ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/12 ตอน
EP6
พื้นฐานคณิตศาสตร์ · ปรับพื้นฐานคำนวณ นตท.

EP6 การคูณพหุนามและสูตรผลคูณที่ควรรู้

เรียนรู้การคูณเอกนามกับพหุนาม การคูณพหุนามสองวงเล็บ และสูตรผลคูณสำคัญ ได้แก่ กำลังสองของผลบวก กำลังสองของผลต่าง และผลต่างกำลังสอง พร้อมตัวอย่าง แบบฝึกหัด และ Quiz

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

EP6 • Foundation Mathematics

การคูณพหุนามและสูตรผลคูณที่ควรรู้

เรียนรู้การคูณเอกนามกับพหุนาม การคูณพหุนามกับพหุนาม และสูตรผลคูณสำคัญที่ช่วยให้คิดได้เร็วขึ้น พร้อมฝึกระวังเครื่องหมายและการรวมพจน์ที่คล้ายกัน

เอกนาม × พหุนาม
แจกแจงให้ครบทุกพจน์
พหุนาม × พหุนาม
คูณทุกพจน์ให้ครบ
กำลังสองสมบูรณ์
หน้า² ± 2หน้าหลัง + หลัง²
ผลต่างกำลังสอง
ผลบวกคูณผลต่าง
★★★★★ สูตรเหล่านี้ใช้ต่อในเรื่องการแยกตัวประกอบและสมการกำลังสอง

เป้าหมายการเรียนรู้

  • คูณเอกนามกับพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจงได้
  • คูณพหุนามสองวงเล็บได้ครบทุกพจน์
  • รวมพจน์ที่คล้ายกันหลังการคูณได้
  • ใช้สูตรกำลังสองของผลบวกและผลต่างได้
  • ใช้สูตรผลต่างกำลังสองได้

1. หลักพื้นฐานของการคูณ

เมื่อนำเอกนามมาคูณกัน ให้คูณตัวเลขเข้าด้วยกัน และบวกเลขชี้กำลังของตัวแปรฐานเดียวกัน

xm × xn = xm+n

ตัวอย่างที่ 1

3x × 4x2
= (3 × 4)(x × x2)
= 12x3

ตัวอย่างที่ 2

−2a2b × 3ab2
= −6a3b3

สูตรจำ:

คูณตัวเลข แล้วบวกเลขชี้กำลังของตัวแปรที่เหมือนกัน

2. เอกนามคูณพหุนาม

ใช้สมบัติการแจกแจง โดยนำเอกนามหน้าวงเล็บ คูณกับทุกพจน์ที่อยู่ภายในวงเล็บ

a(b + c) = ab + ac

ตัวอย่างที่ 1

3x(x + 4)
= 3x(x) + 3x(4)
= 3x2 + 12x

ตัวอย่างที่ 2

−2y(3y2 − 4y + 5)
= −6y3 + 8y2 − 10y

ระวังเครื่องหมาย:

จำนวนลบคูณจำนวนลบได้จำนวนบวก เช่น −2y × (−4y) = +8y2

3. พหุนามคูณพหุนาม

ให้นำทุกพจน์ในวงเล็บแรกคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง จากนั้นรวมพจน์ที่คล้ายกัน

ตัวอย่าง

(x + 2)(x + 3)

= x(x) + x(3) + 2(x) + 2(3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6

วิธีตรวจ:

ถ้าแต่ละวงเล็บมี 2 พจน์ จะเกิดผลคูณย่อยทั้งหมด 4 ผลคูณ ก่อนนำพจน์ที่คล้ายกันมารวม

4. การคูณแบบหน้า–นอก–ใน–หลัง

สำหรับทวินามสองวงเล็บ สามารถตรวจการคูณด้วยลำดับ หน้า นอก ใน และหลัง

(x + 4)(x − 2)
  • หน้า: x × x = x2
  • นอก: x × (−2) = −2x
  • ใน: 4 × x = 4x
  • หลัง: 4 × (−2) = −8

ดังนั้น
(x + 4)(x − 2)
= x2 − 2x + 4x − 8
= x2 + 2x − 8

จุดพลาด:

ห้ามคูณเฉพาะพจน์หน้าและพจน์หลัง ต้องมีผลคูณย่อยครบทั้ง 4 ส่วน

5. กำลังสองของผลบวก

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

อ่านว่า “หน้ากำลังสอง บวกสองเท่าของหน้าคูณหลัง บวกหลังกำลังสอง”

ตัวอย่าง

(x + 5)2
= x2 + 2(x)(5) + 52
= x2 + 10x + 25

อีกตัวอย่าง

(2x + 3)2
= (2x)2 + 2(2x)(3) + 32
= 4x2 + 12x + 9

อย่าลืมพจน์กลาง:

(a + b)2 ไม่เท่ากับ a2 + b2

6. กำลังสองของผลต่าง

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

พจน์แรกและพจน์สุดท้ายเป็นบวก แต่พจน์กลางเป็นลบ

ตัวอย่าง

(x − 4)2
= x2 − 2(x)(4) + 42
= x2 − 8x + 16

อีกตัวอย่าง

(3x − 2)2
= (3x)2 − 2(3x)(2) + 22
= 9x2 − 12x + 4

จุดสังเกต:

พจน์สุดท้ายยังเป็นบวก เพราะ (−b)(−b) = b2

7. ผลบวกคูณผลต่าง

(a + b)(a − b) = a2 − b2

พจน์กลางจะหักล้างกัน เหลือเพียงผลต่างของกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(x + 5)(x − 5)
= x2 − 25

ตัวอย่างที่ 2

(3x + 2)(3x − 2)
= (3x)2 − 22
= 9x2 − 4

ต้องเป็นคู่ตรงข้าม:

สูตรนี้ใช้ได้เมื่อวงเล็บเหมือนกันทุกส่วน ต่างกันเพียงเครื่องหมายบวกและลบ

8. สรุปขั้นตอนทำข้อสอบ

1. ตรวจว่าตรงกับสูตรผลคูณสำเร็จหรือไม่
↓
2. ถ้าไม่ตรงสูตร ให้ใช้การแจกแจงคูณทุกพจน์
↓
3. ระวังเครื่องหมายบวกและลบ
↓
4. รวมพจน์ที่คล้ายกัน
↓
5. เรียงพจน์จากดีกรีสูงไปต่ำ

ตัวอย่างรวม

(2x + 1)(x − 3)

= 2x2 − 6x + x − 3
= 2x2 − 5x − 3

แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ

  1. 3x(2x + 5) มีค่าเท่าใด

    A. 6x2 + 5   B. 6x2 + 15x   C. 6x + 15   D. 5x2 + 15x

    ดูเฉลย

    ตอบ B. 6x2 + 15x

    3x × 2x = 6x2 และ 3x × 5 = 15x

  2. (x + 2)(x + 4) มีค่าเท่าใด

    A. x2 + 6x + 8   B. x2 + 8x + 6   C. x2 + 6   D. 2x2 + 8

    ดูเฉลย

    ตอบ A. x2 + 6x + 8

    x2 + 4x + 2x + 8 = x2 + 6x + 8

  3. (x + 3)2 มีค่าเท่าใด

    A. x2 + 9   B. x2 + 3x + 9   C. x2 + 6x + 9   D. x2 + 6

    ดูเฉลย

    ตอบ C. x2 + 6x + 9

    ใช้สูตร a2 + 2ab + b2

  4. (2x − 5)2 มีค่าเท่าใด

    A. 4x2 − 10x + 25   B. 4x2 − 20x + 25   C. 4x2 + 20x + 25   D. 2x2 − 20x + 25

    ดูเฉลย

    ตอบ B. 4x2 − 20x + 25

    (2x)2 − 2(2x)(5) + 52

  5. (3x + 4)(3x − 4) มีค่าเท่าใด

    A. 9x2 − 16   B. 9x2 + 16   C. 6x2 − 8   D. 9x2 − 24x + 16

    ดูเฉลย

    ตอบ A. 9x2 − 16

    ใช้สูตร (a + b)(a − b) = a2 − b2

แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ

ตอบแล้ว 0/10 ข้อ คะแนน 0/10
ข้อ 1 ผลคูณของ 4x2 กับ 3x3 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ C. 4 × 3 = 12 และ x2 × x3 = x5

ข้อ 2 2x(3x − 4) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ B. 2x × 3x = 6x2 และ 2x × (−4) = −8x

ข้อ 3 (x + 3)(x + 5) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ A. x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15

ข้อ 4 (x − 2)(x + 6) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ D. x2 + 6x − 2x − 12 = x2 + 4x − 12

ข้อ 5 (x + 7)2 มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ C. x2 + 2(x)(7) + 72 = x2 + 14x + 49

ข้อ 6 (x − 6)2 มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ B. x2 − 2(x)(6) + 62 = x2 − 12x + 36

ข้อ 7 (x + 9)(x − 9) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ A. ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง x2 − 92 = x2 − 81

ข้อ 8 (2x + 5)2 มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ D. (2x)2 + 2(2x)(5) + 52 = 4x2 + 20x + 25

ข้อ 9 (3x − 4)2 มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ C. (3x)2 − 2(3x)(4) + 42 = 9x2 − 24x + 16

ข้อ 10 (2x + 3)(2x − 3) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ตอบ B. ใช้สูตร (a + b)(a − b) = a2 − b2 ได้ (2x)2 − 32 = 4x2 − 9

สรุป 1 นาที

เลขยกกำลังฐานเดียวกัน xm × xn = xm+n
สมบัติการแจกแจง a(b + c) = ab + ac
กำลังสองของผลบวก (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
กำลังสองของผลต่าง (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
ผลบวกคูณผลต่าง (a + b)(a − b) = a2 − b2
  • คูณตัวเลขและบวกเลขชี้กำลังของตัวแปรฐานเดียวกัน
  • เอกนามหน้าวงเล็บต้องคูณทุกพจน์ในวงเล็บ
  • พหุนามสองวงเล็บต้องคูณทุกพจน์ให้ครบ
  • หลังคูณเสร็จให้รวมพจน์ที่คล้ายกัน
  • กำลังสองของทวินามต้องมีพจน์กลาง 2ab
  • ผลบวกคูณผลต่างไม่มีพจน์กลาง
บทถัดไป:

EP7 การแยกตัวประกอบพหุนาม

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP5 · EP5 เอกนาม พหุนาม และการบวกลบพหุนาม ตอนถัดไป EP7 · EP7 การแยกตัวประกอบพหุนาม