ชวนคิด
ใน EP4 เราแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบ แต่บางสมการแยกตัวประกอบได้ยาก เช่น
เราจึงต้องมีวิธีที่ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกข้อ นั่นคือ สูตรกำลังสอง
เป้าหมายการเรียนรู้
เมื่อเรียนจบ ผู้เรียนสามารถ
- ระบุค่า \(a,b,c\) จากสมการกำลังสองได้
- คำนวณค่า discriminant ได้
- บอกจำนวนคำตอบจริงจากค่า discriminant ได้
- ใช้สูตรกำลังสองหาค่า \(x\) ได้
- ระวังเครื่องหมายลบและส่วน \(2a\) ได้
สูตรกำลังสองใช้ได้กับสมการ \(ax^2+bx+c=0\) ทุกสมการ เมื่อ \(a\ne0\)
เตรียมสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน
ก่อนใช้สูตร ต้องจัดสมการให้อยู่ในรูป
แล้วระบุค่า \(a,b,c\) พร้อมเครื่องหมาย
- \(a=2\)
- \(b=-5\)
- \(c=-3\)
ค่า \(b\) และ \(c\) ต้องนำเครื่องหมายหน้าพจน์ติดไปด้วย เช่น พจน์ \(-5x\) ทำให้ \(b=-5\)
ค่า discriminant
ค่า discriminant ใช้สัญลักษณ์ \(\Delta\) อ่านว่า “เดลตา”
ค่า \(\Delta\) ใช้บอกจำนวนคำตอบจริงของสมการกำลังสอง
- ถ้า \(\Delta>0\) มีคำตอบจริง 2 คำตอบที่ต่างกัน
- ถ้า \(\Delta=0\) มีคำตอบจริง 1 คำตอบ หรือรากซ้ำ
- ถ้า \(\Delta<0\) ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง
ตัวอย่างที่ 1: ใช้ \(\Delta\) บอกจำนวนคำตอบ
ระบุค่า
- \(a=1\)
- \(b=-5\)
- \(c=6\)
คำนวณ discriminant
สูตรกำลังสอง
สำหรับสมการ
คำตอบหาได้จาก
หรือเขียนโดยใช้ \(\Delta\) ได้ว่า
ขั้นตอนมาตรฐาน 5 ขั้น
- จัด สมการให้อยู่ในรูป \(ax^2+bx+c=0\)
- หา ค่า \(a,b,c\) และคำนวณ \(\Delta\)
- ดู จำนวนคำตอบจากเครื่องหมายของ \(\Delta\)
- แทน ค่าในสูตรกำลังสอง
- ตอบ ค่า \(x\) ให้ครบ และตรวจความสมเหตุสมผล
ตัวอย่างที่ 2: \(\Delta>0\) มี 2 คำตอบ
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\)
แทนค่าในสูตร
- \(x=\frac{5+1}{2}=3\)
- \(x=\frac{5-1}{2}=2\)
ตัวอย่างที่ 3: \(\Delta=0\) เป็นรากซ้ำ
\(a=1,\ b=-6,\ c=9\)
แทนค่าในสูตร
ตัวอย่างที่ 4: \(\Delta<0\) ไม่มีคำตอบจริง
\(a=1,\ b=2,\ c=5\)
ตัวอย่างที่ 5: คำตอบมีกรณฑ์
\(a=2,\ b=3,\ c=-7\)
แทนค่าในสูตร
ตัวอย่างที่ 6: ต้องย้ายข้างก่อน
จัดรูปมาตรฐานก่อน
ดังนั้น \(a=1,\ b=4,\ c=-12\)
- \(x=\frac{-4+8}{2}=2\)
- \(x=\frac{-4-8}{2}=-6\)
จุดที่พลาดบ่อย
พลาดที่ 1: อ่านค่า \(b\) ผิดเครื่องหมาย
ใน \(x^2-5x+6=0\) ต้องใช้ \(b=-5\) ไม่ใช่ \(b=5\)
พลาดที่ 2: คำนวณ \((-5)^2\) ผิด
\((-5)^2=25\) เพราะจำนวนลบคูณจำนวนลบได้จำนวนบวก
พลาดที่ 3: ลืมเครื่องหมายลบหน้า \(4ac\)
สูตรคือ \(\Delta=b^2-4ac\) ไม่ใช่ \(b^2+4ac\)
พลาดที่ 4: หารเฉพาะรากด้วย \(2a\)
ตัวเศษทั้งหมด \(-b\pm\sqrt{\Delta}\) ต้องหารด้วย \(2a\)
พลาดที่ 5: ลืมแยกเครื่องหมาย \(\pm\)
ต้องคำนวณทั้งกรณีบวกและกรณีลบ เพื่อให้ได้คำตอบครบ
ลองทำ
ข้อ 1 จงหาค่า \(\Delta\) ของ \(x^2-7x+10=0\)
ดูเฉลย
\(a=1,\ b=-7,\ c=10\)
\(\Delta=(-7)^2-4(1)(10)=49-40=9\)
ดังนั้นมีคำตอบจริง 2 คำตอบ
ข้อ 2 จงบอกจำนวนคำตอบจริงของ \(x^2+4x+4=0\)
ดูเฉลย
\(\Delta=4^2-4(1)(4)=16-16=0\)
มีคำตอบจริง 1 คำตอบ หรือรากซ้ำ
ข้อ 3 จงบอกจำนวนคำตอบจริงของ \(x^2+x+3=0\)
ดูเฉลย
\(\Delta=1^2-4(1)(3)=1-12=-11\)
ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง
ข้อ 4 จงแก้สมการ \(x^2-3x-4=0\) ด้วยสูตรกำลังสอง
ดูเฉลย
\(a=1,\ b=-3,\ c=-4\)
\(\Delta=(-3)^2-4(1)(-4)=25\)
\(x=\frac{3\pm5}{2}\)
ดังนั้น \(x=4\) หรือ \(x=-1\)
ข้อ 5 จงแก้สมการ \(2x^2+x-3=0\)
ดูเฉลย
\(a=2,\ b=1,\ c=-3\)
\(\Delta=1^2-4(2)(-3)=25\)
\(x=\frac{-1\pm5}{4}\)
ดังนั้น \(x=1\) หรือ \(x=-\frac32\)
ข้อ 6 จงแก้สมการ \(3x^2+2x-1=0\)
ดูเฉลย
\(a=3,\ b=2,\ c=-1\)
\(\Delta=2^2-4(3)(-1)=16\)
\(x=\frac{-2\pm4}{6}\)
ดังนั้น \(x=\frac13\) หรือ \(x=-1\)
Mini Quiz
เลือกคำตอบแล้วกด ตรวจคำตอบ ระบบจะนับคะแนนให้อัตโนมัติ
Challenge
จงแก้สมการต่อไปนี้ด้วยสูตรกำลังสอง
ดูเฉลย
\(a=3,\ b=-4,\ c=-2\)
คำตอบคือ \(x=\frac{2+\sqrt{10}}{3}\) หรือ \(x=\frac{2-\sqrt{10}}{3}\)
สรุปท้ายบท
- จัดสมการให้อยู่ในรูป \(ax^2+bx+c=0\)
- คำนวณ \(\Delta=b^2-4ac\)
- \(\Delta>0\): มี 2 คำตอบจริง
- \(\Delta=0\): มี 1 คำตอบจริงหรือรากซ้ำ
- \(\Delta<0\): ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง
- ใช้สูตร \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
จัด – หา – ดู – แทน – ตอบ