ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP1 : แก้ปัญหาสมการวงกลมและเส้นสัมผัส

เรียนรู้การวิเคราะห์โจทย์สมการวงกลมจากข้อสอบจริง โดยเชื่อมโยงการทำกำลังสองสมบูรณ์ จุดศูนย์กลาง รัศมี ระยะจากจุดถึงเส้นตรง และสมบัติของเส้นสัมผัส พร้อมแบบฝึกทักษะและแนวข้อสอบประยุกต์

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP1 • Exam-Driven Mathematics

แก้ปัญหาสมการวงกลมและเส้นสัมผัส

บทเรียนนี้ไม่ได้เริ่มจากการท่องสูตรวงกลม แต่เริ่มจากโจทย์ข้อสอบ แล้ววิเคราะห์ย้อนกลับว่า ต้องใช้ความรู้เรื่องใดบ้างจึงจะหาคำตอบได้

เป้าหมายสำคัญ

เมื่อพบสมการวงกลมและเส้นตรง ผู้เรียนต้องสามารถหาจุดศูนย์กลาง รัศมี และเลือกใช้สมบัติของเส้นสัมผัสได้อย่างถูกต้อง

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดสมการวงกลม C เป็น

x2 + y2 − 10x = 0

วงกลมตัดกับเส้นตรง

4x + 3y − 20 = 0

ที่จุดสองจุด จงหาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสวงกลม ณ จุดตัดทั้งสอง

  1. 6 หน่วย
  2. 8.4 หน่วย
  3. 10 หน่วย
  4. 12.4 หน่วย
ลองคิดก่อนเรียน

เราควรเริ่มจากการหาจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรง หรือควรหาจุดศูนย์กลางและรัศมีก่อน?

🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ให้สมการวงกลมมาในรูปทั่วไป จึงยังอ่านจุดศูนย์กลางและรัศมีไม่ได้ทันที

นอกจากนี้ โจทย์ไม่ได้ถามหาจุดตัดโดยตรง แต่ถามระยะระหว่างเส้นสัมผัสที่จุดตัดทั้งสอง

สมการวงกลม → จุดศูนย์กลางและรัศมี → ตรวจตำแหน่งของเส้นตรง → วิเคราะห์จุดตัด → ใช้สมบัติเส้นสัมผัส
คำถามสำคัญ
  • วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ใด?
  • วงกลมมีรัศมียาวเท่าใด?
  • เส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางหรือไม่?
  • จุดตัดทั้งสองเป็นปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางหรือไม่?
  • เส้นสัมผัสทั้งสองมีระยะห่างกันเท่าใด?
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • สมการมาตรฐานของวงกลม
  • การทำกำลังสองสมบูรณ์
  • การหาจุดศูนย์กลางและรัศมี
  • ระยะจากจุดถึงเส้นตรง
  • สมบัติของรัศมีกับเส้นสัมผัส
  • ระยะระหว่างเส้นสัมผัสคู่ขนาน
📖

3. นิยามและสูตรที่จำเป็น

3.1 สมการมาตรฐานของวงกลม

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

จากสมการนี้

  • จุดศูนย์กลาง คือ (h, k)
  • รัศมี คือ r
ระวังเครื่องหมาย

ถ้าเห็น (x − 5)2 จุดศูนย์กลางในแกน x คือ 5

ถ้าเห็น (y + 3)2 ต้องเขียนเป็น (y − (−3))2 ดังนั้นพิกัดแกน y คือ −3

3.2 การทำกำลังสองสมบูรณ์

x2 − 2ax = (x − a)2 − a2
x2 + 2ax = (x + a)2 − a2

วิธีคิดอย่างรวดเร็ว คือ นำสัมประสิทธิ์ของ x หารด้วย 2 แล้วนำผลลัพธ์ไปยกกำลังสอง

x2 − 10x = (x − 5)2 − 25

3.3 ระยะจากจุดถึงเส้นตรง

ถ้าจุดคือ (x0, y0) และเส้นตรงคือ

Ax + By + C = 0

ระยะตั้งฉากจากจุดถึงเส้นตรงหาได้จาก

d = |Ax0 + By0 + C| ÷ √(A2 + B2)

3.4 สมบัติของเส้นสัมผัส

  • เส้นสัมผัสแตะวงกลมเพียงหนึ่งจุด
  • รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสตั้งฉากกับเส้นสัมผัส
  • เส้นสัมผัสที่ปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางจะขนานกัน
  • ระยะระหว่างเส้นสัมผัสคู่นี้เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง
ระยะระหว่างเส้นสัมผัส = 2r
🧩

4. กลับมาแก้โจทย์นำ

ขั้นที่ 1 เปลี่ยนสมการวงกลมเป็นรูปมาตรฐาน

x2 + y2 − 10x = 0

จัดกลุ่มพจน์ที่มี x

x2 − 10x + y2 = 0

ทำกำลังสองสมบูรณ์

(x − 5)2 − 25 + y2 = 0
(x − 5)2 + y2 = 25

ดังนั้น

  • จุดศูนย์กลาง คือ (5, 0)
  • รัศมี คือ 5 หน่วย

ขั้นที่ 2 ตรวจว่าเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางหรือไม่

เส้นตรงที่โจทย์กำหนดคือ

4x + 3y − 20 = 0

แทนจุดศูนย์กลาง (5, 0)

4(5) + 3(0) − 20 = 20 − 20 = 0

ได้ผลลัพธ์เป็น 0 แสดงว่า เส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

ขั้นที่ 3 วิเคราะห์จุดตัด

เมื่อเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางและตัดวงกลมสองจุด จุดตัดทั้งสองจึงเป็นปลายของ เส้นผ่านศูนย์กลาง

ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง = 2r = 2(5) = 10

ขั้นที่ 4 วิเคราะห์เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสที่ปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง ตั้งฉากกับรัศมีแนวเดียวกัน จึงเป็นเส้นขนานกัน

ระยะระหว่างเส้นสัมผัสทั้งสอง เท่ากับความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ระยะห่าง = 2r = 10 หน่วย
ตอบ ข้อ 3 — 10 หน่วย
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

เห็นสมการวงกลมรูปทั่วไป → ทำกำลังสองสมบูรณ์ → หาศูนย์กลางและรัศมี
แทนจุดศูนย์กลางในสมการเส้นตรงแล้วได้ 0 → เส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลาง
เส้นตรงผ่านศูนย์กลางและตัดวงกลม → จุดตัดเป็นปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง
เส้นสัมผัสที่ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง → ขนานกัน → ระยะห่างเท่ากับ 2r
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • พยายามแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัดทันที
  • อ่านจุดศูนย์กลางผิดเครื่องหมาย
  • ใช้รัศมีแทนเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • คิดว่าต้องใช้สูตรระยะทุกครั้ง ทั้งที่โจทย์มีทางลัด
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

ลองทำด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย

  1. จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม

    x2 + y2 − 6x + 8y = 0
    ดูเฉลย
    x2 − 6x + y2 + 8y = 0
    (x − 3)2 − 9 + (y + 4)2 − 16 = 0
    (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25

    จุดศูนย์กลาง (3, −4) และรัศมี 5 หน่วย

  2. จงหาระยะจากจุด (2, −1) ถึงเส้นตรง

    3x + 4y − 12 = 0
    ดูเฉลย
    d = |3(2) + 4(−1) − 12| ÷ √(32 + 42)
    d = |6 − 4 − 12| ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2

    ตอบ 2 หน่วย

  3. กำหนดวงกลม

    (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25

    จงตรวจสอบว่าเส้นตรง 3x + 4y − 20 = 0 เป็นเส้นสัมผัสหรือไม่

    ดูเฉลย

    จุดศูนย์กลางคือ (1, −2) และรัศมีเท่ากับ 5

    d = |3(1) + 4(−2) − 20| ÷ 5
    d = |3 − 8 − 20| ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5

    ระยะจากศูนย์กลางถึงเส้นตรง เท่ากับรัศมี

    ดังนั้นเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส

  4. วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด รัศมี 5 หน่วย และถูกตัดด้วยเส้นตรง x = 3 จงหาความยาวคอร์ด

    ดูเฉลย

    ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรงเท่ากับ 3

    ครึ่งหนึ่งของคอร์ดหาได้จากทฤษฎีพีทาโกรัส

    ครึ่งคอร์ด = √(52 − 32) = √16 = 4
    ความยาวคอร์ด = 2(4) = 8

    ตอบ 8 หน่วย

  5. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 7 หน่วย จงหาระยะระหว่างเส้นสัมผัสสองเส้น ที่อยู่ตรงข้ามกันและขนานกัน

    ดูเฉลย

    ระยะระหว่างเส้นสัมผัสคู่ขนาน ที่อยู่ตรงข้ามกันเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง

    ระยะห่าง = 2r = 2(7) = 14

    ตอบ 14 หน่วย

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

โจทย์ชุดนี้อยู่ในระดับเดียวกันหรือสูงกว่าโจทย์นำ เน้นการเลือกใช้สมบัติให้เหมาะกับสถานการณ์

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 วงกลม x² + y² − 10x = 0 ถูกตัดด้วยเส้นตรง 4x + 3y − 20 = 0 ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลาง ระยะระหว่างเส้นสัมผัสที่จุดตัดทั้งสองเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (5, 0) และรัศมี 5 หน่วย

เส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลาง จุดตัดทั้งสองจึงเป็นปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง

ระยะระหว่างเส้นสัมผัส = 2r = 10

ตอบ C. 10 หน่วย

ข้อ 2 วงกลม x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 มีระยะระหว่างเส้นสัมผัสคู่ขนาน ที่อยู่ตรงข้ามกันเท่าใด
ดูคำอธิบาย
x² + 4x + y² − 6y = 12
(x + 2)² + (y − 3)² = 25

รัศมีเท่ากับ 5 หน่วย

ระยะระหว่างเส้นสัมผัส = 2r = 10

ตอบ B. 10 หน่วย

ข้อ 3 วงกลม (x − 2)² + (y + 1)² = 25 ถูกตัดด้วยเส้นตรง 3x + 4y − 17 = 0 จงหาความยาวคอร์ดที่เกิดขึ้น
ดูคำอธิบาย

จุดศูนย์กลางคือ (2, −1) และรัศมีเท่ากับ 5

d = |3(2) + 4(−1) − 17| ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3
ครึ่งคอร์ด = √(5² − 3²) = 4
ความยาวคอร์ด = 2(4) = 8

ตอบ A. 8 หน่วย

ข้อ 4 วงกลม (x − 1)² + (y − 2)² = 9 เส้นตรงข้อใดเป็นเส้นสัมผัสของวงกลม
ดูคำอธิบาย

จุดศูนย์กลางคือ (1, 2) และรัศมีเท่ากับ 3

ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรง x = 4 คือ

|4 − 1| = 3

ระยะเท่ากับรัศมี จึงเป็นเส้นสัมผัส

ตอบ D. x = 4

ข้อ 5 วงกลม x² + y² − 8x + 6y − 11 = 0 และเส้นตรง 5x + 12y + k = 0 ถ้าเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส ผลบวกของค่า k ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
x² − 8x + y² + 6y = 11
(x − 4)² + (y + 3)² = 36

จุดศูนย์กลางคือ (4, −3) และรัศมีเท่ากับ 6

เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสเมื่อ ระยะจากศูนย์กลางถึงเส้นตรงเท่ากับ 6

|5(4) + 12(−3) + k| ÷ √(5² + 12²) = 6
|k − 16| ÷ 13 = 6
|k − 16| = 78

จึงได้

k = 94 หรือ k = −62
ผลบวก = 94 + (−62) = 32

ตอบ C. 32

📌

8. สรุปก่อนจบบท

เมื่อโจทย์ให้ สิ่งที่ควรทำ
สมการวงกลมรูปทั่วไป ทำกำลังสองสมบูรณ์
สมการรูปมาตรฐาน อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมี
จุดกับเส้นตรง ใช้สูตรระยะจากจุดถึงเส้นตรง
ระยะจากศูนย์กลางเท่ากับรัศมี เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส
เส้นตรงผ่านศูนย์กลาง คอร์ดที่เกิดขึ้นเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
เส้นสัมผัสตรงข้ามและขนานกัน ระยะห่างเท่ากับ 2r
  • ฉันเปลี่ยนสมการวงกลมเป็นรูปมาตรฐานได้
  • ฉันหาจุดศูนย์กลางและรัศมีได้
  • ฉันตรวจได้ว่าเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางหรือไม่
  • ฉันใช้สูตรระยะจากจุดถึงเส้นตรงได้
  • ฉันตรวจสอบเส้นสัมผัสได้
  • ฉันหาระยะระหว่างเส้นสัมผัสคู่ขนานได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่ารีบคำนวณหาจุดตัดทุกครั้ง ให้หาจุดศูนย์กลางและรัศมีก่อน แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต เพราะหลายโจทย์มีทางลัดที่เร็วกว่า

กลับด้านบน