ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/16 ตอน
EP6
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP6 : แก้ปัญหาตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรียนรู้การแก้โจทย์ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ความสัมพันธ์ของมุมประกอบกันเป็น 90 องศา และเอกลักษณ์พื้นฐานของ sin cos tan sec พร้อมแบบฝึกและแนวข้อสอบแข่งขัน

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP6 • Exam-Driven Mathematics

แก้ปัญหาเอกลักษณ์ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

โจทย์ตรีโกณมิติบางข้อไม่ได้ให้หาความยาวด้าน หรือหาขนาดของมุม แต่ให้จัดรูปนิพจน์ที่ประกอบด้วย sin, cos, tan และ sec

วิธีทำที่รวดเร็วไม่ใช่การแทนค่ามุม แต่คือการมองหาพจน์ที่รวมกันเป็นเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ แล้วลดรูปให้เหลือค่าคงที่

เป้าหมายของบทเรียน

ใช้ความสัมพันธ์ของมุมในสามเหลี่ยมมุมฉาก และเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เพื่อจัดรูปนิพจน์และหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมุม B เป็นมุมฉาก จงหาค่าของ

3sin2A − 1/2 sec2C + 1/2 tan2C + 3cos2A
  1. 3/2
  2. 5/2
  3. 7/2
  4. 9/2
ลองคิดก่อนเรียน
  • จำเป็นต้องหาค่าของมุม A และ C หรือไม่?
  • พจน์ใดสามารถรวมกันได้ทันที?
  • sec²C และ tan²C มีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
  • นิพจน์นี้สามารถลดรูปให้เหลือค่าคงที่ได้หรือไม่?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ให้ข้อมูลว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และมุม B เท่ากับ 90°

A + B + C = 180°
A + 90° + C = 180°
A + C = 90°

ดังนั้นมุม A และมุม C เป็นมุมประกอบกัน แต่ในการแก้โจทย์ข้อนี้ ยังไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนทุกพจน์ให้เป็นมุมเดียวกัน

ให้สังเกตว่านิพจน์มีพจน์ที่จับคู่กันได้สองกลุ่ม

3sin²A + 3cos²A
−1/2 sec²C + 1/2 tan²C

เมื่อจัดกลุ่มถูกต้อง จะสามารถใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เพื่อลดรูปได้ทันที

จัดกลุ่มพจน์ → ดึงตัวร่วม → ใช้เอกลักษณ์ → ลดรูป → หาคำตอบ
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • ผลบวกของมุมภายในสามเหลี่ยม
  • มุมประกอบกันเป็น 90°
  • ความสัมพันธ์ระหว่าง sin และ cos
  • ความสัมพันธ์ระหว่าง tan และ cot
  • ความหมายของ sec
  • เอกลักษณ์ sin²θ + cos²θ = 1
  • เอกลักษณ์ sec²θ − tan²θ = 1
  • การจัดกลุ่มและดึงตัวร่วม
📖

3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น

3.1 มุมในสามเหลี่ยมมุมฉาก

ผลบวกของมุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

A + B + C = 180°

ถ้ามุม B เป็นมุมฉาก

B = 90°

จึงได้

A + C = 90°

มุม A และ C จึงเป็นมุมประกอบกัน หรือ complementary angles

3.2 ความสัมพันธ์ของมุมประกอบกัน

sin A = cos C
cos A = sin C
tan A = cot C
tan C = cot A
จำง่าย

เมื่อมุมสองมุมรวมกันเป็น 90° sin ของมุมหนึ่งจะเท่ากับ cos ของอีกมุมหนึ่ง

3.3 ความหมายของ sec

sec θ = 1/cos θ
sec²θ = 1/cos²θ

3.4 เอกลักษณ์พื้นฐานชุดที่ 1

sin²θ + cos²θ = 1

เอกลักษณ์นี้ใช้ได้กับทุกมุม θ ที่นิยามอยู่

ตัวอย่าง

5sin²θ + 5cos²θ
= 5(sin²θ + cos²θ)
= 5(1) = 5

3.5 เอกลักษณ์พื้นฐานชุดที่ 2

sec²θ = 1 + tan²θ

ย้ายข้างได้เป็น

sec²θ − tan²θ = 1

หรือกลับเครื่องหมายได้เป็น

tan²θ − sec²θ = −1
ระวังเครื่องหมาย

sec²θ − tan²θ เท่ากับ 1 แต่ tan²θ − sec²θ เท่ากับ −1

3.6 การดึงตัวร่วม

3sin²A + 3cos²A
= 3(sin²A + cos²A)

และ

−1/2 sec²C + 1/2 tan²C
= 1/2(tan²C − sec²C)
หลักสำคัญ

ก่อนแทนสูตร ให้จัดกลุ่มและดึงตัวร่วม เพื่อให้มองเห็นรูปของเอกลักษณ์ชัดเจนขึ้น

🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

เริ่มจากนิพจน์

3sin²A − 1/2 sec²C + 1/2 tan²C + 3cos²A

ขั้นที่ 1 จัดกลุ่มพจน์ชนิดเดียวกัน

(3sin²A + 3cos²A) + (−1/2 sec²C + 1/2 tan²C)

ขั้นที่ 2 ดึงตัวร่วม

3(sin²A + cos²A) + 1/2(tan²C − sec²C)

ขั้นที่ 3 ใช้เอกลักษณ์ชุดแรก

sin²A + cos²A = 1
3(sin²A + cos²A) = 3(1) = 3

ขั้นที่ 4 ใช้เอกลักษณ์ชุดที่สอง

sec²C − tan²C = 1

ดังนั้น

tan²C − sec²C = −1
1/2(tan²C − sec²C) = 1/2(−1) = −1/2

ขั้นที่ 5 รวมผลลัพธ์

3 − 1/2
= 6/2 − 1/2
= 5/2
ตอบ ข้อ 2 — 5/2
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

เห็น sin²θ + cos²θ → แทนด้วย 1
เห็น sec²θ − tan²θ → แทนด้วย 1
เห็น tan²θ − sec²θ → แทนด้วย −1
เห็น A + C = 90° → sin A = cos C
มีหลายพจน์ → จัดกลุ่ม → ดึงตัวร่วม → มองหา Identity
โจทย์ลักษณะนี้ไม่ต้องหามุมจริง

ถ้านิพจน์สามารถลดรูปด้วยเอกลักษณ์ได้ ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า A หรือ C มีค่าเท่าใด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • คิดว่า sin²A หมายถึง sin(A²)
  • จำ sec²θ = 1 − tan²θ ซึ่งไม่ถูกต้อง
  • สลับเครื่องหมายของ tan²θ − sec²θ
  • ไม่ดึงตัวร่วมก่อนใช้เอกลักษณ์
  • แทนค่ามุม 30° หรือ 60° ทั้งที่โจทย์ไม่ได้กำหนด
  • คิดว่า sin A + cos A = 1 ซึ่งไม่จริงทั่วไป
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

ลองจัดกลุ่มและใช้เอกลักษณ์ด้วยตนเอง ก่อนเปิดดูเฉลย

  1. จงหาค่าของ

    sin²θ + cos²θ
    ดูเฉลย

    ใช้เอกลักษณ์พื้นฐาน

    sin²θ + cos²θ = 1

    ตอบ 1

  2. จงหาค่าของ

    4sin²x + 4cos²x
    ดูเฉลย
    4sin²x + 4cos²x
    = 4(sin²x + cos²x)
    = 4(1) = 4

    ตอบ 4

  3. จงหาค่าของ

    sec²θ − tan²θ
    ดูเฉลย
    sec²θ = 1 + tan²θ
    sec²θ − tan²θ = 1

    ตอบ 1

  4. จงหาค่าของ

    2tan²A − 2sec²A
    ดูเฉลย
    2tan²A − 2sec²A
    = 2(tan²A − sec²A)
    = 2(−1) = −2

    ตอบ −2

  5. ถ้า A + C = 90° และ sin A = 3/5 จงหาค่า cos C

    ดูเฉลย

    เนื่องจาก A และ C เป็นมุมประกอบกัน

    sin A = cos C
    cos C = 3/5

    ตอบ 3/5

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

โจทย์ชุดนี้มีระดับเดียวกันหรือสูงกว่าโจทย์นำ เน้นการจัดรูป การเลือกเอกลักษณ์ และการใช้ความสัมพันธ์ของมุมประกอบกัน

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมุม B เป็นมุมฉาก จงหาค่าของ 3sin²A − 1/2 sec²C + 1/2 tan²C + 3cos²A
ดูคำอธิบาย
3(sin²A + cos²A) + 1/2(tan²C − sec²C)
= 3(1) + 1/2(−1)
= 3 − 1/2 = 5/2

ตอบ B. 5/2

ข้อ 2 จงหาค่าของ 5sin²x + 5cos²x + 2sec²x − 2tan²x
ดูคำอธิบาย
5(sin²x + cos²x) + 2(sec²x − tan²x)
= 5(1) + 2(1)
= 7

ตอบ C. 7

ข้อ 3 ถ้า A + C = 90° และ cos C = 4/5 แล้ว sin A มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

เนื่องจาก A + C = 90°

sin A = cos C
sin A = 4/5

ตอบ A. 4/5

ข้อ 4 จงหาค่าของ 4tan²θ − 4sec²θ + 9
ดูคำอธิบาย
4tan²θ − 4sec²θ + 9
= 4(tan²θ − sec²θ) + 9
= 4(−1) + 9
= 5

ตอบ D. 5

ข้อ 5 จงหาค่าของ 6sin²x + 6cos²x − 3sec²x + 3tan²x
ดูคำอธิบาย
6(sin²x + cos²x) + 3(tan²x − sec²x)
= 6(1) + 3(−1)
= 6 − 3 = 3

ตอบ B. 3

📌

8. สรุปก่อนจบบท

รูปแบบที่พบ สิ่งที่ควรนึกถึง
A + C = 90° sin A = cos C และ cos A = sin C
sin²θ + cos²θ มีค่าเท่ากับ 1
sec²θ − tan²θ มีค่าเท่ากับ 1
tan²θ − sec²θ มีค่าเท่ากับ −1
มีสัมประสิทธิ์เหมือนกัน ดึงตัวร่วมก่อนใช้เอกลักษณ์
โจทย์ถามค่าของนิพจน์ จัดรูปก่อนแทนค่ามุม
sin²θ + cos²θ = 1
sec²θ = 1 + tan²θ
sec²θ − tan²θ = 1
tan²θ − sec²θ = −1
A + C = 90° → sin A = cos C
  • ฉันหาความสัมพันธ์ของมุมในสามเหลี่ยมมุมฉากได้
  • ฉันใช้ความสัมพันธ์ของมุมประกอบกันได้
  • ฉันจำเอกลักษณ์ sin²θ + cos²θ = 1 ได้
  • ฉันจำเอกลักษณ์ sec²θ − tan²θ = 1 ได้
  • ฉันจัดกลุ่มและดึงตัวร่วมได้
  • ฉันตรวจเครื่องหมายก่อนแทนเอกลักษณ์ได้
  • ฉันลดรูปนิพจน์โดยไม่ต้องหาค่ามุมจริงได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อโจทย์ให้หาค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ อย่ารีบแทนค่ามุม ให้จัดกลุ่มพจน์ ดึงตัวร่วม และมองหาเอกลักษณ์ก่อน เพราะคำตอบจำนวนมากลดรูปเป็นค่าคงที่ได้ทันที

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP5 · EP5 : แก้ปัญหาการผสม อัตราส่วน และกำไร ตอนถัดไป EP7 · EP7 : แก้ปัญหาแผนภูมิวงกลมจากตารางข้อมูล