ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP2 : แก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เรียนรู้การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากโจทย์ข้อสอบ 2 รูปแบบ โดยฝึกจัดรูปสมการ เลือกวิธีแทนค่าและกำจัดตัวแปร พร้อมแบบฝึกเสริมทักษะและแนวข้อสอบประยุกต์

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP2 • Exam-Driven Mathematics

แก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

บทเรียนนี้เริ่มจากโจทย์ข้อสอบ 2 ข้อ ซึ่งกำหนดระบบสมการเหมือนกัน แต่ถามหาค่าของนิพจน์ต่างกัน

เป้าหมายของบทเรียน

หาค่า x และ y จากระบบสมการ แล้วนำคำตอบไปคำนวณค่าที่โจทย์ต้องการได้อย่างถูกต้อง

❓

ปัญหานำข้อที่ 1

ถ้า x และ y เป็นคำตอบของระบบสมการ

2x − 3y = −9
3(x − 1) = 5(y − 4) + 2

แล้วค่าของ x2 + y2 ตรงกับข้อใด

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
ลองคิดก่อน

สมการที่สองยังไม่อยู่ในรูปมาตรฐาน เราควรทำสิ่งใดก่อนกำจัดตัวแปร?

❓

ปัญหานำข้อที่ 2

ถ้า x และ y เป็นคำตอบของระบบสมการ

2x − y − 5 = 0
x + 3y + 1 = 0

แล้วค่าของ 2x − 3y ตรงกับข้อใด

  1. 8
  2. 7
  3. 6
  4. 5
ลองวิเคราะห์

ข้อนี้ควรใช้วิธีแทนค่า หรือวิธีกำจัดตัวแปรจึงจะคำนวณได้เร็วกว่า?

🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ทั้งสองข้อไม่ได้ถามค่า x หรือ y โดยตรง แต่ให้หาระบบสมการก่อน แล้วนำคำตอบไปแทนในนิพจน์ที่กำหนด

จัดรูปสมการ → เลือกวิธีแก้ → หาค่า x และ y → ตรวจคำตอบ → คำนวณนิพจน์ที่โจทย์ถาม
จุดที่ต้องระวัง
  • กระจายวงเล็บและย้ายข้างให้ถูกต้อง
  • เมื่อคูณสมการ ต้องคูณทุกพจน์
  • ระวังเครื่องหมายลบ
  • โจทย์อาจไม่ได้ถาม x หรือ y โดยตรง
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
  • การจัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน
  • สมบัติการแจกแจง
  • วิธีแทนค่า
  • วิธีกำจัดตัวแปร
  • การตรวจคำตอบของระบบสมการ
  • การนำคำตอบไปหาค่านิพจน์
📖

3. นิยาม สมบัติ และวิธีที่จำเป็น

3.1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นอย่างน้อย 2 สมการ ที่มีตัวแปรเดียวกัน เช่น x และ y

ax + by = c
dx + ey = f

คำตอบของระบบสมการคือคู่ลำดับ (x, y) ที่ทำให้สมการทุกสมการเป็นจริงพร้อมกัน

3.2 สมบัติการแจกแจง

a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac

ตัวอย่าง

3(x − 1) = 3x − 3
5(y − 4) = 5y − 20

3.3 วิธีแทนค่า

จัดสมการหนึ่งให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วนำไปแทนในอีกสมการ

2x − y = 5 → y = 2x − 5

วิธีนี้เหมาะเมื่อมีตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็น 1 หรือ −1

3.4 วิธีกำจัดตัวแปร

ทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวหนึ่งเท่ากัน หรือตรงข้ามกัน แล้วนำสมการมาบวกหรือลบกัน

2x − 3y = −9
3x − 5y = −15

อาจคูณสมการเพื่อทำให้สัมประสิทธิ์ของ x เท่ากัน แล้วลบสมการเพื่อกำจัด x

3.5 การตรวจคำตอบ

เมื่อได้ค่า x และ y แล้ว ควรแทนกลับในสมการเดิมทั้งสองสมการ

หลักเลือกวิธีอย่างรวดเร็ว
  • เห็นสัมประสิทธิ์ 1 หรือ −1 ให้พิจารณาวิธีแทนค่า
  • สัมประสิทธิ์ทำให้เท่ากันง่าย ให้ใช้วิธีกำจัดตัวแปร
  • มีวงเล็บ ให้จัดรูปก่อนเสมอ
🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำข้อที่ 1

ระบบสมการคือ

2x − 3y = −9
3(x − 1) = 5(y − 4) + 2

ขั้นที่ 1 จัดรูปสมการที่สอง

3x − 3 = 5y − 20 + 2
3x − 3 = 5y − 18
3x − 5y = −15

จึงได้ระบบสมการ

2x − 3y = −9
3x − 5y = −15

ขั้นที่ 2 กำจัดตัวแปร x

คูณสมการแรกด้วย 3

6x − 9y = −27

คูณสมการที่สองด้วย 2

6x − 10y = −30

นำสมการแรกลบสมการที่สอง

(6x − 9y) − (6x − 10y) = −27 − (−30)
y = 3

ขั้นที่ 3 หาค่า x

แทน y = 3 ในสมการแรก

2x − 3(3) = −9
2x − 9 = −9
x = 0

ขั้นที่ 4 หาค่าที่โจทย์ถาม

x2 + y2 = 02 + 32
= 9
ตอบ ข้อ 3 — 9
🧩

5. กลับมาแก้ปัญหานำข้อที่ 2

ระบบสมการคือ

2x − y − 5 = 0
x + 3y + 1 = 0

ขั้นที่ 1 จัดรูปสมการแรก

2x − y = 5
y = 2x − 5

ขั้นที่ 2 ใช้วิธีแทนค่า

แทน y = 2x − 5 ในสมการที่สอง

x + 3(2x − 5) + 1 = 0
x + 6x − 15 + 1 = 0
7x − 14 = 0
x = 2

ขั้นที่ 3 หาค่า y

y = 2(2) − 5
y = −1

ขั้นที่ 4 หาค่าที่โจทย์ถาม

2x − 3y = 2(2) − 3(−1)
= 4 + 3 = 7
ตอบ ข้อ 2 — 7
⚡

6. รูปแบบที่ควรจำ

มีวงเล็บ → แจกแจง → ย้ายข้าง → จัดรูปก่อนแก้ระบบ
สัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็น 1 หรือ −1 → พิจารณาวิธีแทนค่า
สัมประสิทธิ์ทำให้เท่ากันได้ง่าย → ใช้วิธีกำจัดตัวแปร
ได้ค่า x และ y แล้ว → อย่าหยุด → อ่านว่าโจทย์ถามนิพจน์ใด
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • แจกแจงเครื่องหมายลบผิด
  • คูณเพียงบางพจน์ของสมการ
  • ลบสมการโดยไม่ใส่วงเล็บ
  • ได้ค่า x และ y แล้วลืมหาค่าที่โจทย์ถาม
  • แทนค่าเครื่องหมายลบผิด เช่น −3(−1) = +3
✏️

7. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

ฝึกจัดรูปและแก้ระบบสมการก่อนเข้าสู่แนวข้อสอบประยุกต์

  1. จงแก้ระบบสมการ

    x + y = 7
    x − y = 1
    ดูเฉลย

    บวกสมการทั้งสอง

    2x = 8 → x = 4
    4 + y = 7 → y = 3

    ตอบ x = 4 และ y = 3

  2. จงแก้ระบบสมการ

    2x + y = 7
    x − y = 2
    ดูเฉลย

    บวกสมการทั้งสอง

    3x = 9 → x = 3
    3 − y = 2 → y = 1

    ตอบ x = 3 และ y = 1

  3. ถ้า

    3x + 2y = 12
    x + 2y = 8

    จงหาค่า x + y

    ดูเฉลย

    ลบสมการที่สองออกจากสมการแรก

    2x = 4 → x = 2
    2 + 2y = 8 → y = 3
    x + y = 2 + 3 = 5

    ตอบ 5

  4. ถ้า

    2(x + 1) + y = 9
    x − y = 1

    จงหาค่า xy

    ดูเฉลย
    2x + 2 + y = 9 → 2x + y = 7

    บวกกับสมการ x − y = 1

    3x = 8 → x = 8/3
    y = x − 1 = 8/3 − 1 = 5/3
    xy = (8/3)(5/3) = 40/9

    ตอบ 40/9

  5. ถ้า

    4x − 3y = 11
    2x + 3y = 7

    จงหาค่า x2 − y2

    ดูเฉลย

    บวกสมการทั้งสอง

    6x = 18 → x = 3
    2(3) + 3y = 7 → 3y = 1 → y = 1/3
    x² − y² = 9 − 1/9 = 80/9

    ตอบ 80/9

🎓

8. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

โจทย์ชุดนี้เน้นการจัดรูป เลือกวิธีแก้ระบบ และนำค่า x กับ y ไปคำนวณนิพจน์

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 ถ้า 2x − 3y = −9 และ 3(x − 1) = 5(y − 4) + 2 แล้ว x² + y² เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

จัดสมการที่สองได้ 3x − 5y = −15

แก้ระบบสมการได้ x = 0 และ y = 3

x² + y² = 0² + 3² = 9

ตอบ C. 9

ข้อ 2 ถ้า 2x − y − 5 = 0 และ x + 3y + 1 = 0 แล้ว 2x − 3y เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

จากสมการแรกได้ y = 2x − 5 แทนในสมการที่สองได้ x = 2 และ y = −1

2x − 3y = 2(2) − 3(−1) = 7

ตอบ B. 7

ข้อ 3 ถ้า 3x + 2y = 16 และ x − 2y = 0 แล้ว x + y เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

จาก x − 2y = 0 ได้ x = 2y

3(2y) + 2y = 16
8y = 16 → y = 2
x = 4
x + y = 4 + 2 = 6

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ C. 6

ข้อ 4 ถ้า 5x − 2y = 4 และ 3x + 2y = 12 แล้ว xy เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

บวกสมการทั้งสอง

8x = 16 → x = 2
3(2) + 2y = 12 → y = 3
xy = 2(3) = 6

ตอบ A. 6

ข้อ 5 ถ้า 2(x + y) = 14 และ 3x − y = 9 แล้ว x² + y² เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

จาก 2(x + y) = 14 ได้

x + y = 7

ดังนั้น y = 7 − x

3x − (7 − x) = 9
4x = 16 → x = 4
y = 3
x² + y² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

ตอบ D. 25

📌

9. สรุปก่อนจบบท

ลักษณะโจทย์ แนวทางแก้
สมการมีวงเล็บ แจกแจงและจัดรูปก่อน
ตัวแปรมีสัมประสิทธิ์ 1 หรือ −1 พิจารณาวิธีแทนค่า
สัมประสิทธิ์ทำให้เท่ากันง่าย ใช้วิธีกำจัดตัวแปร
ได้ค่า x และ y แล้ว แทนค่าในนิพจน์ที่โจทย์ถาม
ไม่แน่ใจว่าคำตอบถูกหรือไม่ แทนกลับในสมการเดิมทั้งสองสมการ
จัดรูป → เลือกวิธี → แก้ระบบ → ตรวจคำตอบ → หาค่านิพจน์
  • ฉันจัดสมการที่มีวงเล็บได้
  • ฉันใช้วิธีแทนค่าได้
  • ฉันใช้วิธีกำจัดตัวแปรได้
  • ฉันตรวจคำตอบของระบบสมการได้
  • ฉันนำค่า x และ y ไปคำนวณนิพจน์ได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่ารีบกำจัดตัวแปรทันที ให้จัดสมการให้อยู่ในรูปที่อ่านง่ายก่อน จากนั้นเลือกวิธีที่ใช้ขั้นตอนน้อยที่สุด

กลับด้านบน