ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP31 พิเศษ: ตรีโกณมิติจากโจทย์จริง

เรียนรู้พื้นฐานตรีโกณมิติจากโจทย์ประยุกต์เรื่อง “เสาสองต้นกับมุมเงย” ฝึกวิเคราะห์โจทย์

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

📐
พื้นฐานโจทย์ตรีโกณมิติประยุกต์

มุมเงย • มุมก้ม • เสาสองต้น • จุดกึ่งกลาง • มุมประกอบกันเป็นมุมฉาก

🎯
EP • Trigonometry Application

ทบทวนพื้นฐานที่จำเป็นก่อนทำโจทย์เสาสองต้น

บทนี้เน้นการมองโจทย์จากสถานการณ์จริง โดยเฉพาะโจทย์ที่ให้เสา อาคาร ต้นไม้ หรือวัตถุ 2 ต้น แล้วให้ระยะห่างและมุมที่มองจากจุดหนึ่ง สิ่งสำคัญไม่ใช่รีบแทนสูตร แต่ต้องมองให้ออกว่า ด้านไหนคือสูง ด้านไหนคือระยะทาง และมุมไหนสัมพันธ์กัน

เป้าหมายของบท
  • แยกด้านตรงข้ามมุม ด้านประชิดมุม และด้านตรงข้ามมุมฉากได้
  • ใช้ tan θ = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด ได้
  • รู้ว่าเมื่อมีจุดกึ่งกลาง ระยะ 120 เมตรจะแบ่งเป็น 60 และ 60
  • เข้าใจว่า “มุมประกอบกันเป็นมุมฉาก” หมายถึงผลบวกของมุม = 90°
  • ใช้สมบัติ tan θ × tan(90° − θ) = 1 ในโจทย์ที่เหมาะสมได้
  • แยก “ความสูงของเสา” ออกจาก “ระยะทางบนพื้น” ไม่ให้สับสนกับตัวแปร x
📘

1. พื้นฐานที่ต้องรู้ก่อน

1.1 สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งเท่ากับ 90° และมีด้านสำคัญ 3 ด้าน

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก = ด้านยาวที่สุด
  • ด้านตรงข้ามมุม θ = ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับ θ
  • ด้านประชิดมุม θ = ด้านที่ติดกับ θ แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

1.2 สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในบทนี้

\[ \tan\theta=\frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }\theta} {\text{ด้านประชิดมุม }\theta} \]
สำหรับโจทย์เสา

ถ้ามองจากพื้นขึ้นไปหา “ยอดเสา” ความสูงของเสามักเป็น ด้านตรงข้ามมุม และระยะจากจุดยืนไปโคนเสามักเป็น ด้านประชิดมุม

📏

2. จุดกึ่งกลางต้องสังเกตอย่างไร

ถ้าโจทย์บอกว่า จุด M เป็น จุดกึ่งกลาง ของ A และ C และ AC = 120 เมตร

\[ AM=MC=\frac{120}{2}=60 \]
จุดที่มักพลาด

ถ้าเรากำหนด \(x\) เป็น “ความสูงของเสา” อย่านำ \(x\) ไปทำเป็น \(60-x\) เพราะ 60 เป็น ระยะทางบนพื้น ส่วน \(x\) เป็น ความสูง เป็นคนละปริมาณกัน

📐

3. มุมประกอบกันเป็นมุมฉาก

ถ้าโจทย์บอกว่า “มุมเงยของจุด B และจุด D ต่างเป็นมุมประกอบหนึ่งมุมฉาก” หมายถึง

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

ดังนั้น \(\phi=90^\circ-\theta\) และมีสมบัติสำคัญว่า

\[ \tan\theta\tan(90^\circ-\theta)=1 \]

เพราะ \[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta} \]

จำแบบสอบเร็ว

“มุมรวม 90°” → คิดถึง tan × tan = 1 เมื่อเป็นมุมแหลมที่เป็นคู่ประกอบกัน

🧠

4. ตัวอย่างโจทย์จริงตามภาพ

เสา \(AB\) และ \(CD\) ตั้งอยู่บนพื้นที่จุด A และจุด C ซึ่งห่างกัน 120 เมตร จากจุดกึ่งกลางระหว่างจุด A และจุด C มุมเงยของจุด B และจุด D ต่างเป็นมุมประกอบหนึ่งมุมฉาก ถ้าเสา \(AB\) สูงเป็นสามเท่าของเสา \(CD\) แล้วเสา \(AB\) สูงกี่เมตร

ตัวเลือก

  1. \(10\sqrt3\)
  2. \(20\sqrt3\)
  3. \(30\sqrt3\)
  4. \(40\sqrt3\)
  5. \(60\sqrt3\)
ดูแนวคิดทีละขั้น

ขั้นที่ 1 หาระยะจากจุดกึ่งกลาง

\[ AM=MC=\frac{120}{2}=60 \]

ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปร

ให้เสา \(CD=x\) เมตร

\[ CD=x,\qquad AB=3x \]

ขั้นที่ 3 ใช้ tan กับเสาทั้งสอง

\[ \tan\theta=\frac{3x}{60} \] \[ \tan\phi=\frac{x}{60} \]

ขั้นที่ 4 ใช้มุมรวม 90°

\[ \theta+\phi=90^\circ \quad\Rightarrow\quad \tan\theta\tan\phi=1 \]
\[ \frac{3x}{60}\times\frac{x}{60}=1 \] \[ \frac{3x^2}{3600}=1 \] \[ 3x^2=3600 \] \[ x^2=1200 \] \[ x=20\sqrt3 \]

แต่โจทย์ถาม \(AB=3x\)

\[ AB=3(20\sqrt3)=60\sqrt3 \]

ตอบ E. \(60\sqrt3\) เมตร

จุดสังเกตของข้อนี้
  1. 120 เมตร → จุดกึ่งกลาง → 60 และ 60
  2. สูงเป็น 3 เท่า → ให้ \(CD=x,\ AB=3x\)
  3. มุมรวม 90° → tan × tan = 1
  4. อย่าสับสน \(x\) ที่เป็นความสูงกับ 60 ที่เป็นระยะทาง
⚡

5. สูตรและจุดสังเกตที่ควรจำก่อนทำข้อสอบ

\[ \tan\theta=\frac{\text{สูง}}{\text{ระยะราบ}} \]
\[ \theta+\phi=90^\circ \Rightarrow \tan\theta\tan\phi=1 \]
\[ a^2+b^2=c^2 \]

เช็กลิสต์ 5 วินาทีก่อนตั้งสมการ

  1. จุดไหนคือจุดยืน/จุดมอง?
  2. จุดไหนคือโคนเสา?
  3. ความสูงคือด้านใด?
  4. ระยะบนพื้นคือด้านใด?
  5. มีจุดกึ่งกลางหรือไม่?
  6. มุมสองมุมรวมกันเป็น 90° หรือไม่?
✏️

6. แบบฝึกหัดพื้นฐาน 10 ข้อ

ลองทำด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย เน้นสร้างพื้นฐานและการมองโจทย์

  1. ถ้า \(\tan\theta=\frac{3}{4}\) จงหาค่า \(\tan\theta\times\frac{4}{3}\)

    ดูเฉลย

    \(\frac34\times\frac43=1\)

    ตอบ 1

  2. สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุม \(\theta\) ยาว 6 และด้านประชิดยาว 8 จงหา \(\tan\theta\)

    ดูเฉลย
    \[\tan\theta=\frac68=\frac34\]

  3. ถ้าเสาสูง 12 เมตร และจุดยืนห่างจากโคนเสา 12 เมตร จงหาค่า \(\tan\theta\)

    ดูเฉลย
    \[\tan\theta=\frac{12}{12}=1\]

  4. เส้นทางระหว่าง A และ C ยาว 100 เมตร และ M เป็นจุดกึ่งกลาง จงหา \(AM\)

    ดูเฉลย
    \[AM=\frac{100}{2}=50\text{ เมตร}\]

  5. ถ้า \(\theta+\phi=90^\circ\) และ \(\tan\theta=2\) จงหา \(\tan\phi\)

    ดูเฉลย
    \[\tan\theta\tan\phi=1\Rightarrow2\tan\phi=1\Rightarrow\tan\phi=\\frac{1}{2}\]

  6. เสา A สูง 15 เมตร สูงเป็น 3 เท่าของเสา B จงหาความสูงของเสา B

    ดูเฉลย
    \[15=3x\Rightarrowx=5\]

  7. ถ้า \(\tan\theta=\frac{5}{12}\) และ \(\theta\) เป็นมุมแหลม จงหาอัตราส่วนด้านตรงข้าม : ด้านประชิด

    ดูเฉลย

    จากนิยาม tan อัตราส่วนคือ 5 : 12

  8. ถ้า \(\theta=35^\circ\) และ \(\phi\) เป็นมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก จงหา \(\phi\)

    ดูเฉลย
    \[\phi=90^\circ-35^\circ=55^\circ\]

  9. ถ้าระยะห่างจากจุดยืนถึงโคนเสา 20 เมตร และ \(\tan\theta=\\frac{3}{2}\) จงหาความสูงของเสา

    ดูเฉลย
    \[\frac{h}{20}=\\frac{3}{2}\Rightarrow h=30\Rightarrow30\text{ เมตร}\]

  10. ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 9 และ 12 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

    ดูเฉลย
    \[c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\]
🎓

7. แนวข้อสอบเพิ่มเติม 10 ข้อ

เน้นการประยุกต์: เสาสองต้น มุมเงย จุดกึ่งกลาง อัตราส่วน และมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก

ตอบแล้ว 0/10 ข้อ คะแนน 0/10

ข้อ 1

เสา \(AB\) และ \(CD\) ตั้งอยู่บนจุด A และ C ซึ่งห่างกัน 120 เมตร จุด M เป็นจุดกึ่งกลางของ AC มุมเงยจาก M ไปยังยอดเสาทั้งสอง เป็นมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก ถ้า \(AB=3CD\) แล้ว \(AB\) เท่ากับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ AM=MC=60,\quad CD=x,\quad AB=3x \] \[ \frac{3x}{60}\frac{x}{60}=1 \Rightarrow3x^2=3600 \Rightarrow x=20\sqrt3 \] \[ AB=3x=60\sqrt3 \]

ตอบ E

ข้อ 2

จากจุด M ห่างจากโคนเสา 30 เมตร และมุมเงยไปยอดเสาเป็น \(45^\circ\) เสาสูงเท่าใด
ดูคำอธิบาย \[\tan45^\circ=\frac{h}{30}=1\Rightarrowh=30\]

ตอบ D

ข้อ 3

ถ้า \(\theta+\phi=90^\circ\) และ \(\tan\theta=\frac{2}{3}\) แล้ว \(\tan\phi\) เท่ากับข้อใด
ดูคำอธิบาย \[\tan\theta\tan\phi=1\Rightarrow\\frac{2}{3}\tan\phi=1\Rightarrow\tan\phi=\\frac{3}{2}\]

ตอบ B

ข้อ 4

เสา A สูงเป็น 2 เท่าของเสา B ทั้งสองเสาอยู่ห่างจากจุดสังเกตเท่ากัน ถ้ามุมเงยไปยอดเสา A มีค่าแทนเจนต์เท่ากับ 2 แล้วแทนเจนต์ของมุมเงยไปยอดเสา B เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ความสูงลดครึ่งหนึ่ง แต่ระยะราบเท่าเดิม ดังนั้นค่า tan ลดครึ่งหนึ่ง

\[\tan B=\frac22=1\]

ข้อ 5

จุด M เป็นจุดกึ่งกลางของ A และ C ถ้า \(AC=180\) เมตร แล้ว \(MC\) เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย \[MC=\frac{180}{2}=90\]

ตอบ E

ข้อ 6

จากจุดสังเกตห่างจากโคนเสา 40 เมตร ถ้าเสาสูง \(40\sqrt3\) เมตร มุมเงยมีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย \[\tan\theta=\frac{40\sqrt3}{40}=\sqrt3\Rightarrow\theta=60^\circ\]

ตอบ A

ข้อ 7

เสา \(AB\) สูง \(30\) เมตร และเสา \(CD\) สูง \(10\) เมตร จุดสังเกตอยู่ห่างจากโคนเสาทั้งสองเท่ากัน ถ้า \(\tan\theta\) สำหรับเสา AB เท่ากับ 3 แล้ว \(\tan\phi\) สำหรับเสา CD เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ระยะราบเท่ากัน ดังนั้น tan แปรผันตรงกับความสูง

\[\tan\phi=3\times\frac{10}{30}=\boxed{1}\]

ตอบ D

ข้อ 8

ถ้าเสา A สูง \(2x\) เมตร เสา B สูง \(x\) เมตร และจุดสังเกตอยู่ห่างจากโคนเสา A เป็น 40 เมตร และห่างจากโคนเสา B เป็น 20 เมตร จงเปรียบเทียบ \(\tan\theta_A\) กับ \(\tan\theta_B\)
ดูคำอธิบาย \[\tan\theta_A=\frac{2x}{40}=\frac{x}{20}\] \[\tan\theta_B=\frac{x}{20}\] ดังนั้น \(\tan\theta_A=\tan\theta_B\)

ตอบ B

ข้อ 9

เสาสองต้นอยู่ห่างกัน 160 เมตร จุดสังเกตอยู่ตรงกึ่งกลาง ถ้าเสาต้นแรกสูงเป็น 4 เท่าของเสาต้นที่สอง และมุมเงยทั้งสองรวมกันเป็น \(90^\circ\) เสาต้นที่สองสูงเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ระยะจากจุดกลางถึงแต่ละเสา = 80 เมตร

\[ \frac{4x}{80}\frac{x}{80}=1 \Rightarrow4x^2=6400 \Rightarrow x^2=1600 \Rightarrowx=40 \]

คำตอบที่ถูกต้องคือ 40 เมตร — ตัวเลือก D

ข้อ 10

จุด P อยู่ห่างจากโคนเสา 50 เมตร มุมเงยไปยอดเสาเป็น \(30^\circ\) ถ้า \(\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}\) ความสูงของเสาเท่ากับข้อใด

ดูคำอธิบาย \[ \tan30^\circ=\frac{h}{50}=\frac1{\sqrt3} \Rightarrow h=\frac{50}{\sqrt3} \]

ตอบ A

📌

8. สรุป 1 นาที

\[ \tan\theta=\frac{\text{สูง}}{\text{ระยะราบ}} \]
\[ \text{จุดกึ่งกลาง}\Rightarrow\text{แบ่งระยะเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน} \]
\[ \theta+\phi=90^\circ \Rightarrow\tan\theta\tan\phi=1 \]
  • ฉันแยกความสูงกับระยะราบได้
  • ฉันรู้ว่าเมื่อมีจุดกึ่งกลาง 120 เมตร จะได้ 60 และ 60
  • ฉันใช้ \(\tan=\frac{\text{สูง}}{\text{ระยะราบ}}\) ได้
  • ฉันเข้าใจมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก
  • ฉันรู้ว่า \(x\) ต้องกำหนดให้เป็นปริมาณชนิดเดียวกัน
  • ฉันไม่เอา “ความสูง x” ไปปนกับ “ระยะทาง 60”
หัวใจของบท

เวลาเจอโจทย์ลักษณะนี้ อย่าเพิ่งคำนวณทันที ให้หยุด 5 วินาทีแล้วถามว่า

\[ \text{จุดกึ่งกลาง?} \rightarrow \text{สูงเท่าไร?} \rightarrow \text{ระยะราบเท่าไร?} \rightarrow \tan \rightarrow \text{มุมรวม 90° หรือไม่?} \]

ถ้ามองโครงสร้างออก การคำนวณจะง่ายขึ้นมาก

📐

3.1 สองมุมรวมกันเป็น 90° หมายความว่าอย่างไร

ก่อนใช้สูตรตรีโกณมิติ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจคำว่า “สองมุมรวมกันเป็น 90°”

\[ \boxed{\theta+\phi=90^\circ} \]

หมายความว่า ถ้าเรารู้มุมหนึ่งแล้ว สามารถหามุมอีกมุมหนึ่งได้จาก

\[ \boxed{\phi=90^\circ-\theta} \]
ตัวอย่างง่าย ๆ

ถ้า \[ \theta=30^\circ \] แล้ว

\[ \phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ \]

ดังนั้น \(30^\circ\) และ \(60^\circ\) เป็นมุมที่รวมกันได้ \(90^\circ\)

ทำไมจึงเกี่ยวข้องกับ tan?

เพราะเมื่อสองมุมเป็นมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก เราจะสามารถใช้ความสัมพันธ์ ระหว่าง tan และ cot ได้

\[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta \]

และจากสูตรส่วนกลับ

\[ \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta} \]

ดังนั้น

\[ \boxed{ \tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta} } \]

จึงได้สูตรสำคัญสำหรับทำข้อสอบ

ถ้า \[ \theta+\phi=90^\circ \] แสดงว่า \[ \phi=90^\circ-\theta \]

ดังนั้น

\[ \tan\phi = \tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta} \]

นำ \(\tan\theta\) คูณทั้งสองข้าง จะได้

\[ \boxed{ \tan\theta\tan\phi=1 } \]
อย่าเพิ่งจำว่า “มุมรวม 90° → tan × tan = 1” อย่างเดียว

ให้เข้าใจที่มาก่อนว่า

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

จึงเขียนได้ว่า

\[ \phi=90^\circ-\theta \]

และ

\[ \tan\phi = \frac{1}{\tan\theta} \]

จึงสรุปได้ว่า \(\tan\theta\tan\phi=1\)

ลองดูตัวเลขเพื่อให้เห็นภาพ

สมมติว่า

\[ \tan\theta=\frac{3}{4} \]

เพราะสองมุมรวมกันเป็น \(90^\circ\) เราจึงได้

\[ \tan\phi=\frac{1}{\frac34} =\frac43 \]

ตรวจสอบได้ว่า

\[ \frac34\times\frac43=1 \]

จึงเห็นได้ว่า ค่า tan ของสองมุมที่ประกอบกันเป็น 90° เป็นส่วนกลับกัน

จุดสังเกตเวลาเจอข้อสอบ
  1. เห็นคำว่า “สองมุมรวมกันเป็น 90°” → เขียน \(\theta+\phi=90^\circ\)
  2. เปลี่ยนมุมหนึ่งเป็น \(90^\circ-\theta\)
  3. ถ้าเป็น tan ให้คิดถึง \[ \tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta} \]
  4. จึงใช้ทางลัดได้ว่า \[ \boxed{\tan\theta\tan\phi=1} \]

เชื่อมโยงกับโจทย์เสาสองต้น

ในโจทย์เสาสองต้น จุดสังเกตอยู่ระหว่างเสา ทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป และโจทย์กำหนดให้มุมเงยทั้งสอง รวมกันเป็น \(90^\circ\)

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

แล้วนำไปเชื่อมกับ

\[ \tan\theta = \frac{\text{ความสูงเสาต้นที่ 1}} {\text{ระยะจากจุดสังเกตถึงโคนเสา}} \]

และ

\[ \tan\phi = \frac{\text{ความสูงเสาต้นที่ 2}} {\text{ระยะจากจุดสังเกตถึงโคนเสา}} \]

จากนั้นจึงใช้

\[ \boxed{\tan\theta\tan\phi=1} \]
หัวใจของเรื่องนี้

อย่ามองว่า “tan × tan = 1 เป็นสูตรที่ต้องท่อง” แต่ให้มองเป็นลำดับความคิด

\[ \boxed{ \theta+\phi=90^\circ \rightarrow \phi=90^\circ-\theta \rightarrow \tan\phi=\frac{1}{\tan\theta} \rightarrow \tan\theta\tan\phi=1 } \]
📐

3.1 สองมุมรวมกันเป็น 90° ทำไมจึงเกี่ยวกับ tan?

จุดสำคัญของโจทย์ประเภทนี้คือ “สองมุมรวมกันเป็น 90°”

ก่อนจะจำสูตรว่า tan × tan = 1 เรามาทำความเข้าใจทีละขั้นว่า เลข 1 มาจากไหน

ขั้นที่ 1 : สองมุมรวมกันเป็น 90° คืออะไร?

ถ้าเรามีมุมสองมุม คือ \(\theta\) และ \(\phi\) และโจทย์บอกว่าทั้งสองมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก

\[ \boxed{\theta+\phi=90^\circ} \]

หมายความว่า เมื่อนำมุมทั้งสองมาบวกกัน จะได้มุมฉากพอดี

ตัวอย่าง
\[ 30^\circ+60^\circ=90^\circ \]

ดังนั้น \(30^\circ\) และ \(60^\circ\) เป็น มุมประกอบกันเป็นมุมฉาก

ขั้นที่ 2 : ถ้ารู้มุมหนึ่ง จะหามุมอีกมุมอย่างไร?

จาก

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

ย้าย \(\theta\) ไปอีกข้าง

\[ \boxed{\phi=90^\circ-\theta} \]
ตัวอย่าง

ถ้า \[ \theta=30^\circ \]

ดังนั้น \[ \phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ \]

ขั้นที่ 3 : ทำไม \(\tan(90^\circ-\theta)\) จึงกลายเป็น \(\cot\theta\)?

ตรงนี้เป็นจุดสำคัญมาก เราสามารถดูจากนิยามของ sin, cos และ tan

จำก่อนว่า

\[ \boxed{ \tan\theta= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} } \]

และมีความสัมพันธ์ของมุมประกอบกันเป็น \(90^\circ\) ว่า

\[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta \]
\[ \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta \]

ดังนั้น ถ้าเราต้องการหา \(\tan(90^\circ-\theta)\) เราใช้สูตร tan โดยตรง

\[ \tan(90^\circ-\theta) = \frac{ \sin(90^\circ-\theta) }{ \cos(90^\circ-\theta) } \]

แทนความสัมพันธ์ของ sin และ cos

\[ = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]

แต่

\[ \boxed{ \cot\theta= \frac{\cos\theta}{\sin\theta} } \]

ดังนั้น

\[ \boxed{ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta } \]

ขั้นที่ 4 : แล้วทำไม \(\cot\theta\) จึงเป็นส่วนกลับของ tan?

เรามาดูจากนิยามของทั้งสองตัว

\[ \tan\theta= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
\[ \cot\theta= \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]

จะเห็นว่าเศษกับส่วน สลับตำแหน่งกัน

\[ \boxed{ \cot\theta= \frac{1}{\tan\theta} } \]
จำง่าย ๆ

tan กับ cot เป็น ส่วนกลับกัน

\[ \tan\theta\times\cot\theta=1 \]

ขั้นที่ 5 : นำทุกอย่างมารวมกัน

เรารู้แล้วว่า

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

ดังนั้น

\[ \phi=90^\circ-\theta \]

จึงสามารถเขียนได้ว่า

\[ \tan\phi = \tan(90^\circ-\theta) \]

จากขั้นที่ 3

\[ \tan(90^\circ-\theta) = \cot\theta \]

และจากขั้นที่ 4

\[ \cot\theta= \frac{1}{\tan\theta} \]

ดังนั้น

\[ \boxed{ \tan\phi= \frac{1}{\tan\theta} } \]

ขั้นที่ 6 : ที่มาของ \(\tan\theta\tan\phi=1\)

จาก

\[ \tan\phi= \frac{1}{\tan\theta} \]

คูณทั้งสองข้างด้วย \(\tan\theta\)

\[ \tan\theta\tan\phi = \tan\theta \left( \frac{1}{\tan\theta} \right) \]

\(\tan\theta\) อยู่ทั้งด้านบนและด้านล่าง จึงตัดกันได้

\[ \tan\theta \left( \frac{1}{\tan\theta} \right) =1 \]

จึงได้สูตรสำคัญ

\[ \boxed{ \tan\theta\tan\phi=1 } \]

ขั้นที่ 7 : ทดลองด้วยตัวเลขจริง

สมมติว่า

\[ \tan\theta=\frac{3}{4} \]

และ

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

ดังนั้นค่า tan ของอีกมุมหนึ่งจะเป็นส่วนกลับ

\[ \tan\phi= \frac{1}{\frac34} = \frac43 \]

ลองตรวจสอบ

\[ \frac34\times\frac43 = \frac{3\times4}{4\times3} = \boxed{1} \]
สังเกตให้ดี

\(\frac34\) กับ \(\frac43\) เป็น ส่วนกลับกัน

ดังนั้นเมื่อคูณกันจึงได้ 1

ขั้นที่ 8 : นำไปใช้กับโจทย์เสาสองต้น

ในโจทย์เสาสองต้น เรามักได้มุมเงยสองมุม เช่น \(\theta\) และ \(\phi\)

ถ้าโจทย์บอกว่า มุมทั้งสองประกอบกันเป็นมุมฉาก

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

เราจึงสามารถใช้

\[ \boxed{ \tan\theta\tan\phi=1 } \]

แล้วแทนค่า tan จากรูปสามเหลี่ยม

\[ \tan\theta= \frac{\text{ความสูงเสาต้นที่ 1}} {\text{ระยะราบ}} \]
\[ \tan\phi= \frac{\text{ความสูงเสาต้นที่ 2}} {\text{ระยะราบ}} \]

จึงสามารถสร้างสมการเพื่อหาความสูงของเสาได้

สรุปความคิดเป็นลำดับ
\[ \boxed{ \theta+\phi=90^\circ } \]

↓

\[ \boxed{ \phi=90^\circ-\theta } \]

↓

\[ \boxed{ \tan\phi = \tan(90^\circ-\theta) = \cot\theta } \]

↓

\[ \boxed{ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} } \]

↓

\[ \boxed{ \tan\theta\tan\phi=1 } \]
🎯 จุดสังเกตเวลาเจอข้อสอบ

ถ้าโจทย์เขียนว่า

“มุมสองมุมประกอบกันเป็นมุมฉาก”

ให้คิดทันทีว่า

\[ \theta+\phi=90^\circ \]

และถ้าโจทย์เกี่ยวข้องกับ tan ของทั้งสองมุม สามารถใช้

\[ \boxed{ \tan\theta\tan\phi=1 } \]

ได้ แต่ควรเข้าใจที่มาก่อนว่า tan ของสองมุมนี้เป็นส่วนกลับกัน จึงคูณกันได้ 1

กลับด้านบน