q\) | \(p\to q\) | \(p\) เพียงพอ และ \(q\) จำเป็น |
| \(q\) ถ้า \(p\) | \(p\to q\) | ข้อความหลัง “ถ้า” เป็นเหตุ |
| \(p\) ได้เฉพาะเมื่อ \(q\) | \(p\to q\) | \(q\) เป็นเงื่อนไขจำเป็น |
| \(p\) ก็ต่อเมื่อ \(q\) | \(p\leftrightarrow q\) | เป็นเงื่อนไขทั้งสองทิศ |
| \(p\) เป็นเงื่อนไขเพียงพอของ \(q\) | \(p\to q\) | เพียงพออยู่ต้นลูกศร |
| \(q\) เป็นเงื่อนไขจำเป็นของ \(p\) | \(p\to q\) | จำเป็นอยู่ปลายลูกศร |
ตัวอย่างคำว่า “เฉพาะเมื่อ”
“ผู้สมัครจะเข้าห้องสอบได้ เฉพาะเมื่อมีบัตรประจำตัวสอบ”
\[ p:\text{ เข้าห้องสอบได้} \]
\[ q:\text{ มีบัตรประจำตัวสอบ} \]
\[ p\to q \]
การมีบัตรประจำตัวสอบเป็นเงื่อนไขจำเป็น แต่ข้อความไม่ได้รับรองว่า มีบัตรแล้วจะเข้าห้องสอบได้แน่นอน
7. ข้อสรุปที่สรุปได้
จากข้อความ
\[ p\to q \]
ข้อสรุปมาตรฐานที่ถูกต้องมีสองรูปแบบ
| ข้อมูลเพิ่มเติม | ข้อสรุป | กฎ |
|---|---|---|
| \(p\) | \(q\) | Modus Ponens |
| \(\neg q\) | \(\neg p\) | Modus Tollens |
ตัวอย่าง Modus Ponens
ถ้าผ่านการตรวจเอกสาร จะได้รับเลขประจำตัวสอบ
ผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร
\[ p\to q,\quad p \therefore q \]
สรุปว่า ผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ
ตัวอย่าง Modus Tollens
ถ้าการสมัครสมบูรณ์ ระบบจะออกบัตรประจำตัวสอบ
ระบบไม่ออกบัตรประจำตัวสอบ
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
สรุปว่า การสมัครยังไม่สมบูรณ์
8. ข้อสรุปที่ห้ามสรุป
\[ p\to q,\quad q \therefore p \quad \text{ไม่สมเหตุสมผล} \]
จาก “ถ้าฝนตก ถนนเปียก” และ “ถนนเปียก” ยังสรุปไม่ได้ว่าฝนตก
\[ p\to q,\quad \neg p \therefore \neg q \quad \text{ไม่สมเหตุสมผล} \]
จาก “ถ้าอ่านหนังสือ จะสอบผ่าน” และ “ไม่ได้อ่านหนังสือ” ยังสรุปไม่ได้ว่าจะสอบไม่ผ่าน
คำว่า “บางคน” ไม่เท่ากับ “ทุกคน” คำว่า “อาจ” ไม่เท่ากับ “ต้อง” และคำว่า “มีโอกาส” ไม่เท่ากับ “แน่นอน”
9. แบบฝึกหัด
ข้อ 1
กำหนดให้ \(p\) แทน “นักเรียนอ่านหนังสือ” และ \(q\) แทน “นักเรียนทำแบบฝึกหัด”
จงเขียนข้อความ “นักเรียนอ่านหนังสือแต่ไม่ทำแบบฝึกหัด”
ดูเฉลย
\[ p\land\neg q \]
คำว่า “แต่” เชื่อมแบบเดียวกับ “และ”
ข้อ 2
กำหนดให้ \(p\) แทน “ส่งเอกสารครบ” และ \(q\) แทน “การสมัครสมบูรณ์”
“ถ้าส่งเอกสารครบ การสมัครจะสมบูรณ์”
ดูเฉลย
\[ p\to q \]
ข้อ 3
จาก \(p\to q\) ข้อใดเป็นเงื่อนไขเพียงพอ
ดูเฉลย
\(p\) เป็นเงื่อนไขเพียงพอของ \(q\) เพราะอยู่ต้นลูกศร
ข้อ 4
จาก \(p\to q\) ข้อใดเป็นเงื่อนไขจำเป็น
ดูเฉลย
\(q\) เป็นเงื่อนไขจำเป็นของ \(p\) เพราะอยู่ปลายลูกศร
ข้อ 5
“ผู้สมัครจะเข้าห้องสอบได้ เฉพาะเมื่อมีบัตรประจำตัวสอบ”
กำหนดให้ \(p\) แทน “เข้าห้องสอบได้” และ \(q\) แทน “มีบัตรประจำตัวสอบ”
ดูเฉลย
\[ p\to q \]
การมีบัตรประจำตัวสอบเป็นเงื่อนไขจำเป็น
ข้อ 6
“ผู้สมัครจะผ่านเกณฑ์ ก็ต่อเมื่อได้คะแนนถึงเกณฑ์”
กำหนดให้ \(p\) แทน “ผ่านเกณฑ์” และ \(q\) แทน “ได้คะแนนถึงเกณฑ์”
ดูเฉลย
\[ p\leftrightarrow q \]
ข้อ 7
ถ้าฝนตก ถนนเปียก
วันนี้ฝนตก
สรุปอะไรได้
ดูเฉลย
สรุปว่า วันนี้ถนนเปียก โดยใช้ Modus Ponens
\[ p\to q,\quad p \therefore q \]
ข้อ 8
ถ้าฝนตก ถนนเปียก
วันนี้ถนนไม่เปียก
สรุปอะไรได้
ดูเฉลย
สรุปว่า วันนี้ฝนไม่ตก โดยใช้ Modus Tollens
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
ข้อ 9
ถ้าฝนตก ถนนเปียก
วันนี้ถนนเปียก
สรุปว่าฝนตกได้หรือไม่
ดูเฉลย
สรุปไม่ได้ เพราะเป็นการกลับเหตุเป็นผล ถนนอาจเปียกจากสาเหตุอื่น
ข้อ 10
ถ้าอ่านหนังสือ จะสอบผ่าน
นักเรียนไม่ได้อ่านหนังสือ
สรุปว่าสอบไม่ผ่านได้หรือไม่
ดูเฉลย
สรุปไม่ได้ เพราะเป็นการปฏิเสธเหตุ นักเรียนอาจสอบผ่านจากการเรียนในห้อง หรือการเตรียมตัวด้วยวิธีอื่น
10. Challenge
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
- ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ และชำระค่าธรรมเนียมแล้ว ระบบจะยืนยันการสมัคร
- ถ้าระบบยืนยันการสมัคร ผู้สมัครจะพิมพ์บัตรสอบได้
- ถ้าผู้สมัครพิมพ์บัตรสอบไม่ได้ ผู้สมัครจะเข้าห้องสอบไม่ได้
กำหนดให้
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ชำระค่าธรรมเนียมแล้ว} \]
\[ r:\text{ ระบบยืนยันการสมัคร} \]
\[ s:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ t:\text{ เข้าห้องสอบได้} \]
จงเขียนข้อความทั้งหมดเป็นสัญลักษณ์ และหาข้อสรุปเมื่อทราบว่า \(p\) และ \(q\) เป็นจริง
ดูเฉลยฉบับเต็ม
แปลงข้อความ
\[ (p\land q)\to r \]
\[ r\to s \]
\[ \neg s\to\neg t \]
วิเคราะห์
เมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นจริง สามารถรวมเป็น \(p\land q\)
\[ p,\ q \therefore p\land q \]
จาก \((p\land q)\to r\) และ \(p\land q\)
\[ \therefore r \]
จาก \(r\to s\) และ \(r\)
\[ \therefore s \]
จึงสรุปว่า ระบบยืนยันการสมัคร และผู้สมัครพิมพ์บัตรสอบได้
ข้อความที่ 3 ให้เพียง \(\neg s\to\neg t\) ไม่ได้ให้ \(s\to t\)
11. Mini Quiz
เลือกคำตอบที่ถูกต้องแล้วกดตรวจคำตอบ
ข้อ 1
กำหนดให้ \(p\) แทน “ฝนตก” และ \(q\) แทน “ถนนเปียก” ข้อความ “ถ้าฝนตก ถนนเปียก” เขียนอย่างไร
ข้อ 2
จาก \(p\to q\) ข้อใดเป็นเงื่อนไขเพียงพอ
ข้อ 3
จาก \(p\to q\) ข้อใดเป็นเงื่อนไขจำเป็นของ \(p\)
ข้อ 4
“นักเรียนสอบผ่าน ก็ต่อเมื่อได้คะแนนถึงเกณฑ์” ควรใช้เครื่องหมายใด
ข้อ 5
จาก \(p\to q\) และ \(q\) ข้อใดถูกต้องที่สุด
ข้อ 6
จาก \(p\to q\) และ \(\neg q\) สรุปข้อใดได้
ข้อ 7
“เข้าห้องสอบได้เฉพาะเมื่อมีบัตรสอบ” กำหนดให้ \(p\) แทน “เข้าห้องสอบได้” และ \(q\) แทน “มีบัตรสอบ”
ข้อ 8
กำหนดให้ \(p\) แทน “มีบัตรสอบ” และ \(q\) แทน “มาถึงตรงเวลา” ข้อความ “มีบัตรสอบแต่ไม่มาถึงตรงเวลา” เขียนอย่างไร
ข้อ 9
ถ้าอ่านหนังสือ จะสอบผ่าน
นักเรียนไม่ได้อ่านหนังสือ
ข้อใดถูกต้อง
ข้อ 10
ถ้าผ่านตรวจเอกสาร จะได้รับเลขประจำตัวสอบ
ผู้สมัครผ่านตรวจเอกสาร
สรุปข้อใดได้
คะแนนที่ได้: 0 / 10
12. Exam Coach: เทคนิคทำข้อสอบ
มองหาคำว่า ไม่ และ หรือ ถ้า เฉพาะเมื่อ และก็ต่อเมื่อ
อย่าพยายามจำ Necessary และ Sufficient จากภาษาไทยอย่างเดียว ให้เขียน \(p\to q\) ก่อน
ต้นลูกศรเป็นเงื่อนไขเพียงพอ ปลายลูกศรเป็นเงื่อนไขจำเป็น
รูปที่ใช้ได้ทันทีคือ \(p\to q,\ p\therefore q\) และ \(p\to q,\ \neg q\therefore\neg p\)
ตัวเลือกที่ใช้คำว่า “ทุกคน” “แน่นอน” หรือ “ต้อง” อาจแรงกว่าข้อมูลที่โจทย์ให้
13. สรุป EP5 ภายใน 1 นาที
| ภาษาไทย | สัญลักษณ์ |
|---|---|
| ไม่ | \(\neg\) |
| และ, แต่ | \(\land\) |
| หรือ | \(\lor\) |
| ถ้า...แล้ว... | \(\to\) |
| ก็ต่อเมื่อ | \(\leftrightarrow\) |
\[ \boxed{ \underbrace{p}_{\text{เพียงพอ}} \to \underbrace{q}_{\text{จำเป็น}} } \]
- ข้อความหลังคำว่า “ถ้า” มักเป็นเหตุ
- อย่ากลับลูกศรจาก \(p\to q\) เป็น \(q\to p\)
- จาก \(p\to q\) และ \(p\) สรุป \(q\) ได้
- จาก \(p\to q\) และ \(\neg q\) สรุป \(\neg p\) ได้
- จาก \(p\to q\) และ \(q\) ยังสรุป \(p\) ไม่ได้
- จาก \(p\to q\) และ \(\neg p\) ยังสรุป \(\neg q\) ไม่ได้
- คำว่า “เฉพาะเมื่อ” ชี้ไปยังเงื่อนไขจำเป็น
- คำว่า “ก็ต่อเมื่อ” แสดงเงื่อนไขทั้งสองทิศ
แยกข้อความ → กำหนดตัวแปร → วาดลูกศร
ต้นลูกศรเพียงพอ → ปลายลูกศรจำเป็น
เหตุจริงผลจริง → ผลไม่จริงเหตุไม่จริง
ห้ามกลับเหตุ → ห้ามปฏิเสธเหตุ
EP6 จะเรียนเรื่อง สัจจนิรันดร์ สูตรสมมูล และการพิสูจน์ เพื่อใช้เปลี่ยนรูปประพจน์และตรวจสอบว่า ข้อความสองรูปมีความหมายทางตรรกศาสตร์เหมือนกันหรือไม่