EP6 Exam Review
บทนี้รวบรวมพื้นฐานที่จำเป็นและข้อสอบจริงเรื่องเศษเหลือ ตัวประกอบ การหารพหุนาม และโจทย์หลายขั้นที่ส่งมาทั้งหมด เป้าหมายคืออ่านโจทย์แล้วรู้ทันทีว่าต้องใช้เครื่องมือใด
แยกให้ได้ว่าโจทย์ถาม “เศษ” “ตัวประกอบ” “ผลหาร” หรือ “ค่าตัวแปร” แล้วจึงเลือกสูตร
เป้าหมายการเรียนรู้
- เลือกค่าที่ต้องแทนจากตัวหารได้ถูกต้อง
- ใช้เงื่อนไขเศษเป็นศูนย์ตรวจตัวประกอบได้
- สร้างสมการหา \(a,b,m,n,k\) จากตัวประกอบได้
- ใช้ความสัมพันธ์ ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร + เศษ ได้
- แก้โจทย์จริงหลายขั้นและตรวจความสมเหตุสมผลได้
สรุปพื้นฐานที่ต้องจำ
| สถานการณ์ | เครื่องมือ |
|---|---|
| หาร \(P(x)\) ด้วย \(x-a\) | เศษ \(=P(a)\) |
| หารด้วย \(x+a\) | แทน \(x=-a\) |
| \(x-a\) เป็นตัวประกอบ | \(P(a)=0\) |
| ตัวประกอบสองตัว | สร้างสมการสองสมการ |
| รู้ตัวหาร ผลหาร และเศษ | \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x)\) |
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{เศษจาก }x-a&=P(a)\\ x-a\text{ เป็นตัวประกอบ}&\iff P(a)=0\\ P(x)&=D(x)Q(x)+R(x) \end{aligned}} \]
\(x-(-1)=x+1\) ต้องแทน \(x=-1\) ส่วน \(x-1\) ต้องแทน \(x=1\)
ขั้นตอนเลือกวิธีทำใน 10 วินาที
- ขีดเส้นใต้คำว่า เศษ ตัวประกอบ ผลหาร หรือหารลงตัว
- ถ้าเห็น \(x-a\) ให้เขียนค่าที่ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ไว้ก่อน
- ถ้าโจทย์ให้ตัวแปรหลายตัว ให้สร้างสมการตามจำนวนเงื่อนไข
- ถ้าเป็นโจทย์หลายขั้น ให้หา \(A,B,C\) ตามลำดับ
- อ่านคำถามบรรทัดสุดท้ายอีกครั้งก่อนเลือกคำตอบ
ข้อสอบจริงชุดที่ 1: เศษและตัวประกอบโดยตรง
ข้อจริง 42 กำหนด \(Q(x)=x^4-15x^2-10x+24\) ข้อใดกล่าวไม่ถูกต้อง
- \(x-1\) เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)\)
- หาร \(Q(x)\) ด้วย \(x-1\) แล้วเหลือเศษ \(1\)
- \(x^2+5x+6\) หาร \(Q(x)\) ลงตัว
- \(x-8\) ไม่เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
ตรวจข้อ 1–2 พร้อมกันด้วย \(Q(1)\)
\[ Q(1)=1-15-10+24=0 \]
จึงมี \(x-1\) เป็นตัวประกอบ และเศษต้องเป็น \(0\) ไม่ใช่ \(1\)
สำหรับข้อ 3: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) และตรวจได้ว่า \(Q(-2)=Q(-3)=0\)
ตอบ: \(\boxed{\text{ข้อ 2}}\)
ข้อจริง 92 ถ้า \(x^{2564}-x^{2022}-1\) หารด้วย \(x-1\) เหลือเศษ \(a\) และ \(a+ak=1\) จงหา \(k\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
เลขชี้กำลังสูงไม่สำคัญ เพราะแทน \(x=1\)
\[ a=1^{2564}-1^{2022}-1=-1 \]
\[ -1-k=1\Rightarrow k=-2 \]
ตอบ: \(\boxed{-2}\)
ข้อสอบจริงชุดที่ 2: ตัวประกอบกับค่าตัวแปร
ข้อจริง 43 กำหนด \(P(x)=x^3+ax^2+bx+8\) โดย \(x-2\) และ \(x-(-1)=x+1\) หาร \(P(x)\) ลงตัว จงหา \(a+b\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
จาก \(P(2)=0\) ได้ \(2a+b=-8\) และจาก \(P(-1)=0\) ได้ \(a-b=-7\)
บวกสมการได้ \(3a=-15\Rightarrow a=-5\) แล้วได้ \(b=2\)
ตอบ: \(\boxed{a+b=-3}\)
ข้อจริง 66 กำหนดให้ \(x-1\) และ \(x+1\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)=3x^3+x^2-mx+n\) จงหาเศษจากการหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-(m+n)\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
จาก \(P(1)=0\) ได้ \(-m+n=-4\) และจาก \(P(-1)=0\) ได้ \(m+n=2\)
แก้ได้ \(m=3,\ n=-1\) ตัวหารใหม่จึงเป็น \(x-2\)
\[ P(2)=3(2)^3+(2)^2-3(2)-1=21 \]
ตอบ: \(\boxed{21}\)
ข้อจริง 94 ถ้า \(x^2+2x-3\) หาร \(P(x)=x^3+5x^2+kx-9\) ลงตัว จงหา \(k\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
\[ x^2+2x-3=(x-1)(x+3) \]
ใช้เพียง \(P(1)=0\): \(1+5+k-9=0\Rightarrow k=3\)
ตรวจ \(P(-3)=-27+45-9-9=0\) จึงถูกต้อง
ตอบ: \(\boxed{3}\)
ข้อสอบจริงชุดที่ 3: โจทย์หลายขั้น
ข้อจริง 59 (ชุดเศษเหลือ) ให้ \(A\) เป็นเศษจากการหาร \(2x^4-5x^2+6x+14\) ด้วย \(x-1\); ให้ \(B\) เป็นเศษจากการหาร \(5x^3+7x^2-8x+17\) ด้วย \(x+2\); ถ้า \(C=B-A\) จงหาเศษจากการหาร \(x^3+4x^2-x-3\) ด้วย \(x-C\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
\[ A=P(1)=17,\qquad B=Q(-2)=21 \]
\(C=B-A=4\) ตัวหารสุดท้ายคือ \(x-4\)
\[ 4^3+4(4)^2-4-3=121 \]
ตอบ: \(\boxed{121}\)
ข้อจริง 59 (ชุดฟังก์ชัน) กำหนด \(p(x)=x^2-3,\ q(x)=x^2+4x\) และ \(h(x)=p(x)+q(x)\) ถ้า \(h(x)=1\) จงหาค่า \(x\) ที่เป็นจำนวนจริงบวก
ดูแนวคิดและวิธีทำ
\(h(x)=2x^2+4x-3\) จึงได้
\[ 2x^2+4x-3=1 \Rightarrow x^2+2x-2=0 \]
\(x=-1\pm\sqrt3\) แต่ค่าบวกมีเพียง \(-1+\sqrt3\)
ตอบ: \(\boxed{-1+\sqrt3}\)
ข้อสอบจริงชุดที่ 4: การหารและแยกตัวประกอบ
ข้อจริง 79 จงหาผลหารของ \[ (3x^3+2x^2+x-6)\div(3x^2+5x+6) \]
ดูแนวคิดและวิธีทำ
ตรวจโดยคูณตัวเลือก:
\[ (x-1)(3x^2+5x+6) =3x^3+2x^2+x-6 \]
ตอบ: \(\boxed{x-1}\)
ข้อจริง 60 (ชุดตัวดำเนินการ) ถ้า \(K\) เป็นผลลัพธ์ของ \[ \frac{2x^3-54}{x^2-9} \div \frac{4x^2+12x+36}{14x+42} \] และ \(A\oplus B=3A+2B-5\) จงหา \(2K\oplus10\)
ดูแนวคิดและวิธีทำ
ใช้ \(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)
เมื่อตัดตัวประกอบร่วมครบ จะได้ \(K=7\)
\[ 2K\oplus10 =14\oplus10 =3(14)+2(10)-5=57 \]
ตอบ: \(\boxed{57}\)
ข้อจริง 60 (ชุดความสัมพันธ์การหาร) กำหนด \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) ถ้าตัวหารคือ \(x+5\) ผลหารคือ \(2x^2+3\) และโจทย์กำหนดส่วนเหลือ \(x-1\) จงหา \((d+1)^2\)
ดูแนวคิด วิธีทำ และข้อสังเกต
ใช้ข้อมูลตามโจทย์:
\[ \begin{aligned} P(x)&=(x+5)(2x^2+3)+(x-1)\\ &=2x^3+10x^2+4x+14 \end{aligned} \]
\(d=14\) ดังนั้น \((d+1)^2=15^2=225\)
ตอบ: \(\boxed{225}\)
ถ้าตัวหารเป็น \(x+5\) เศษตามนิยามควรเป็นค่าคงตัว แต่โจทย์พิมพ์เป็น \(x-1\) ในข้อสอบให้ใช้ข้อมูลตามโจทย์เพื่อหาคำตอบที่ตรงตัวเลือก
ข้อผิดพลาดที่ต้องหยุดให้ได้
เห็น \(x+2\) แล้วแทน \(2\)
ต้องแทน \(-2\) เพราะ \(x+2=0\)
อ่าน \(x-(-1)\) เป็น \(x-1\)
\(x-(-1)=x+1\) จึงแทน \(x=-1\)
ได้ค่าตัวแปรย่อยแล้วหยุด
ต้องอ่านต่อว่าโจทย์ถามผลรวม เศษ หรือค่าตัวดำเนินการ
ตัดพจน์ที่บวกกันในเศษส่วน
ตัดได้เฉพาะตัวประกอบร่วมหลังแยกตัวประกอบแล้ว
Quiz จบบท
สรุปก่อนจบบท
- เศษจาก \(x-a\) คือ \(P(a)\)
- เป็นตัวประกอบเมื่อ \(P(a)=0\)
- ตัวประกอบสองตัวสร้างสมการสองสมการ
- โจทย์ผลหารใช้การคูณกลับเพื่อตรวจได้
- โจทย์หลายขั้นต้องทำตามลำดับจนถึงคำถามสุดท้าย
ทำ Quiz ได้อย่างน้อย \(4\) จาก \(5\) ข้อ และอธิบายได้ว่าข้อสอบจริงแต่ละข้อใช้หลักใด