ชวนคิด
เมื่อหารจำนวนเต็ม \(17\) ด้วย \(5\) เราเขียนได้ว่า \(17=5(3)+2\) โดย \(3\) คือผลหาร และ \(2\) คือเศษ
ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร + เศษ
เป้าหมายการเรียนรู้
- อธิบายความหมายของเศษจากการหารพหุนามได้
- แยกตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร และเศษได้
- อ่านค่าเศษจากรูปการหารที่กำหนดให้ได้ทันที
- ตรวจสอบคำตอบด้วยความสัมพันธ์ของการหารได้
หลักสำคัญของการหารพหุนาม
เมื่อหารพหุนาม \(P(x)\) ด้วยพหุนาม \(D(x)\) เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ว่า
\[ P(x)=D(x)Q(x)+R(x) \]
| สัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|
| \(P(x)\) | พหุนามตั้ง |
| \(D(x)\) | พหุนามหาร |
| \(Q(x)\) | ผลหาร |
| \(R(x)\) | เศษ |
ดีกรีของเศษต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวหารเสมอ ถ้าตัวหารเป็น \(x-a\) ซึ่งมีดีกรี \(1\) เศษจึงเป็นเพียงค่าคงตัว เช่น \(0, 3, -5\)
ตัวอย่างที่ 1: อ่านเศษจากรูปที่กำหนด
โจทย์: กำหนดให้ \(P(x)=(x-2)(2x+1)+5\) เมื่อหาร \(P(x)\) ด้วย \(x-2\) เศษเท่ากับเท่าใด
สังเกต:
- ตัวหารคือ \(x-2\)
- ผลหารคือ \(2x+1\)
- จำนวนที่บวกอยู่ท้ายสุดคือ \(5\)
ตอบ: เศษเท่ากับ \(\boxed{5}\)
ตัวอย่างที่ 2: ตรวจสอบว่ารูปการหารจริงหรือไม่
กำหนดให้ \(x^2+3x+5=(x+1)(x+2)+3\)
ตรวจสอบด้านขวา:
\[ (x+1)(x+2)+3 =x^2+3x+2+3 =x^2+3x+5 \]
ดังนั้น เมื่อหาร \(x^2+3x+5\) ด้วย \(x+1\)
- ผลหารคือ \(x+2\)
- เศษคือ \(3\)
นำ “ตัวหาร × ผลหาร + เศษ” กลับมาคำนวณ ต้องได้พหุนามตั้งเดิม
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 กำหนดให้ \(A(x)=(x-3)(x+4)+7\) เมื่อหาร \(A(x)\) ด้วย \(x-3\) เศษเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
เปรียบเทียบกับรูป \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x)\) จะเห็นว่าจำนวนท้ายสุดคือ \(7\) ดังนั้นเศษเท่ากับ \(\boxed{7}\)
ข้อ 2 กำหนดให้ \(B(x)=(x+2)(3x-1)-4\) เมื่อหาร \(B(x)\) ด้วย \(x+2\) เศษเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
จำนวนที่อยู่นอกผลคูณคือ \(-4\) ดังนั้นเศษเท่ากับ \(\boxed{-4}\)
ข้อ 3 จากความสัมพันธ์ \(2x^2+5x+5=(x+2)(2x+1)+3\) จงระบุตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร และเศษ
ดูเฉลย
- ตัวตั้งคือ \(2x^2+5x+5\)
- ตัวหารคือ \(x+2\)
- ผลหารคือ \(2x+1\)
- เศษคือ \(3\)
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: เห็น \(P(x)=(x-2)(x+5)-3\) แล้วตอบว่าเศษคือ \(3\)
ถูก: จำนวนท้ายสุดคือ \(-3\) ดังนั้นเศษคือ \(\boxed{-3}\)
ผิด: คิดว่าเศษต้องเป็นจำนวนบวกเสมอ
ถูก: เศษของพหุนามอาจเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้
เครื่องหมายลบที่อยู่หน้าเศษต้องติดไปกับค่าของเศษเสมอ
Mini Quiz
สรุป 1 นาที
- การหารพหุนามใช้ความสัมพันธ์ \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x)\)
- เศษคือส่วนที่เหลือหลังจากนำตัวหารคูณผลหารแล้ว
- ดีกรีของเศษต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวหาร
- ถ้าตัวหารมีดีกรี \(1\) เศษจะเป็นค่าคงตัว
- ตรวจคำตอบได้ด้วย “ตัวหาร × ผลหาร + เศษ”
นักเรียนแยกตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร และเศษได้ และทำ Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(2\) จาก \(3\) ข้อ