ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/6 ตอน
EP4
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP4 : แก้ปัญหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันกำลังสอง

เรียนรู้การสร้างสมการกำลังสองจากโจทย์สถานการณ์จริง การหาค่าสูงสุด–ต่ำสุดด้วยจุดยอดพาราโบลา และการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา พร้อมแบบฝึกและแนวข้อสอบแข่งขัน

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP4 • Exam-Driven Mathematics

แก้ปัญหารายได้สูงสุดด้วยฟังก์ชันกำลังสอง

โจทย์ที่ถามว่า มากที่สุด น้อยที่สุด สูงสุด หรือต่ำสุด มักไม่ได้ให้สมการที่พร้อมใช้งานทันที ผู้เรียนต้องแปลงข้อมูลในสถานการณ์ให้เป็นฟังก์ชันก่อน

บทเรียนนี้จะเริ่มจากปัญหาการขายสินค้า แล้วนำไปสู่การสร้างฟังก์ชันกำลังสอง การพิจารณาทิศทางของพาราโบลา และการใช้จุดยอดเพื่อหาคำตอบ

เป้าหมายของบทเรียน

สร้างฟังก์ชันรายได้จากราคาและจำนวนสินค้า แล้วใช้สูตรจุดยอดของพาราโบลา เพื่อหาจำนวนสินค้าที่ทำให้เกิดรายได้สูงสุด

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

ลุงคนหนึ่งขายไก่ทอด โดยกำหนดราคาขายต่อตัวเป็น

90 − 0.05x บาท

เมื่อ x แทนจำนวนไก่ทอดที่ขายได้ จงหาว่าควรขายไก่ทอดกี่ตัว จึงจะมีรายได้มากที่สุด

  1. 90 ตัว
  2. 500 ตัว
  3. 590 ตัว
  4. 900 ตัว
ลองคิดก่อนเรียน
  • โจทย์ให้ราคาต่อชิ้นหรือรายได้ทั้งหมด?
  • รายได้หาได้จากอะไรคูณกับอะไร?
  • เมื่อจำนวนที่ขายเพิ่มขึ้น ราคาต่อชิ้นเปลี่ยนอย่างไร?
  • เหตุใดรายได้จึงไม่ได้เพิ่มขึ้นตลอดเวลา?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ไม่ได้ให้สมการรายได้มาโดยตรง แต่ให้ราคาขายต่อหนึ่งตัวเป็นฟังก์ชันของจำนวนที่ขาย

ราคาต่อตัว = 90 − 0.05x

เมื่อขายได้มากขึ้น ค่า x เพิ่มขึ้น แต่ราคาต่อตัวจะลดลง

รายได้ทั้งหมดจึงขึ้นอยู่กับทั้ง จำนวนที่ขาย และ ราคาต่อตัว

รายได้ = จำนวนสินค้า × ราคาต่อชิ้น

เมื่อนำ x ไปคูณกับ 90 − 0.05x จะได้ฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งสามารถหาค่าสูงสุดได้จากจุดยอดของพาราโบลา

สถานการณ์ → สร้างฟังก์ชัน → จัดเป็น ax² + bx + c → ตรวจทิศทางพาราโบลา → หาจุดยอด
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • ความหมายของรายได้ ราคา และจำนวนสินค้า
  • การสร้างสมการจากโจทย์สถานการณ์
  • สมบัติการแจกแจง
  • รูปทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสอง
  • ทิศทางการเปิดของพาราโบลา
  • จุดยอดของพาราโบลา
  • สูตรหาค่า x ที่จุดยอด
  • การแปลความหมายของคำตอบให้ตรงกับโจทย์
📖

3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น

3.1 รายได้

รายได้ คือ เงินทั้งหมดที่ได้รับจากการขายสินค้า ก่อนหักต้นทุนหรือค่าใช้จ่าย

รายได้ = ราคาขายต่อชิ้น × จำนวนที่ขาย
รายได้ไม่ใช่กำไร

ถ้าโจทย์ถามกำไร ต้องนำรายได้ลบด้วยต้นทุนก่อน

กำไร = รายได้ − ต้นทุน

3.2 ฟังก์ชันกำลังสอง

y = ax2 + bx + c

โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ และ a ต้องไม่เท่ากับ 0

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่า พาราโบลา

3.3 ทิศทางของพาราโบลา

เงื่อนไข ทิศทางกราฟ ค่าที่จุดยอด
a > 0 พาราโบลาเปิดขึ้น ค่าต่ำสุด
a < 0 พาราโบลาเปิดลง ค่าสูงสุด
a < 0 → กราฟเปิดลง → มีค่าสูงสุด

3.4 จุดยอดของพาราโบลา

สำหรับฟังก์ชัน

y = ax2 + bx + c

พิกัด x ของจุดยอดหาได้จาก

x = −b ÷ 2a

เมื่อได้ค่า x แล้ว สามารถแทนกลับในฟังก์ชันเพื่อหาค่า y สูงสุดหรือต่ำสุดได้

แยกคำถามให้ชัด
  • ถ้าถามว่าควรขายกี่ชิ้น ให้ตอบค่า x
  • ถ้าถามรายได้สูงสุด ให้แทนค่า x กลับในฟังก์ชัน

3.5 สมบัติการแจกแจง

x(a − bx) = ax − bx2

ตัวอย่าง

x(90 − 0.05x) = 90x − 0.05x2
🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 ระบุสิ่งที่โจทย์ให้

จำนวนไก่ทอดที่ขายได้ คือ

x ตัว

ราคาขายต่อหนึ่งตัว คือ

90 − 0.05x บาท

ขั้นที่ 2 สร้างฟังก์ชันรายได้

รายได้ = จำนวนที่ขาย × ราคาต่อตัว
R(x) = x(90 − 0.05x)

แจกแจง x เข้าไปในวงเล็บ

R(x) = 90x − 0.05x2

เขียนเรียงตามกำลังของ x

R(x) = −0.05x2 + 90x

ขั้นที่ 3 ตรวจว่าหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

จากฟังก์ชัน

R(x) = −0.05x2 + 90x

จะได้

a = −0.05
b = 90

เนื่องจาก a < 0 กราฟพาราโบลาจึงเปิดลง จุดยอดจึงให้ค่ารายได้สูงสุด

ขั้นที่ 4 หาค่า x ที่จุดยอด

x = −b ÷ 2a
x = −90 ÷ [2(−0.05)]
x = −90 ÷ (−0.10)
x = 900

ขั้นที่ 5 แปลความหมายของคำตอบ

ค่า x แทนจำนวนไก่ทอดที่ขายได้ ดังนั้นควรขายไก่ทอด

900 ตัว

จึงจะมีรายได้มากที่สุด

ตอบ ข้อ 4 — 900 ตัว
🔎

5. ตรวจสอบด้วยรายได้สูงสุด

โจทย์ถามเพียงจำนวนที่ควรขาย แต่เราสามารถตรวจสอบต่อได้ว่า รายได้สูงสุดเป็นเท่าใด

เมื่อ x = 900 ราคาขายต่อตัวคือ

90 − 0.05(900)
= 90 − 45 = 45 บาท

รายได้ทั้งหมดคือ

900 × 45 = 40,500 บาท
ตรวจสอบได้ว่า

เมื่อขาย 900 ตัว ราคาต่อตัวเท่ากับ 45 บาท และมีรายได้สูงสุด 40,500 บาท

⚡

6. รูปแบบที่ควรจำ

รายได้ = ราคา × จำนวน
กำไร = รายได้ − ต้นทุน
เห็นคำว่า สูงสุด หรือต่ำสุด → สร้างฟังก์ชัน → จัดเป็น ax² + bx + c
x ที่จุดยอด = −b ÷ 2a
a < 0 → ค่าสูงสุด
a > 0 → ค่าต่ำสุด
เห็นคำเหล่านี้ให้นึกถึงจุดยอด
  • รายได้มากที่สุด
  • กำไรสูงสุด
  • พื้นที่มากที่สุด
  • ปริมาตรมากที่สุด
  • ต้นทุนน้อยที่สุด
  • ระยะทางสั้นที่สุด
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • ใช้ราคาต่อชิ้นเป็นรายได้ทันที
  • ลืมคูณด้วยจำนวนสินค้า x
  • แจกแจงแล้วเขียนเครื่องหมายผิด
  • แทนค่า a และ b สลับกัน
  • ลืมเครื่องหมายลบหน้าสูตร −b/2a
  • ตอบรายได้ ทั้งที่โจทย์ถามจำนวนสินค้า
  • ไม่ตรวจว่าพาราโบลาเปิดขึ้นหรือเปิดลง
✏️

7. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

ฝึกสร้างฟังก์ชันและใช้สูตรจุดยอด ก่อนเข้าสู่แนวข้อสอบประยุกต์

  1. กำหนดฟังก์ชัน

    y = −x2 + 8x

    จงหาค่า x ที่ทำให้ y มีค่าสูงสุด

    ดูเฉลย

    จากสมการได้ a = −1 และ b = 8

    x = −b ÷ 2a
    x = −8 ÷ [2(−1)]
    x = 4

    ตอบ x = 4

  2. กำหนดฟังก์ชัน

    y = 2x2 − 12x + 5

    จงหาค่า x ที่ทำให้ y มีค่าต่ำสุด

    ดูเฉลย

    a = 2 และ b = −12

    x = −(−12) ÷ 2(2)
    x = 12 ÷ 4 = 3

    เนื่องจาก a > 0 พาราโบลาเปิดขึ้น จุดยอดจึงให้ค่าต่ำสุด

    ตอบ x = 3

  3. สินค้าชนิดหนึ่งมีราคาขายต่อชิ้นเป็น

    60 − 0.1x บาท

    เมื่อ x คือจำนวนสินค้าที่ขายได้ จงสร้างฟังก์ชันรายได้

    ดูเฉลย
    R(x) = x(60 − 0.1x)
    R(x) = 60x − 0.1x²
    R(x) = −0.1x² + 60x

    ตอบ R(x) = −0.1x² + 60x

  4. ร้านค้าแห่งหนึ่งมีฟังก์ชันรายได้

    R(x) = −2x2 + 120x

    ควรขายสินค้ากี่ชิ้น จึงจะมีรายได้สูงสุด

    ดูเฉลย

    a = −2 และ b = 120

    x = −120 ÷ 2(−2)
    x = 30

    ตอบ 30 ชิ้น

  5. สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวรอบรูป 40 เมตร ถ้าด้านกว้างยาว x เมตร จงหาด้านกว้างที่ทำให้พื้นที่มากที่สุด

    ดูเฉลย

    จากรอบรูป

    2(กว้าง + ยาว) = 40
    กว้าง + ยาว = 20

    เมื่อกว้าง = x จะได้ยาว = 20 − x

    A(x) = x(20 − x)
    A(x) = −x² + 20x
    x = −20 ÷ 2(−1) = 10

    ตอบ ด้านกว้าง 10 เมตร

🎓

8. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

โจทย์ชุดนี้มีระดับเดียวกันหรือสูงกว่าโจทย์นำ เน้นการสร้างฟังก์ชันและแปลความหมายของจุดยอด

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 สินค้าชนิดหนึ่งมีราคาขายต่อชิ้น 90 − 0.05x บาท เมื่อ x คือจำนวนที่ขายได้ ควรขายกี่ชิ้นจึงจะมีรายได้สูงสุด
ดูคำอธิบาย
R(x) = x(90 − 0.05x)
R(x) = −0.05x² + 90x
x = −90 ÷ 2(−0.05) = 900

ตอบ D. 900 ชิ้น

ข้อ 2 ร้านขายเสื้อกำหนดราคาต่อชิ้นเป็น 500 − 2x บาท เมื่อขายได้ x ชิ้น ร้านควรขายกี่ชิ้นจึงจะมีรายได้สูงสุด
ดูคำอธิบาย
R(x) = x(500 − 2x)
R(x) = −2x² + 500x
x = −500 ÷ 2(−2) = 125

ตอบ B. 125 ชิ้น

ข้อ 3 กำหนดฟังก์ชันกำไร P(x) = −4x² + 240x − 2,000 ควรผลิตสินค้ากี่ชิ้นจึงจะมีกำไรสูงสุด
ดูคำอธิบาย

a = −4 และ b = 240

x = −240 ÷ 2(−4)
x = 30

ตอบ C. 30 ชิ้น

ข้อ 4 สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีผลบวกของความยาว และความกว้างเท่ากับ 30 เมตร ด้านกว้างควรยาวเท่าใด จึงจะมีพื้นที่มากที่สุด
ดูคำอธิบาย

ให้ด้านกว้างเท่ากับ x ด้านยาวจึงเท่ากับ 30 − x

A(x) = x(30 − x)
A(x) = −x² + 30x
x = −30 ÷ 2(−1) = 15

ตอบ A. 15 เมตร

ข้อ 5 ลูกบอลถูกโยนขึ้นในแนวดิ่ง โดยความสูงจากพื้นหลังผ่านไป t วินาทีเป็น h(t) = −5t² + 40t + 2 ลูกบอลขึ้นถึงจุดสูงสุดเมื่อเวลาเท่าใด
ดูคำอธิบาย

a = −5 และ b = 40

t = −40 ÷ 2(−5)
t = 4

ตอบ D. 4 วินาที

📌

9. สรุปก่อนจบบท

ลักษณะโจทย์ แนวทางแก้
ถามรายได้ ราคา × จำนวน
ถามกำไร รายได้ − ต้นทุน
ถามค่าสูงสุดหรือต่ำสุด สร้างฟังก์ชันกำลังสอง
a < 0 จุดยอดให้ค่าสูงสุด
a > 0 จุดยอดให้ค่าต่ำสุด
ต้องหาค่าตัวแปรที่จุดยอด x = −b ÷ 2a
โจทย์ถามค่ามากที่สุด แทนค่า x กลับในฟังก์ชัน
สถานการณ์ → สร้างฟังก์ชัน → จัดเป็น ax² + bx + c → ใช้ x = −b ÷ 2a → แปลคำตอบ
  • ฉันแยกรายได้ออกจากกำไรได้
  • ฉันสร้างฟังก์ชันจากราคาและจำนวนได้
  • ฉันจัดฟังก์ชันให้อยู่ในรูป ax² + bx + c ได้
  • ฉันตรวจทิศทางของพาราโบลาได้
  • ฉันใช้สูตรจุดยอดได้ถูกต้อง
  • ฉันแปลค่า x ให้ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถามได้
  • ฉันหาค่าสูงสุดโดยแทนกลับในฟังก์ชันได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่าเริ่มจากสูตรจุดยอดทันที ให้เริ่มจากการสร้างฟังก์ชันของสิ่งที่โจทย์ถามก่อน เมื่อจัดได้เป็นฟังก์ชันกำลังสองแล้ว จึงตรวจเครื่องหมายของ a และใช้จุดยอดหาคำตอบ

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP3 · EP3 : แก้ปัญหาความสูงด้วยมุมก้มและมุมเงย ตอนถัดไป EP5 · EP5 : แก้ปัญหาการผสม อัตราส่วน และกำไร