ชวนคิด
ถ้าหารพหุนาม \(P(x)\) ด้วย \(x-2\) แล้วได้เศษเป็นศูนย์ เราบอกอะไรเกี่ยวกับ \(x-2\) ได้บ้าง
เมื่อเศษเป็นศูนย์ แสดงว่าหารลงตัว ดังนั้น \(x-2\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) แนวคิดนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ
เป้าหมายการเรียนรู้
- อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเศษเป็นศูนย์กับตัวประกอบได้
- ตรวจสอบว่า \(x-a\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) หรือไม่ได้
- หาค่าตัวแปรเมื่อโจทย์กำหนดตัวประกอบมาให้ได้
- ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบช่วยแยกตัวประกอบพหุนามได้
ทบทวนจาก EP2
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-a\) เศษจะเท่ากับ \(P(a)\)
\[ \text{เศษ}=P(a) \]
ถ้า \(P(a)=0\) แสดงว่าเศษเป็นศูนย์ พหุนามจึงหารด้วย \(x-a\) ได้ลงตัว
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
\[ \boxed{x-a\text{ เป็นตัวประกอบของ }P(x) \iff P(a)=0} \]
| ค่าที่คำนวณได้ | ข้อสรุป |
|---|---|
| \(P(a)=0\) | \(x-a\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) |
| \(P(a)\ne 0\) | \(x-a\) ไม่เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) |
“แทนแล้วได้ศูนย์ ตัวนั้นเป็นตัวประกอบ”
ขั้นตอนตรวจตัวประกอบ
- ดูตัวหารหรือตัวประกอบที่โจทย์กำหนด
- หาค่า \(x\) ที่ทำให้ตัวประกอบนั้นเป็นศูนย์
- นำค่า \(x\) ไปแทนในพหุนาม
- ถ้าผลลัพธ์เป็นศูนย์ ให้สรุปว่าเป็นตัวประกอบ
| ตัวประกอบที่ต้องการตรวจ | ค่าที่นำไปแทน |
|---|---|
| \(x-4\) | \(x=4\) |
| \(x+4\) | \(x=-4\) |
| \(2x-6\) | \(x=3\) |
ตัวอย่างที่ 1: ตรวจว่าเป็นตัวประกอบหรือไม่
โจทย์: จงตรวจสอบว่า \(x-2\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)=x^2-5x+6\) หรือไม่
ตัวประกอบ \(x-2\) ทำให้เป็นศูนย์เมื่อ \(x=2\)
\[ P(2)=2^2-5(2)+6=4-10+6=0 \]
เนื่องจาก \(P(2)=0\) จึงสรุปว่า \(\boxed{x-2\text{ เป็นตัวประกอบของ }P(x)}\)
ตัวอย่างที่ 2: ระวังเครื่องหมายบวก
โจทย์: จงตรวจสอบว่า \(x+2\) เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)=2x^3+x^2-8x-4\) หรือไม่
\(x+2=x-(-2)\) จึงต้องแทน \(x=-2\)
\[ \begin{aligned} Q(-2) &=2(-2)^3+(-2)^2-8(-2)-4\\ &=-16+4+16-4\\ &=0 \end{aligned} \]
ดังนั้น \(\boxed{x+2\text{ เป็นตัวประกอบของ }Q(x)}\)
ตัวอย่างที่ 3: หาค่าตัวแปรจากตัวประกอบ
โจทย์: ถ้า \(x-3\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)=x^2+kx-12\) จงหาค่า \(k\)
เมื่อ \(x-3\) เป็นตัวประกอบ จะได้ \(P(3)=0\)
\[ \begin{aligned} P(3)&=3^2+3k-12=0\\ 9+3k-12&=0\\ 3k-3&=0\\ k&=1 \end{aligned} \]
ตอบ: \(\boxed{k=1}\)
ตัวอย่างที่ 4: ใช้ช่วยแยกตัวประกอบ
โจทย์: จงแยกตัวประกอบ \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\)
ทดลองแทน \(x=1\)
\[ P(1)=1-2-5+6=0 \]
ดังนั้น \(x-1\) เป็นตัวประกอบ เมื่อนำ \(P(x)\) หารด้วย \(x-1\) จะได้ผลหาร \(x^2-x-6\)
\[ \begin{aligned} P(x)&=(x-1)(x^2-x-6)\\ &=(x-1)(x-3)(x+2) \end{aligned} \]
ทฤษฎีบทตัวประกอบช่วยค้นหาตัวประกอบแรก จากนั้นใช้การหารพหุนามและการแยกตัวประกอบต่อให้ครบ
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 จงตรวจสอบว่า \(x+1\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\) หรือไม่
ดูเฉลย
แทน \(x=-1\) จะได้ \(P(-1)=-1-4-1+6=0\)
ตอบ: \(x+1\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\)
ข้อ 2 ถ้า \(x-2\) เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)=2x^2+mx-6\) จงหาค่า \(m\)
ดูเฉลย
\(Q(2)=0\) จึงได้ \(2(2)^2+2m-6=0\)
\(8+2m-6=0\Rightarrow 2m+2=0\Rightarrow m=-1\)
ตอบ: \(\boxed{m=-1}\)
ข้อ 3 ตัวประกอบใดเป็นตัวประกอบของ \(R(x)=x^3+2x^2-x-2\)
A. \(x-1\) B. \(x-3\) C. \(x+3\) D. \(x-4\)
ดูเฉลย
ตรวจ \(x-1\) โดยแทน \(x=1\) จะได้ \(R(1)=1+2-1-2=0\)
ตอบ: A. \(\boxed{x-1}\)
Challenge
กำหนด \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\) จงแยกตัวประกอบให้สมบูรณ์
ดูแนวคิดและเฉลย
แทน \(x=3\) ได้ \(P(3)=27-27-12+12=0\) จึงมี \(x-3\) เป็นตัวประกอบ
เมื่อนำไปหาร จะได้ \(x^2-4\) ซึ่งเป็นผลต่างกำลังสอง
\[ P(x)=(x-3)(x^2-4) =(x-3)(x-2)(x+2) \]
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: \(P(a)\ne 0\) แต่สรุปว่า \(x-a\) เป็นตัวประกอบ
ถูก: ต้องได้ \(P(a)=0\) เท่านั้น จึงจะเป็นตัวประกอบ
ผิด: เห็น \(x+2\) แล้วแทน \(x=2\)
ถูก: \(x+2=0\) เมื่อ \(x=-2\)
ผิด: เมื่อพบตัวประกอบหนึ่งตัวแล้ว หยุดแยกตัวประกอบทันที
ถูก: ต้องนำผลหารมาแยกตัวประกอบต่อ จนแยกไม่ได้อีก
Mini Quiz
สรุป 1 นาที
- \(x-a\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) ก็ต่อเมื่อ \(P(a)=0\)
- แทนค่าแล้วได้ศูนย์ แสดงว่าหารลงตัวและเป็นตัวประกอบ
- ถ้าแทนค่าแล้วไม่เป็นศูนย์ ตัวนั้นไม่เป็นตัวประกอบ
- โจทย์หาค่าตัวแปร ให้ตั้ง \(P(a)=0\) แล้วแก้สมการ
- เมื่อพบตัวประกอบหนึ่งตัวแล้ว ต้องแยกตัวประกอบต่อให้ครบ
นักเรียนตรวจตัวประกอบและหาค่าตัวแปรได้ พร้อมทำ Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(2\) จาก \(3\) ข้อ