การแยกตัวประกอบพหุนาม
เรียนรู้การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณ ตั้งแต่การดึงตัวประกอบร่วม การแยกตรีนามกำลังสอง กำลังสองสมบูรณ์ และผลต่างกำลังสอง
ดึงสิ่งที่เหมือนกันออก
หาคู่ผลบวกและผลคูณ
หน้า² ± 2หน้าหลัง + หลัง²
ผลต่าง = ผลบวก × ผลต่าง
เป้าหมายการเรียนรู้
- เข้าใจความหมายของการแยกตัวประกอบ
- ดึงตัวประกอบร่วมมากออกจากพหุนามได้
- แยกตัวประกอบตรีนาม x² + bx + c ได้
- แยกตัวประกอบตรีนาม ax² + bx + c ได้
- ใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสองได้
- ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับได้
1. การแยกตัวประกอบคืออะไร
การแยกตัวประกอบ คือการเปลี่ยนพหุนามจากรูปผลบวกหรือลบ ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
เพราะเมื่อนำวงเล็บมาคูณกลับ จะได้
(x + 2)(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
การแยกตัวประกอบเป็นกระบวนการย้อนกลับของการคูณพหุนาม
2. การดึงตัวประกอบร่วม
ตรวจดูว่าทุกพจน์มีจำนวนหรือตัวแปรใดเป็นตัวประกอบร่วมกัน แล้วดึงออกมาไว้นอกวงเล็บ
ตัวอย่างที่ 1
ทั้งสองพจน์มี 6 เป็นตัวประกอบร่วม
6x + 12 = 6(x + 2)
ตัวอย่างที่ 2
ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 คือ 4 และทุกพจน์มี x
8x2 − 12x = 4x(2x − 3)
ตัวอย่างที่ 3
15x3y + 20x2y2
= 5x2y(3x + 4y)
หา ห.ร.ม. ของตัวเลข แล้วเลือกเลขชี้กำลังต่ำสุด ของตัวแปรที่มีอยู่ในทุกพจน์
3. ตรีนามรูป x² + bx + c
ต้องหาจำนวนสองจำนวนที่มี
- ผลบวกเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x
- ผลคูณเท่ากับพจน์คงที่
โดยที่ m + n = b และ mn = c
ตัวอย่างที่ 1
x2 + 7x + 12
ต้องการสองจำนวนที่บวกกันได้ 7 และคูณกันได้ 12
คือ 3 และ 4
ดังนั้น x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
ตัวอย่างที่ 2
x2 − 8x + 15
ต้องการสองจำนวนที่บวกกันได้ −8 และคูณกันได้ 15
คือ −3 และ −5
ดังนั้น x2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5)
4. การพิจารณาเครื่องหมาย
| เครื่องหมายของ c | ลักษณะของตัวเลขสองจำนวน |
|---|---|
| c เป็นบวก และ b เป็นบวก | ทั้งสองจำนวนเป็นบวก |
| c เป็นบวก และ b เป็นลบ | ทั้งสองจำนวนเป็นลบ |
| c เป็นลบ | จำนวนหนึ่งเป็นบวก อีกจำนวนเป็นลบ |
ตัวอย่าง
x2 + 2x − 15
ผลคูณเป็น −15 จึงต้องมีเครื่องหมายต่างกัน
จำนวนที่บวกกันได้ 2 คือ 5 และ −3
ดังนั้น x2 + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3)
อย่าดูเฉพาะผลคูณ ต้องตรวจผลบวกของตัวเลขทั้งสองด้วย
5. ตรีนามรูป ax² + bx + c
เมื่อสัมประสิทธิ์หน้า x² ไม่เท่ากับ 1 สามารถใช้วิธีแยกพจน์กลาง
ตัวอย่าง
ขั้นที่ 1 หาผลคูณ a × c
2 × 3 = 6
ขั้นที่ 2 หาสองจำนวนที่คูณกันได้ 6 และบวกกันได้ 7
คือ 6 และ 1
ขั้นที่ 3 แยกพจน์กลาง
2x2 + 6x + x + 3
ขั้นที่ 4 จัดกลุ่ม
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)
หาเลขสองจำนวนที่ “คูณได้ ac” และ “บวกได้ b”
6. กำลังสองสมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 1
x2 + 10x + 25
x2 = x × x
25 = 5 × 5
10x = 2(x)(5)
ดังนั้น x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
ตัวอย่างที่ 2
4x2 − 12x + 9
= (2x)2 − 2(2x)(3) + 32
= (2x − 3)2
พจน์กลางต้องเท่ากับสองเท่าของรากพจน์หน้า คูณกับรากพจน์หลัง
7. ผลต่างกำลังสอง
สูตรนี้ใช้เมื่อมีสองพจน์ คั่นด้วยเครื่องหมายลบ และแต่ละพจน์เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 1
x2 − 16
= x2 − 42
= (x − 4)(x + 4)
ตัวอย่างที่ 2
9x2 − 25
= (3x)2 − 52
= (3x − 5)(3x + 5)
a² + b² โดยทั่วไปไม่สามารถแยกเป็น (a + b)(a − b) ได้ เพราะสูตรต้องเป็นผลต่างเท่านั้น
8. ต้องดึงตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ
ตัวอย่าง
ขั้นแรก ดึง 3 ออกเป็นตัวประกอบร่วม
3x2 − 27 = 3(x2 − 9)
ภายในวงเล็บเป็นผลต่างกำลังสอง
= 3(x − 3)(x + 3)
ก่อนใช้สูตรใด ให้ตรวจหาตัวประกอบร่วมมากก่อนทุกครั้ง
9. ขั้นตอนเลือกวิธีแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
แยกตัวประกอบ 6x + 18
A. 6(x + 3) B. 3(x + 6) C. 6(x + 18) D. 2(3x + 18)
ดูเฉลย
ตอบ A. 6(x + 3)
6 เป็นตัวประกอบร่วมมากของทั้งสองพจน์
-
แยกตัวประกอบ x² + 7x + 10
A. (x + 1)(x + 10) B. (x + 2)(x + 5) C. (x − 2)(x − 5) D. (x + 2)(x − 5)
ดูเฉลย
ตอบ B. (x + 2)(x + 5)
2 + 5 = 7 และ 2 × 5 = 10
-
แยกตัวประกอบ x² − x − 12
A. (x − 4)(x + 3) B. (x + 4)(x − 3) C. (x − 6)(x + 2) D. (x + 6)(x − 2)
ดูเฉลย
ตอบ A. (x − 4)(x + 3)
−4 + 3 = −1 และ −4 × 3 = −12
-
แยกตัวประกอบ x² − 36
A. (x − 6)² B. (x + 6)² C. (x − 6)(x + 6) D. (x − 18)(x + 2)
ดูเฉลย
ตอบ C. (x − 6)(x + 6)
ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง x² − 6²
-
แยกตัวประกอบ x² + 12x + 36
A. (x + 6)² B. (x − 6)² C. (x + 3)(x + 12) D. (x + 4)(x + 9)
ดูเฉลย
ตอบ A. (x + 6)²
x² + 2(x)(6) + 6² = (x + 6)²
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| ตัวประกอบร่วม | ดึงจำนวนและตัวแปรที่ทุกพจน์มีร่วมกันออก |
| x² + bx + c | หาสองจำนวนที่บวกได้ b และคูณได้ c |
| ax² + bx + c | หาสองจำนวนที่บวกได้ b และคูณได้ ac |
| กำลังสองสมบูรณ์ | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² |
| ผลต่างกำลังสอง | a² − b² = (a − b)(a + b) |
- ตรวจตัวประกอบร่วมก่อนใช้สูตรเสมอ
- ตรีนามต้องตรวจทั้งผลบวกและผลคูณ
- กำลังสองสมบูรณ์ต้องตรวจพจน์กลาง
- ผลต่างกำลังสองต้องมีสองพจน์และเป็นเครื่องหมายลบ
- แยกตัวประกอบจนไม่สามารถแยกต่อได้
- ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ
EP8 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว