ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/6 ตอน
EP3
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP3 : แก้ปัญหาความสูงด้วยมุมก้มและมุมเงย

เรียนรู้การแก้โจทย์ความสูงและระยะทางจากมุมก้ม–มุมเงย โดยสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เลือกใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ และประยุกต์ค่ามุมพิเศษ 30°, 45° และ 60° พร้อมแบบฝึกเสริมและแนวข้อสอบท้ายบท

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP3 • Exam-Driven Mathematics

แก้ปัญหาความสูงด้วยมุมก้มและมุมเงย

โจทย์ความสูงของตึก หน้าผา เสาธง หอคอย และระยะห่างของวัตถุ มักไม่ได้บอกความสูงโดยตรง แต่ให้ข้อมูลเป็นมุมก้ม มุมเงย และระยะทาง

สิ่งสำคัญจึงไม่ใช่การจำสูตรจำนวนมาก แต่คือการวาดภาพ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก และเลือกใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติให้ถูกต้อง

เป้าหมายของบทเรียน

วิเคราะห์โจทย์มุมก้มและมุมเงย สร้างสมการจากค่า tan และคำนวณความสูงหรือระยะทางได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

ตึกสูง A เมตร ตั้งอยู่ริมฝั่งแม่น้ำ ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนยอดตึก และมองเห็นเรือ 2 ลำ ในระดับสายตาเป็นมุมก้ม 60° และ 30° ตามลำดับ

ถ้าเรือทั้งสองลำอยู่ด้านเดียวกัน และอยู่ห่างกัน 100 เมตร ความสูงของตึกตรงกับข้อใด

  1. 50√3 เมตร
  2. 60√3 เมตร
  3. 70√3 เมตร
  4. 80√3 เมตร
ลองวิเคราะห์ก่อนดูวิธีทำ
  • เรือลำใดอยู่ใกล้ตึกกว่า?
  • มุมก้มเกี่ยวข้องกับมุมเงยอย่างไร?
  • ควรกำหนดระยะใดเป็นตัวแปร?
  • เหตุใดโจทย์นี้จึงควรใช้ tan?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

เมื่อมองจากยอดตึกลงไปยังเรือ จะเกิดมุมก้มจากแนวระดับของผู้สังเกต

ที่ตำแหน่งเรือจะเกิดมุมเงยขึ้นไปยังยอดตึก โดยมุมก้มและมุมเงยมีขนาดเท่ากัน เพราะเกิดจากเส้นระดับที่ขนานกัน

มุมก้ม = มุมเงย

เรือที่มองด้วยมุมก้ม 60° อยู่ใกล้ตึกมากกว่าเรือที่มองด้วยมุมก้ม 30°

มุมมาก → อยู่ใกล้กว่า
มุมน้อย → อยู่ไกลกว่า

โจทย์นี้จึงประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป ซึ่งมีความสูงของตึกเป็นด้านตรงข้ามมุม และระยะตามแนวราบเป็นด้านประชิดมุม

ความสูง ÷ ระยะตามแนวราบ → ใช้ tan
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • ความหมายของมุมก้มและมุมเงย
  • ความสัมพันธ์ระหว่างมุมก้มกับมุมเงย
  • ส่วนประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • อัตราส่วน sin, cos และ tan
  • การเลือกใช้ tan ในโจทย์ความสูง
  • ค่าตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60°
  • การกำหนดระยะใกล้และระยะไกล
  • การสร้างและแก้สมการจากโจทย์
📖

3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น

3.1 มุมเงย

มุมเงย คือ มุมที่เกิดจากการมองวัตถุ ซึ่งอยู่สูงกว่าแนวระดับสายตา

แนวระดับสายตา → มองขึ้น → มุมเงย

3.2 มุมก้ม

มุมก้ม คือ มุมที่เกิดจากการมองวัตถุ ซึ่งอยู่ต่ำกว่าแนวระดับสายตา

แนวระดับสายตา → มองลง → มุมก้ม

3.3 มุมก้มเท่ากับมุมเงย

แนวระดับที่ยอดตึกกับแนวพื้นเป็นเส้นขนานกัน เส้นที่ผู้สังเกตมองไปยังวัตถุเป็นเส้นตัด จึงเกิดมุมแย้งที่มีขนาดเท่ากัน

มุมก้มจากยอดตึก = มุมเงยจากพื้น

3.4 ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

  • ด้านตรงข้ามมุม คือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่กำลังพิจารณา
  • ด้านประชิดมุม คือ ด้านที่อยู่ติดกับมุม แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3.5 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

sin θ = ด้านตรงข้ามมุม ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos θ = ด้านประชิดมุม ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan θ = ด้านตรงข้ามมุม ÷ ด้านประชิดมุม
หลักเลือกสูตร

ถ้าโจทย์เกี่ยวข้องกับ ความสูงและระยะตามแนวราบ โดยไม่เกี่ยวข้องกับด้านเอียง มักใช้ tan

3.6 ค่ามุมพิเศษที่ต้องจำ

มุม sin cos tan
30° 1/2 √3/2 1/√3 หรือ √3/3
45° √2/2 √2/2 1
60° √3/2 1/2 √3
tan 30° = 1/√3
tan 45° = 1
tan 60° = √3
🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

กำหนดให้ความสูงของตึกเท่ากับ h เมตร

และกำหนดให้ระยะจากเชิงตึกถึงเรือลำใกล้ เท่ากับ x เมตร

เรืออีกลำอยู่ไกลออกไป 100 เมตร ระยะจากเชิงตึกถึงเรือลำไกลจึงเท่ากับ

x + 100

ขั้นที่ 1 พิจารณาเรือลำใกล้

เรือลำใกล้มีมุมเงย 60°

tan 60° = h/x
√3 = h/x
x = h/√3

ขั้นที่ 2 พิจารณาเรือลำไกล

เรือลำไกลมีมุมเงย 30° และอยู่ห่างจากเชิงตึก x + 100 เมตร

tan 30° = h/(x + 100)
1/√3 = h/(x + 100)
x + 100 = h√3

ขั้นที่ 3 แทนค่า x

จากเรือลำใกล้ เราทราบว่า

x = h/√3

แทนลงในสมการของเรือลำไกล

h/√3 + 100 = h√3
h√3 − h/√3 = 100

ขั้นที่ 4 ทำส่วนให้เท่ากัน

h√3 = 3h/√3
3h/√3 − h/√3 = 100
2h/√3 = 100
2h = 100√3
h = 50√3
ตอบ ข้อ 1 — 50√3 เมตร
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

เห็นมุมก้ม → เปลี่ยนเป็นมุมเงยที่พื้น
เห็นความสูงกับระยะตามแนวราบ → ใช้ tan
tan θ = ความสูง ÷ ระยะตามแนวราบ
มุมมาก → วัตถุอยู่ใกล้กว่า
มุมน้อย → วัตถุอยู่ไกลกว่า
ระยะเรือลำไกล = ระยะเรือลำใกล้ + ระยะระหว่างเรือ
ทางลัดสำหรับมุม 60° และ 30°

ถ้าวัตถุสองจุดอยู่ด้านเดียวกัน มองยอดเดียวกันด้วยมุม 60° และ 30° และอยู่ห่างกัน D เมตร ความสูงจะเท่ากับ

h = D√3/2

สำหรับโจทย์นำ D = 100 จึงได้ h = 50√3 เมตร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • ใช้มุมก้มเป็นมุมภายในสามเหลี่ยมโดยไม่แปลงตำแหน่ง
  • สลับด้านตรงข้ามกับด้านประชิด
  • คิดว่าเรือลำที่มีมุม 30° อยู่ใกล้กว่า
  • กำหนดระยะเรือลำไกลเป็น 100 เมตรทันที
  • ลืมว่าระยะ 100 เมตรคือระยะระหว่างเรือสองลำ
  • จำค่า tan 30° และ tan 60° สลับกัน
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

ลองวาดรูปและทำด้วยตนเอง ก่อนเปิดดูเฉลย

  1. นักเรียนยืนห่างจากเสาธง 20 เมตร และมองยอดเสาธงเป็นมุมเงย 45° ถ้าไม่คิดความสูงระดับสายตา เสาธงสูงกี่เมตร

    ดูเฉลย
    tan 45° = h/20
    1 = h/20
    h = 20

    ตอบ 20 เมตร

  2. ชายคนหนึ่งยืนห่างจากต้นไม้ 12√3 เมตร มองยอดต้นไม้เป็นมุมเงย 30° ถ้าไม่คิดความสูงระดับสายตา ต้นไม้สูงกี่เมตร

    ดูเฉลย
    tan 30° = h/(12√3)
    1/√3 = h/(12√3)
    h = 12

    ตอบ 12 เมตร

  3. จุดสังเกตสองจุดอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน และอยู่ด้านเดียวกับหอคอย จุดใกล้มองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 60° จุดไกลมองเป็นมุมเงย 30° ถ้าจุดทั้งสองห่างกัน 40 เมตร หอคอยสูงเท่าใด

    ดูเฉลย

    ใช้รูปแบบเดียวกับโจทย์นำ

    h = D√3/2
    h = 40√3/2
    h = 20√3

    ตอบ 20√3 เมตร

  4. จากยอดหน้าผามองเห็นเรือลำหนึ่ง เป็นมุมก้ม 45° ถ้าเรืออยู่ห่างจากเชิงหน้าผาตามแนวราบ 35 เมตร หน้าผาสูงกี่เมตร

    ดูเฉลย

    มุมก้ม 45° เท่ากับมุมเงยจากเรือ 45°

    tan 45° = h/35
    1 = h/35
    h = 35

    ตอบ 35 เมตร

  5. ชายคนหนึ่งยืนห่างจากตึก 10√3 เมตร มองยอดตึกเป็นมุมเงย 60° ถ้าไม่คิดความสูงระดับสายตา ตึกสูงเท่าใด

    ดูเฉลย
    tan 60° = h/(10√3)
    √3 = h/(10√3)
    h = 30

    ตอบ 30 เมตร

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

โจทย์ชุดนี้มีระดับเดียวกันหรือสูงกว่าโจทย์นำ เน้นการวิเคราะห์มุม ระยะ และการสร้างสมการ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 จุดสังเกตสองจุดอยู่ด้านเดียวกันกับหอคอย จุดใกล้มองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 60° จุดไกลมองเป็นมุมเงย 30° ถ้าจุดทั้งสองห่างกัน 80 เมตร หอคอยสูงเท่าใด
ดูคำอธิบาย
h = D√3/2
h = 80√3/2
h = 40√3

ตอบ B. 40√3 เมตร

ข้อ 2 จุดสังเกตสองจุดอยู่ด้านเดียวกันกับเสาธง จุดใกล้มองยอดเสาธงเป็นมุมเงย 45° จุดไกลมองเป็นมุมเงย 30° ถ้าจุดทั้งสองห่างกัน 20 เมตร เสาธงสูงเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ให้ระยะจากเสาธงถึงจุดใกล้เป็น x และความสูงเป็น h

tan 45° = h/x
1 = h/x → x = h

จุดไกลอยู่ห่างจากเสาธง h + 20 เมตร

tan 30° = h/(h + 20)
1/√3 = h/(h + 20)
h + 20 = h√3
h(√3 − 1) = 20
h = 20/(√3 − 1)

คูณด้วยสังยุค

h = 20(√3 + 1)/2 = 10(√3 + 1)

ตอบ C. 10(√3 + 1) เมตร

ข้อ 3 จากยอดตึกสูง 30 เมตร มองเห็นรถยนต์บนพื้นเป็นมุมก้ม 30° รถยนต์อยู่ห่างจากเชิงตึกกี่เมตร
ดูคำอธิบาย

ให้ระยะจากรถถึงเชิงตึกเป็น x

tan 30° = 30/x
1/√3 = 30/x
x = 30√3

ตอบ D. 30√3 เมตร

ข้อ 4 ประภาคารสูง 24√3 เมตร จากยอดประภาคารมองเห็นเรือลำหนึ่ง เป็นมุมก้ม 60° เรืออยู่ห่างจากเชิงประภาคารกี่เมตร
ดูคำอธิบาย

ให้ระยะจากเรือถึงเชิงประภาคารเป็น x

tan 60° = 24√3/x
√3 = 24√3/x
x = 24

ตอบ A. 24 เมตร

ข้อ 5 ผู้สังเกตมีระดับสายตาสูงจากพื้น 2 เมตร ยืนห่างจากหอคอย 30√3 เมตร และมองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 30° หอคอยสูงทั้งหมดกี่เมตร
ดูคำอธิบาย

ให้ความสูงจากระดับสายตาถึงยอดหอคอยเป็น h

tan 30° = h/(30√3)
1/√3 = h/(30√3)
h = 30

ต้องบวกความสูงระดับสายตาอีก 2 เมตร

ความสูงทั้งหมด = 30 + 2 = 32

ตอบ C. 32 เมตร

📌

8. สรุปก่อนจบบท

เมื่อโจทย์ให้ สิ่งที่ควรทำ
มุมก้มจากที่สูง เปลี่ยนเป็นมุมเงยจากพื้น
ความสูงกับระยะตามแนวราบ พิจารณาใช้ tan
วัตถุสองจุดอยู่ด้านเดียวกัน กำหนดระยะใกล้เป็น x และระยะไกลเป็น x + D
มุม 30°, 45° หรือ 60° ใช้ค่ามุมพิเศษ
มีระดับสายตาของผู้สังเกต บวกหรือลบความสูงระดับสายตาให้ถูกต้อง
tan θ = ความสูง ÷ ระยะตามแนวราบ
มุมก้ม = มุมเงย
tan 30° = 1/√3
tan 45° = 1
tan 60° = √3
  • ฉันแยกมุมก้มและมุมเงยได้
  • ฉันวาดสามเหลี่ยมมุมฉากจากโจทย์ได้
  • ฉันระบุด้านตรงข้ามและด้านประชิดได้
  • ฉันเลือกใช้ tan ได้ถูกต้อง
  • ฉันจำค่า tan ของมุมพิเศษได้
  • ฉันตั้งระยะใกล้และระยะไกลได้
  • ฉันแก้โจทย์ที่มีระดับสายตาได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่าเริ่มจากการแทนสูตรทันที ให้เริ่มจากวาดรูป กำหนดความสูงและระยะทาง เปลี่ยนมุมก้มเป็นมุมเงย แล้วจึงเลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติ

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP2 · EP2 : แก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตอนถัดไป EP4 · EP4 : แก้ปัญหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันกำลังสอง