EP7 กราฟพาราโบลา จุดยอด แกนสมมาตร และค่าสูงสุด–ต่ำสุด

ชวนคิด

สมการกำลังสองและกราฟพาราโบลาเป็นเรื่องเดียวกันในมุมมองที่ต่างกัน เพราะคำตอบของสมการคือจุดที่กราฟตัดหรือสัมผัสแกน $x$

y=ax 2 +bx+c

เมื่อต้องการหาคำตอบของสมการ $ax 2 +bx+c=0$ เรากำลังหาค่า $x$ ที่ทำให้ $y=0$

คำตอบของสมการกำลังสอง = พิกัด $x$ ของจุดที่กราฟพาราโบลาพบแกน $x$

เป้าหมายการเรียนรู้

เมื่อเรียนจบ ผู้เรียนสามารถ

บอกทิศทางการเปิดของพาราโบลาจากค่า $a$ ได้
หาจุดตัดแกน $y$ จากค่า $c$ ได้
หาแกนสมมาตรและจุดยอดของกราฟได้
เชื่อมโยงจุดตัดแกน $x$ กับคำตอบของสมการกำลังสองได้
ใช้ค่า $Δ$ ทำนายจำนวนจุดตัดแกน $x$ ได้
อ่านข้อมูลสำคัญจากกราฟพาราโบลาได้

เวลาเรียนประมาณ 12–15 นาที

เน้นการอ่านกราฟและความสัมพันธ์กับคำตอบ ไม่เน้นการวาดกราฟอย่างละเอียดเกินจำเป็น

รูปทั่วไปของกราฟพาราโบลา

y=ax 2 +bx+c, a\neq0

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีรูปร่างเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่า พาราโบลา

$a$ กำหนดทิศทางการเปิดและความกว้างของกราฟ
$b$ มีผลต่อตำแหน่งแกนสมมาตรและจุดยอด
$c$ คือพิกัด $y$ ของจุดตัดแกน $y$

เมื่อ

x=0

จะได้

y=c

ดังนั้นกราฟตัดแกน

y

ที่จุด

(0,c)

ทิศทางการเปิดของกราฟ

ถ้า $a>0$ กราฟเปิดขึ้น และจุดยอดเป็นจุดต่ำสุด
ถ้า $a<0$ กราฟเปิดลง และจุดยอดเป็นจุดสูงสุด

จำสั้น ๆ:

$a$ เป็นบวก — ยิ้มเปิดขึ้น
$a$ เป็นลบ — คว่ำเปิดลง

แกนสมมาตรและจุดยอด

พาราโบลามีเส้นตรงแนวตั้งที่แบ่งกราฟออกเป็นสองข้างเท่ากัน เรียกว่าแกนสมมาตร

x=- b 2a

เมื่อนำค่า $x=- b 2a$ ไปแทนในสมการกราฟ จะได้ค่า $y$ ของจุดยอด

จุดยอดเขียนเป็น

(h,k)

และแกนสมมาตรคือ

x=h

ตัวอย่างที่ 1: อ่านข้อมูลพื้นฐานของกราฟ

y=x 2 -4x+3

1. ทิศทางการเปิด

$a=1>0$ กราฟจึงเปิดขึ้น

2. จุดตัดแกน $y$

$c=3$ กราฟจึงตัดแกน $y$ ที่ $(0,3)$

3. แกนสมมาตร

x=- -4 2(1) =2

4. จุดยอด

y=2 2 -4(2)+3=-1

จุดยอดคือ

(2,-1)

และแกนสมมาตรคือ

x=2

ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟกับคำตอบ

จุดบนแกน $x$ มีค่า $y=0$ ดังนั้นจุดตัดแกน $x$ หาได้จาก

ax 2 +bx+c=0

กราฟตัดแกน $x$ สองจุด — สมการมีคำตอบจริง 2 คำตอบ
กราฟสัมผัสแกน $x$ หนึ่งจุด — สมการมีคำตอบจริง 1 คำตอบหรือรากซ้ำ
กราฟไม่พบแกน $x$ — สมการไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

พิกัด

x

ของจุดตัดแกน

x

คือรากหรือคำตอบของสมการกำลังสอง

เชื่อมโยงกับค่า discriminant

Δ=b 2 -4ac

$Δ>0$ กราฟตัดแกน $x$ 2 จุด
$Δ=0$ กราฟสัมผัสแกน $x$ 1 จุด
$Δ<0$ กราฟไม่ตัดแกน $x$

จำเป็นภาพ:

เดลตาบวก — ตัดสองจุด
เดลตาศูนย์ — แตะหนึ่งจุด
เดลตาลบ — ไม่พบแกน $x$

ตัวอย่างที่ 2: กราฟตัดแกน $x$ สองจุด

y=x 2 -5x+6

หาจุดตัดแกน $x$ โดยให้ $y=0$

x 2 -5x+6=0

(x-2)(x-3)=0

x=2 หรือ x=3

กราฟตัดแกน

x

ที่

(2,0)

และ

(3,0)

ตัวอย่างที่ 3: กราฟสัมผัสแกน $x$

y=x 2 -6x+9

y=(x-3) 2

เมื่อ $y=0$

(x-3) 2 =0

x=3

กราฟสัมผัสแกน

x

ที่

(3,0)

เพียงจุดเดียว และ

x=3

เป็นรากซ้ำ

ตัวอย่างที่ 4: กราฟไม่ตัดแกน $x$

y=x 2 +2x+5

คำนวณค่า discriminant

Δ=2 2 -4(1)(5)

Δ=4-20=-16

เพราะ $Δ<0$ กราฟจึงไม่ตัดแกน $x$

สมการ

x 2 +2x+5=0

ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

ตัวอย่างที่ 5: กราฟเปิดลง

y=-x 2 +4x+5

$a=-1<0$ กราฟจึงเปิดลง และจุดยอดเป็นจุดสูงสุด

หาแกนสมมาตร

x=- 4 2(-1) =2

หาค่า $y$ ที่ $x=2$

y=-(2) 2 +4(2)+5=9

จุดยอดคือ

(2,9)

และเป็นจุดสูงสุดของกราฟ

วิธีร่างกราฟแบบกระชับ

ดูเครื่องหมายของ $a$ เพื่อกำหนดว่าเปิดขึ้นหรือเปิดลง
หาจุดตัดแกน $y$ จาก $(0,c)$
หาแกนสมมาตรจาก $x=- b 2a$
หาจุดยอดโดยแทนค่าแกนสมมาตรลงในสมการ
หาจุดตัดแกน $x$ จากการแก้สมการ $ax 2 +bx+c=0$
วาดเส้นโค้งให้สมมาตรผ่านจุดสำคัญ

สำหรับข้อสอบ ส่วนใหญ่เพียงรู้ทิศทาง จุดยอด จุดตัดแกน และจำนวนคำตอบ ก็เพียงพอ

จุดที่พลาดบ่อย

พลาดที่ 1: คิดว่าค่า $c$ คือจุดตัดแกน $x$

ที่ถูกต้องคือ $c$ เป็นพิกัด $y$ ของจุดตัดแกน $y$

พลาดที่ 2: ลืมเครื่องหมายลบในสูตรแกนสมมาตร

สูตรคือ $x=- b 2a$

พลาดที่ 3: สับสนคำตอบกับจุดตัดแกน

คำตอบคือค่า $x$ ส่วนจุดตัดแกน $x$ ต้องเขียนเป็น $(x,0)$

พลาดที่ 4: คิดว่ากราฟไม่ตัดแกน $x$ แปลว่าไม่มีกราฟ

กราฟยังมีอยู่ เพียงแต่สมการไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

พลาดที่ 5: เห็น $a<0$ แล้วคิดว่าคำตอบต้องเป็นลบ

เครื่องหมายของ $a$ กำหนดทิศทางการเปิด ไม่ได้กำหนดเครื่องหมายของรากโดยตรง

ลองทำ

ข้อ 1 กราฟ $y=2x 2 -3x+1$ เปิดขึ้นหรือเปิดลง

ดูเฉลย

$a=2>0$ ดังนั้นกราฟเปิดขึ้น

ข้อ 2 กราฟ $y=x 2 +4x-5$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด

ดูเฉลย

$c=-5$ จึงตัดแกน $y$ ที่ $(0,-5)$

ข้อ 3 จงหาแกนสมมาตรของ $y=x 2 -8x+7$

ดูเฉลย

$a=1, b=-8$

$x=- -8 2(1) =4$

ตอบ แกนสมมาตรคือ $x=4$

ข้อ 4 กราฟ $y=x 2 -7x+12$ ตัดแกน $x$ ที่จุดใด

ดูเฉลย

$x 2 -7x+12=0$

$(x-3)(x-4)=0$

$x=3$ หรือ $x=4$

ตอบ $(3,0)$ และ $(4,0)$

ข้อ 5 กราฟ $y=x 2 -4x+4$ พบแกน $x$ กี่จุด

ดูเฉลย

$y=(x-2) 2$

กราฟสัมผัสแกน $x$ ที่ $(2,0)$ เพียง 1 จุด

ข้อ 6 กราฟ $y=2x 2 +x+3$ ตัดแกน $x$ หรือไม่

ดูเฉลย

$Δ=1 2 -4(2)(3)=1-24=-23<0$

ตอบ กราฟไม่ตัดแกน $x$

Mini Quiz

เลือกคำตอบแล้วกด ตรวจคำตอบ ระบบจะนับคะแนนให้อัตโนมัติ

Challenge

กำหนดกราฟ $y=-x 2 +6x-5$ จงหาทิศทางการเปิด แกนสมมาตร จุดยอด และจุดตัดแกน $x$

ดูเฉลย

$a=-1<0$ กราฟเปิดลง

แกนสมมาตร

x=- 6 2(-1) =3

จุดยอด

y=-(3) 2 +6(3)-5=4

จึงมีจุดยอด $(3,4)$

หาจุดตัดแกน $x$

-x 2 +6x-5=0

x 2 -6x+5=0

(x-1)(x-5)=0

x=1 หรือ x=5

ตอบ กราฟเปิดลง แกนสมมาตร $x=3$ จุดยอด $(3,4)$ และตัดแกน $x$ ที่ $(1,0)$ , $(5,0)$

สรุปท้ายบท

กราฟของ $y=ax 2 +bx+c$ เป็นพาราโบลา
$a>0$ เปิดขึ้น และ $a<0$ เปิดลง
จุดตัดแกน $y$ คือ $(0,c)$
แกนสมมาตรคือ $x=- b 2a$
คำตอบของสมการคือพิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$
$Δ>0$ ตัด 2 จุด, $Δ=0$ สัมผัส 1 จุด, $Δ<0$ ไม่ตัดแกน $x$

จำสั้น ๆ:

เปิด – ยอด – แกน – ตัด – ราก

EP7 กราฟพาราโบลา จุดยอด แกนสมมาตร และค่าสูงสุด–ต่ำสุด

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ชวนคิด

เป้าหมายการเรียนรู้

รูปทั่วไปของกราฟพาราโบลา

ทิศทางการเปิดของกราฟ

แกนสมมาตรและจุดยอด

ตัวอย่างที่ 1: อ่านข้อมูลพื้นฐานของกราฟ

ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟกับคำตอบ

เชื่อมโยงกับค่า discriminant

ตัวอย่างที่ 2: กราฟตัดแกน $x$ สองจุด

ตัวอย่างที่ 3: กราฟสัมผัสแกน $x$

ตัวอย่างที่ 4: กราฟไม่ตัดแกน $x$

ตัวอย่างที่ 5: กราฟเปิดลง

วิธีร่างกราฟแบบกระชับ

จุดที่พลาดบ่อย

ลองทำ

Mini Quiz

Challenge

สรุปท้ายบท

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ชวนคิด

เป้าหมายการเรียนรู้

รูปทั่วไปของกราฟพาราโบลา

ทิศทางการเปิดของกราฟ

แกนสมมาตรและจุดยอด

ตัวอย่างที่ 1: อ่านข้อมูลพื้นฐานของกราฟ

ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟกับคำตอบ

เชื่อมโยงกับค่า discriminant

ตัวอย่างที่ 2: กราฟตัดแกน x สองจุด

ตัวอย่างที่ 3: กราฟสัมผัสแกน x

ตัวอย่างที่ 4: กราฟไม่ตัดแกน x

ตัวอย่างที่ 5: กราฟเปิดลง

วิธีร่างกราฟแบบกระชับ

จุดที่พลาดบ่อย

ลองทำ

Mini Quiz

Challenge

สรุปท้ายบท

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

ตัวอย่างที่ 2: กราฟตัดแกน $x$ สองจุด

ตัวอย่างที่ 3: กราฟสัมผัสแกน $x$

ตัวอย่างที่ 4: กราฟไม่ตัดแกน $x$