เลขยกกำลัง รากที่สอง และการคิดเลขอย่างรวดเร็ว
เข้าใจความหมายของเลขยกกำลัง ใช้กฎพื้นฐานของเลขยกกำลัง ถอดรากที่สอง และฝึกเทคนิคคิดเลขที่ใช้บ่อยในข้อสอบ
คูณซ้ำฐานเดิม
คูณ หาร และยกกำลัง
ย้อนกลับกำลังสอง
ใช้จำนวนใกล้เคียง
เป้าหมายการเรียนรู้
- อธิบายความหมายของฐานและเลขชี้กำลังได้
- ใช้กฎพื้นฐานของเลขยกกำลังได้ถูกต้อง
- หาค่ารากที่สองของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ได้
- แยกความแตกต่างระหว่าง √a² และ (√a)² ได้
- ใช้เทคนิคคิดเลขอย่างรวดเร็วในโจทย์พื้นฐานได้
1. ความหมายของเลขยกกำลัง
โดยมี a คูณกันทั้งหมด n ตัว
ใน an
- a เรียกว่า ฐาน
- n เรียกว่า เลขชี้กำลัง
ตัวอย่าง
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
53 = 5 × 5 × 5 = 125
เลขชี้กำลังบอกจำนวนครั้งที่นำฐานมาคูณกัน ไม่ใช่นำฐานไปคูณกับเลขชี้กำลัง
32 = 3 × 2 = 6 ❌
32 = 3 × 3 = 9 ✅
2. กฎการคูณเลขยกกำลังฐานเดียวกัน
เมื่อคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน
ตัวอย่าง
23 × 24 = 23+4 = 27 = 128
52 × 53 = 55
ฐานเหมือนกันและเป็นการคูณ → บวกเลขชี้กำลัง
23 × 32 ไม่สามารถบวกเลขชี้กำลังได้ทันที เพราะฐานไม่เหมือนกัน
3. กฎการหารและการยกกำลังซ้อน
เมื่อ a ≠ 0
ตัวอย่างการหาร
35 ÷ 32 = 35−2 = 33 = 27
ตัวอย่างการยกกำลังซ้อน
(23)2 = 23×2 = 26 = 64
คูณฐานเดียวกัน → บวกเลขชี้กำลัง
หารฐานเดียวกัน → ลบเลขชี้กำลัง
ยกกำลังซ้อน → คูณเลขชี้กำลัง
4. เลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังติดลบ
เมื่อ a ≠ 0
เช่น 50 = 1 และ (−3)0 = 1
เช่น
2−3 = 1 / 23 = 1/8
2−3 = −8 ❌
2−3 = 1/8 ✅
เลขชี้กำลังติดลบไม่ได้แปลว่าคำตอบติดลบ แต่หมายถึงกลับเศษเป็นส่วน
5. รากที่สอง
รากที่สองของจำนวนหนึ่ง คือจำนวนที่นำมาคูณกับตัวเองแล้วได้จำนวนนั้น
เมื่อ a เป็นจำนวนไม่ลบ
ตัวอย่าง
√25 = 5 เพราะ 5 × 5 = 25
√81 = 9 เพราะ 9 × 9 = 81
√144 = 12 เพราะ 12 × 12 = 144
√25 หมายถึงรากที่สองหลักที่เป็นบวก จึงมีค่าเท่ากับ 5
แต่ถ้า x2 = 25 จะได้ x = 5 หรือ x = −5
6. จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ควรจำ
| จำนวน | กำลังสอง | จำนวน | กำลังสอง |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 9 | 81 |
| 2 | 4 | 10 | 100 |
| 3 | 9 | 11 | 121 |
| 4 | 16 | 12 | 144 |
| 5 | 25 | 13 | 169 |
| 6 | 36 | 14 | 196 |
| 7 | 49 | 15 | 225 |
| 8 | 64 | 20 | 400 |
112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225
7. การแยกรากที่สองอย่างง่าย
หากจำนวนใต้เครื่องหมายรากมีตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ สามารถแยกออกมาได้
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนไม่ลบ
ตัวอย่างที่ 1
√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3
ตัวอย่างที่ 2
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2
มองหาตัวประกอบที่เป็น 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 หรือ 100
√(a + b) ไม่เท่ากับ √a + √b โดยทั่วไป
เช่น √(9 + 16) = √25 = 5 แต่ √9 + √16 = 3 + 4 = 7
8. เทคนิคคิดเลขอย่างรวดเร็ว
เทคนิคที่ 1 คูณด้วย 5
ให้นำจำนวนนั้นคูณ 10 แล้วหาร 2
48 × 5 = 480 ÷ 2 = 240
เทคนิคที่ 2 คูณด้วย 25
ให้นำจำนวนนั้นคูณ 100 แล้วหาร 4
36 × 25 = 3,600 ÷ 4 = 900
เทคนิคที่ 3 ยกกำลังสองจำนวนใกล้เคียง
192 = (20 − 1)2
= 202 − 2(20)(1) + 12
= 400 − 40 + 1 = 361
ควรประมาณค่าคำตอบก่อนคำนวณจริง เพื่อช่วยตัดตัวเลือกที่ผิดชัดเจน
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
23 × 24 มีค่าเท่าใด
A. 27 B. 47 C. 212 D. 412
ดูเฉลย
ตอบ A. 27
ฐานเหมือนกันและเป็นการคูณ ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน 3 + 4 = 7
-
56 ÷ 54 มีค่าเท่าใด
A. 5 B. 10 C. 25 D. 125
ดูเฉลย
ตอบ C. 25
56 ÷ 54 = 56−4 = 52 = 25
-
√196 มีค่าเท่าใด
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
ดูเฉลย
ตอบ C. 14
เพราะ 14 × 14 = 196
-
√72 เขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้เท่าใด
A. 3√2 B. 4√2 C. 6√2 D. 8√2
ดูเฉลย
ตอบ C. 6√2
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
-
44 × 25 มีค่าเท่าใด
A. 1,000 B. 1,100 C. 1,200 D. 1,250
ดูเฉลย
ตอบ B. 1,100
44 × 25 = 4,400 ÷ 4 = 1,100
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| คูณฐานเดียวกัน | บวกเลขชี้กำลัง |
| หารฐานเดียวกัน | ลบเลขชี้กำลัง |
| ยกกำลังซ้อน | คูณเลขชี้กำลัง |
| เลขชี้กำลังศูนย์ | a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0 |
| เลขชี้กำลังติดลบ | กลับเป็นส่วนกลับ |
| รากที่สอง | ย้อนกลับของการยกกำลังสอง |
- เลขชี้กำลังบอกจำนวนครั้งที่นำฐานมาคูณกัน
- ฐานต้องเหมือนกันจึงใช้กฎบวกหรือลบเลขชี้กำลังได้
- √25 = 5 แต่สมการ x² = 25 มีคำตอบ 5 และ −5
- การแยกรากให้มองหาตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
- ควรจำกำลังสองของจำนวน 1–15 ให้คล่อง
- การคูณด้วย 5 ทำได้โดยคูณ 10 แล้วหาร 2
- การคูณด้วย 25 ทำได้โดยคูณ 100 แล้วหาร 4
EP4 พีชคณิต ตัวแปร นิพจน์ และการจัดรูปนิพจน์