ชวนคิด
ถ้าต้องการหาเศษจากการหาร \(P(x)=2x^3-3x+5\) ด้วย \(x-2\) เราจำเป็นต้องตั้งหารพหุนามทุกครั้งหรือไม่
เพียงแทน \(x=2\) ลงใน \(P(x)\) ก็หาเศษได้ทันที นี่คือแนวคิดของทฤษฎีบทเศษเหลือ
เป้าหมายการเรียนรู้
- บอกทฤษฎีบทเศษเหลือได้
- เลือกค่าที่ต้องนำไปแทนจากตัวหาร \(x-a\) ได้
- หาเศษจากการหารพหุนามโดยไม่ต้องตั้งหารยาวได้
- ระวังเครื่องหมายในตัวหาร \(x+a\) ได้
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ถ้านำพหุนาม \(P(x)\) หารด้วย \(x-a\) เศษจากการหารจะเท่ากับค่าของ \(P(a)\)
\[ \boxed{r=P(a)} \]
โดย \(r\) คือเศษจากการหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-a\)
เห็น \(x-a\) ให้แทน \(x=a\)
ทำไมการแทนค่าจึงให้คำตอบเป็นเศษ
จากความสัมพันธ์ของการหารพหุนาม
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
เมื่อแทน \(x=a\) จะทำให้ตัวหาร \(x-a\) เท่ากับศูนย์
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=0+r=r \]
ดังนั้น \(P(a)\) จึงเท่ากับเศษ \(r\)
เลือกค่าที่ต้องแทนให้ถูกต้อง
ให้หาค่า \(x\) ที่ทำให้ตัวหารเท่ากับศูนย์
| ตัวหาร | ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ | ค่าที่ต้องแทน |
|---|---|---|
| \(x-3\) | \(x-3=0\) | \(x=3\) |
| \(x+3\) | \(x+3=0\) | \(x=-3\) |
| \(2x-4\) | \(2x-4=0\) | \(x=2\) |
| \(3x+6\) | \(3x+6=0\) | \(x=-2\) |
หารด้วย \(x+2\) ต้องแทน \(x=-2\) ไม่ใช่ \(x=2\)
ตัวอย่างที่ 1: ตัวหารเป็น \(x-a\)
โจทย์: จงหาเศษจากการหาร \(P(x)=2x^3-3x+5\) ด้วย \(x-2\)
ตัวหาร \(x-2\) ทำให้เป็นศูนย์เมื่อ \(x=2\) ดังนั้นเศษเท่ากับ \(P(2)\)
\[ P(2)=2(2)^3-3(2)+5 =16-6+5 =15 \]
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{15}\)
ตัวอย่างที่ 2: ตัวหารมีเครื่องหมายบวก
โจทย์: จงหาเศษจากการหาร \(Q(x)=x^3+2x^2-5\) ด้วย \(x+1\)
\(x+1=x-(-1)\) จึงต้องแทน \(x=-1\)
\[ Q(-1)=(-1)^3+2(-1)^2-5 =-1+2-5 =-4 \]
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{-4}\)
ตัวอย่างที่ 3: ตัวหารเป็น \(ax-b\)
โจทย์: จงหาเศษจากการหาร \(R(x)=3x^2+x-7\) ด้วย \(2x-4\)
แก้ \(2x-4=0\) ได้ \(x=2\) ดังนั้นเศษเท่ากับ \(R(2)\)
\[ R(2)=3(2)^2+2-7=12+2-7=7 \]
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{7}\)
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 จงหาเศษจากการหาร \(P(x)=x^2+4x+7\) ด้วย \(x-3\)
ดูเฉลย
แทน \(x=3\) จะได้ \(P(3)=3^2+4(3)+7=9+12+7=28\)
ตอบ: \(\boxed{28}\)
ข้อ 2 จงหาเศษจากการหาร \(Q(x)=2x^3-x+6\) ด้วย \(x+2\)
ดูเฉลย
ตัวหาร \(x+2\) ต้องแทน \(x=-2\) จะได้ \(Q(-2)=2(-2)^3-(-2)+6=-16+2+6=-8\)
ตอบ: \(\boxed{-8}\)
ข้อ 3 จงหาเศษจากการหาร \(R(x)=4x^2-5x+1\) ด้วย \(3x-6\)
ดูเฉลย
แก้ \(3x-6=0\) ได้ \(x=2\) แล้วคำนวณ \(R(2)=4(2)^2-5(2)+1=16-10+1=7\)
ตอบ: \(\boxed{7}\)
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: หารด้วย \(x+3\) แล้วแทน \(x=3\)
ถูก: \(x+3=0\) เมื่อ \(x=-3\) จึงต้องแทน \(x=-3\)
ผิด: แทนค่าเฉพาะบางพจน์ของพหุนาม
ถูก: ต้องแทนค่าในทุกพจน์ รวมทั้งพจน์คงตัว
ผิด: ลืมใส่วงเล็บเมื่อแทนจำนวนลบ
ถูก: เขียน \((-2)^2\) และ \((-2)^3\) เพื่อป้องกันความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
Mini Quiz
สรุป 1 นาที
- เมื่อหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-a\) เศษเท่ากับ \(P(a)\)
- หารด้วย \(x-a\) ให้แทน \(x=a\)
- หารด้วย \(x+a\) ให้แทน \(x=-a\)
- ถ้าตัวหารเป็น \(ax-b\) ให้แก้ \(ax-b=0\) ก่อน
- เมื่อแทนจำนวนลบ ต้องใส่วงเล็บให้ครบทุกพจน์
นักเรียนเลือกค่าที่ต้องแทนจากตัวหารได้ถูกต้อง และทำ Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(2\) จาก \(3\) ข้อ