Final Mission
ในข้อสอบจริง โจทย์มักไม่ถามเพียงว่า “เศษเท่ากับเท่าใด” แต่จะให้หาเศษหลายครั้ง หาค่าตัวแปร หรือสร้างตัวหารใหม่ ก่อนนำคำตอบไปคำนวณขั้นสุดท้าย
แยกโจทย์ยาวให้เป็นขั้นสั้น ๆ ใช้ทฤษฎีบทที่ถูกต้อง และตรวจให้แน่ใจว่าตอบสิ่งที่โจทย์ถามจริง
เป้าหมายการเรียนรู้
- เลือกใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหรือทฤษฎีบทตัวประกอบได้ถูกต้อง
- จัดลำดับการหา \(A,B,C,m,n\) ในโจทย์หลายขั้นได้
- นำค่าที่ได้ไปสร้างตัวหารใหม่และหาเศษขั้นสุดท้ายได้
- เชื่อมการแยกตัวประกอบพหุนามกับโจทย์ตัวดำเนินการได้
- ตรวจคำตอบด้วยการประมาณและการแทนค่ากลับได้
แผนที่ตัดสินใจในห้องสอบ
| ข้อความในโจทย์ | สิ่งที่ต้องทำ |
|---|---|
| หาเศษเมื่อหารด้วย \(x-a\) | คำนวณ \(P(a)\) |
| \(x-a\) เป็นตัวประกอบ | ตั้ง \(P(a)=0\) |
| มีตัวประกอบสองตัว | สร้างสมการสองสมการแล้วแก้ระบบ |
| หารด้วย \(x-(m+n)\) | หา \(m+n\) ก่อน แล้วจึงแทนค่า |
| มีเศษส่วนพหุนาม | แยกตัวประกอบและตัดตัวประกอบร่วมก่อน |
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{หารด้วย }x-a&:\quad \text{เศษ}=P(a)\\ x-a\text{ เป็นตัวประกอบ}&:\quad P(a)=0 \end{aligned}} \]
แม่แบบ 5 ขั้นสำหรับโจทย์ยาว
- วงคำถามสุดท้าย ว่าโจทย์ต้องการหาอะไร
- ตั้งชื่อตัวแปรย่อย เช่น \(A,B,C,m,n\)
- ทำทีละเงื่อนไข อย่ารวมหลายขั้นในบรรทัดเดียว
- นำคำตอบย่อยไปแทน ในเงื่อนไขถัดไป
- ตรวจคำตอบสุดท้าย ทั้งเครื่องหมายและตัวเลือก
ได้ค่า \(A,B,m,n\) แล้วไม่ได้หมายความว่าโจทย์จบ ต้องอ่านต่อว่าให้หา \(B-A\), \(m+n\), เศษ หรือค่าตัวดำเนินการ
ข้อสอบจริงที่ 1: หา \(A,B,C\) แล้วหาเศษต่อ
โจทย์: กำหนดให้ \(A\) แทนเศษจากการหาร \(2x^4-5x^2+6x+14\) ด้วย \(x-1\) และ \(B\) แทนเศษจากการหาร \(5x^3+7x^2-8x+17\) ด้วย \(x+2\) ถ้า \(C=B-A\) จงหาเศษจากการหาร \(x^3+4x^2-x-3\) ด้วย \(x-C\)
ขั้นที่ 1: หา \(A\) โดยแทน \(x=1\)
\[ A=2(1)^4-5(1)^2+6(1)+14=17 \]
ขั้นที่ 2: หา \(B\) โดยแทน \(x=-2\)
\[ B=5(-2)^3+7(-2)^2-8(-2)+17=21 \]
ขั้นที่ 3: หา \(C\)
\[ C=B-A=21-17=4 \]
ขั้นที่ 4: ตัวหารคือ \(x-C=x-4\) จึงแทน \(x=4\) ในพหุนามสุดท้าย
\[ 4^3+4(4)^2-4-3 =64+64-4-3 =121 \]
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{121}\)
ข้อสอบจริงที่ 2: หา \(m,n\) แล้วสร้างตัวหารใหม่
โจทย์: กำหนดให้ \(x-1\) และ \(x+1\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)=3x^3+x^2-mx+n\) จงหาเศษจากการหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-(m+n)\)
จาก \(P(1)=0\)
\[ 3+1-m+n=0 \quad\Rightarrow\quad -m+n=-4 \qquad \text{(1)} \]
จาก \(P(-1)=0\)
\[ -3+1+m+n=0 \quad\Rightarrow\quad m+n=2 \qquad \text{(2)} \]
แก้ระบบสมการได้ \(m=3,\ n=-1\) ดังนั้นตัวหารใหม่คือ \(x-(m+n)=x-2\)
\[ P(2)=3(2)^3+(2)^2-3(2)-1=21 \]
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{21}\)
ข้อสอบจริงที่ 3: แยกตัวประกอบและตัวดำเนินการ
โจทย์: ถ้า \(K\) เป็นผลลัพธ์ของ
\[ \frac{2x^3-54}{x^2-9} \div \frac{4x^2+12x+36}{14x+42} \]
จงหาค่า \(2K\oplus 10\) เมื่อกำหนด \(A\oplus B=3A+2B-5\)
ขั้นที่ 1: แยกตัวประกอบ
\[ \begin{aligned} 2x^3-54&=2(x^3-27) =2(x-3)(x^2+3x+9)\\ x^2-9&=(x-3)(x+3)\\ 4x^2+12x+36&=4(x^2+3x+9)\\ 14x+42&=14(x+3) \end{aligned} \]
ขั้นที่ 2: เปลี่ยนการหารเป็นคูณด้วยส่วนกลับ
\[ \begin{aligned} K &= \frac{2(x-3)(x^2+3x+9)} {(x-3)(x+3)} \times \frac{14(x+3)} {4(x^2+3x+9)}\\ &=7 \end{aligned} \]
ขั้นที่ 3: หา \(2K\oplus 10\)
\[ \begin{aligned} 2K&=14\\ 14\oplus10 &=3(14)+2(10)-5\\ &=57 \end{aligned} \]
ตอบ: \(\boxed{57}\)
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 ให้ \(A\) เป็นเศษจากการหาร \(P(x)=x^3+2x+5\) ด้วย \(x-2\) และ \(B\) เป็นเศษจากการหาร \(Q(x)=x^2-3x+4\) ด้วย \(x+1\) จงหา \(A-B\)
ดูเฉลย
\(A=P(2)=8+4+5=17\) และ \(B=Q(-1)=1+3+4=8\)
ตอบ: \(A-B=17-8=\boxed{9}\)
ข้อ 2 ถ้า \(x-2\) และ \(x+1\) เป็นตัวประกอบของ \(R(x)=x^3+mx^2+nx-6\) จงหา \(m+n\)
ดูเฉลย
จาก \(R(2)=0\) ได้ \(2m+n=-1\) และจาก \(R(-1)=0\) ได้ \(m-n=7\)
แก้ระบบสมการได้ \(m=2,\ n=-5\)
ตอบ: \(\boxed{m+n=-3}\)
ข้อ 3 ให้ \(C\) เป็นเศษจากการหาร \(S(x)=2x^3-x+1\) ด้วย \(x+2\) จงหาเศษจากการหาร \(x^2+3x-4\) ด้วย \(x-C\)
ดูเฉลย
\(C=S(-2)=2(-8)-(-2)+1=-13\)
ตัวหารใหม่คือ \(x-C=x+13\) จึงแทน \(x=-13\)
\((-13)^2+3(-13)-4=169-39-4=126\)
ตอบ: \(\boxed{126}\)
จุดที่พลาดบ่อยในโจทย์หลายขั้น
พลาด: หารด้วย \(x+2\) แต่แทน \(x=2\)
แก้: ตั้งตัวหารเท่ากับศูนย์ก่อนทุกครั้ง
พลาด: คำนวณ \(C=B-A\) เป็น \(A-B\)
แก้: เขียนสูตรของตัวแปรย่อยก่อนแทนตัวเลข
พลาด: ได้ \(m+n=2\) แล้วตอบ 2 ทั้งที่โจทย์ถามเศษจากการหารด้วย \(x-(m+n)\)
แก้: ขีดเส้นใต้คำถามสุดท้ายก่อนเริ่มทำ
พลาด: ในเศษส่วนพหุนาม ตัดพจน์ที่บวกกัน
แก้: ตัดได้เฉพาะ “ตัวประกอบร่วม” หลังแยกตัวประกอบแล้วเท่านั้น
Final Mini Quiz
สรุปภารกิจบทเศษเหลือ
- หาเศษจาก \(x-a\) ให้แทน \(x=a\)
- ตรวจตัวประกอบ \(x-a\) ให้พิจารณาว่า \(P(a)=0\) หรือไม่
- ตัวประกอบสองตัวให้สมการสองสมการสำหรับหา \(m,n\)
- โจทย์หลายขั้นต้องหาค่าตัวแปรย่อยตามลำดับ
- ห้ามหยุดก่อนตอบคำถามสุดท้ายของโจทย์
ทำ Final Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(4\) จาก \(5\) ข้อ และสามารถอธิบายได้ว่าแต่ละขั้นใช้ทฤษฎีบทใด
“เห็นตัวหารให้หาค่าที่ทำให้เป็นศูนย์ เห็นตัวประกอบให้ตั้งค่าพหุนามเป็นศูนย์ แล้วทำตามลำดับจนถึงคำถามสุดท้าย”