ชวนคิด
ถ้า \(p\) แทนข้อความ “วันนี้ฝนตก” และ \(q\) แทนข้อความ “ถนนเปียก” แล้วข้อความ “วันนี้ฝนตกและถนนเปียก” จะเป็นจริงในกรณีใดบ้าง
เมื่อนำประพจน์ตั้งแต่สองข้อความขึ้นไปมาเชื่อมกัน ค่าความจริงของข้อความใหม่จะขึ้นอยู่กับ “ชนิดของตัวเชื่อม” และค่าความจริงของประพจน์เดิม
เป้าหมายการเรียนรู้
- รู้จักสัญลักษณ์ของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ทั้ง 5 ชนิด
- อ่านและเขียนประพจน์ที่มีตัวเชื่อมได้
- หาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบได้
- สร้างตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมพื้นฐานได้
- ใช้ทริกทำข้อสอบเรื่อง “ถ้า...แล้ว” และ “ก็ต่อเมื่อ” ได้
ทบทวนจาก EP1
ประพจน์ คือ ข้อความที่สามารถตัดสินได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เรามักใช้ตัวอักษร \(p,q,r\) แทนประพจน์
\[ p:\text{ วันนี้ฝนตก} \qquad q:\text{ ถนนเปียก} \]
เมื่อนำ \(p\) และ \(q\) มาเชื่อมกัน จะเกิดเป็น ประพจน์เชิงประกอบ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ 5 ชนิด
| ชื่อ | สัญลักษณ์ | อ่านว่า | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| นิเสธ | \(\neg p\) | ไม่พี | วันนี้ฝนไม่ตก |
| และ | \(p\land q\) | พีและคิว | วันนี้ฝนตกและถนนเปียก |
| หรือ | \(p\lor q\) | พีหรือคิว | วันนี้ฝนตกหรือถนนเปียก |
| ถ้า...แล้ว | \(p\to q\) | ถ้าพีแล้วคิว | ถ้าวันนี้ฝนตกแล้วถนนเปียก |
| ก็ต่อเมื่อ | \(p\leftrightarrow q\) | พีก็ต่อเมื่อคิว | สอบผ่านก็ต่อเมื่อได้คะแนนถึงเกณฑ์ |
\(\land\) คล้ายยอดหลังคาที่ต้อง “ประกบกัน” จึงหมายถึง และ
\(\lor\) คล้ายตัว V จึงใช้แทน หรือ
\(\to\) ลูกศรชี้จากเหตุไปหาผล
ตัวเชื่อม “และ” \((p\land q)\)
ประพจน์ \(p\land q\) จะเป็นจริง เมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นจริงพร้อมกันเท่านั้น
\[ p\land q\text{ เป็นจริง} \iff p\text{ จริง และ }q\text{ จริง} \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
“และ” ต้องจริงครบทั้งคู่ จึงจะจริง
ตัวเชื่อม “หรือ” \((p\lor q)\)
ในตรรกศาสตร์ คำว่า “หรือ” หมายถึง อย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริง และรวมกรณีที่จริงทั้งคู่ด้วย
\[ p\lor q\text{ เป็นเท็จ} \iff p\text{ เท็จ และ }q\text{ เท็จ} \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
ในภาษาทั่วไป บางครั้ง “หรือ” หมายถึงเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ในตรรกศาสตร์ \(p\lor q\) รวมกรณีที่จริงทั้งสองข้อความ
ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว” \((p\to q)\)
\(p\) เรียกว่า เหตุ และ \(q\) เรียกว่า ผล
\[ p\to q \]
อ่านว่า “ถ้า \(p\) แล้ว \(q\)”
| \(p\) | \(q\) | \(p\to q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
“ถ้า...แล้ว” เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เหตุจริง แต่ผลเท็จ
ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” \((p\leftrightarrow q)\)
\(p\leftrightarrow q\) จะเป็นจริง เมื่อ \(p\) และ \(q\) มีค่าความจริงเหมือนกัน
\[ p\leftrightarrow q \equiv (p\to q)\land(q\to p) \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
“ก็ต่อเมื่อ” จริงเมื่อเหมือนกัน คือ จริง–จริง หรือ เท็จ–เท็จ
ตารางค่าความจริงรวม
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \(p\lor q\) | \(p\to q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) |
และ — จริงคู่เดียว
หรือ — เท็จคู่เดียว
ถ้า...แล้ว — เท็จเมื่อหน้าแท้หลังเท็จ
ก็ต่อเมื่อ — จริงเมื่อเหมือนกัน
ตัวอย่างที่ 1: การหาค่าความจริงของ “และ”
กำหนดให้ \(p\) เป็นจริง และ \(q\) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ \(p\land q\)
ตัวเชื่อม “และ” จะจริงเมื่อทั้งสองข้อความจริงพร้อมกัน แต่ \(q\) เป็นเท็จ
\[ T\land F=F \]
ตอบ: เท็จ
ตัวอย่างที่ 2: การหาค่าความจริงของ “ถ้า...แล้ว”
กำหนดให้ \(p\) เป็นเท็จ และ \(q\) เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ \(p\to q\)
“ถ้า...แล้ว” เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เหตุจริงแต่ผลเท็จ กรณีนี้เหตุเป็นเท็จ จึงมีค่าเป็นจริง
\[ F\to T=T \]
ตอบ: จริง
ตัวอย่างที่ 3: ประพจน์หลายชั้น
กำหนดให้ \(p\) เป็นจริง และ \(q\) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ \(\neg p\lor q\)
ขั้นที่ 1: หา \(\neg p\)
\[ p=T\Rightarrow \neg p=F \]
ขั้นที่ 2: แทนค่าใน \(\neg p\lor q\)
\[ F\lor F=F \]
ตอบ: เท็จ
ตัวอย่างที่ 4: แนวข้อสอบ นนส./นตท.
กำหนดให้ \(p\) เป็นเท็จ และ \(q\) เป็นเท็จ ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- \(p\to q\)
- \(p\leftrightarrow q\)
- \(p\lor q\)
- \(\neg p\lor q\)
เมื่อ \(p=F\) และ \(q=F\)
\[ \begin{aligned} p\to q&=T\\ p\leftrightarrow q&=T\\ p\lor q&=F\\ \neg p\lor q&=T\lor F=T \end{aligned} \]
ตอบ: ข้อ \(\boxed{C}\)
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\lor q\)
ดูเฉลย
ตัวเชื่อม “หรือ” เป็นจริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งข้อความจริง ดังนั้น \(T\lor F=T\)
ข้อ 2 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\to q\)
ดูเฉลย
เหตุจริงแต่ผลเท็จ จึงได้ \(T\to F=F\)
ข้อ 3 กำหนดให้ \(p=F,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\leftrightarrow q\)
ดูเฉลย
ทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังนั้น \(F\leftrightarrow F=T\)
ข้อ 4 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(\neg p\land q\)
ดูเฉลย
\(\neg p=F\) ดังนั้น \(F\land F=F\)
Challenge
กำหนดให้ \(p=T,\ q=F,\ r=T\) จงหาค่าความจริงของ
\[ (p\land q)\to(\neg q\land r) \]
ดูแนวคิดและเฉลย
ขั้นแรก \(p\land q=T\land F=F\)
จาก \(q=F\) ได้ \(\neg q=T\) และ \(\neg q\land r=T\land T=T\)
ดังนั้น \[ F\to T=T \]
ตอบ: จริง
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: คิดว่า \(p\lor q\) เป็นจริงเฉพาะเมื่อจริงเพียงหนึ่งข้อความ
ถูก: ในตรรกศาสตร์ “หรือ” รวมกรณีที่จริงทั้งคู่ด้วย
ผิด: คิดว่า \(F\to F\) เป็นเท็จ
ถูก: “ถ้า...แล้ว” เท็จเฉพาะ \(T\to F\) ดังนั้น \(F\to F=T\)
ผิด: คิดว่า “ก็ต่อเมื่อ” จริงเฉพาะ \(T,T\)
ถูก: \(p\leftrightarrow q\) จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน ทั้ง \(T,T\) และ \(F,F\)
ผิด: คำนวณประพจน์หลายชั้นพร้อมกัน
ถูก: ทำในวงเล็บและหาค่านิเสธก่อน แล้วจึงคำนวณตัวเชื่อมภายนอก
Mini Quiz
สรุป 1 นาที
- \(\neg p\) มีค่าความจริงตรงข้ามกับ \(p\)
- \(p\land q\) จริงเมื่อทั้งสองข้อความจริง
- \(p\lor q\) เท็จเมื่อทั้งสองข้อความเท็จ
- \(p\to q\) เท็จเฉพาะกรณี \(T\to F\)
- \(p\leftrightarrow q\) จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน
- ประพจน์หลายชั้นต้องทำวงเล็บและนิเสธก่อน
นักเรียนอ่านสัญลักษณ์ตัวเชื่อมได้ เติมตารางค่าความจริงพื้นฐานได้ และทำ Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(4\) จาก \(5\) ข้อ