ชวนคิด
ถ้าพหุนาม \(P(x)\) มี \((x-a)\) และ \((x-b)\) เป็นตัวประกอบ เราจะใช้ข้อมูลนี้หาค่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่ได้อย่างไร
ถ้า \((x-a)\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) แล้ว \(P(a)=0\)
ตัวประกอบสองตัวจึงสร้างสมการได้สองสมการ เพื่อนำไปแก้หาระบบสมการของ \(m,n\)
เป้าหมายการเรียนรู้
- ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบสร้างสมการได้
- สร้างระบบสมการจากตัวประกอบสองตัวได้
- แก้ระบบสมการเพื่อหาค่า \(m,n\) ได้
- ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษจากการหารได้
- ตรวจคำตอบโดยแทนค่ากลับได้
1. สูตรที่ต้องจำ
\[ (x-a)\text{ เป็นตัวประกอบของ }P(x) \iff P(a)=0 \]
\[ \text{เศษจากการหาร }P(x)\text{ ด้วย }(x-a)=P(a) \]
| ตัวหารหรือตัวประกอบ | ค่าที่นำไปแทนใน \(P(x)\) |
|---|---|
| \(x-3\) | \(x=3\) |
| \(x+2\) | \(x=-2\) |
| \(2x-5\) | \(x=\dfrac{5}{2}\) |
ตัวประกอบ \(x+2\) ต้องแทน \(x=-2\) ไม่ใช่ \(x=2\)
2. ขั้นตอนมาตรฐาน
- ดูตัวประกอบแล้วหาค่า \(x\) ที่ทำให้ตัวประกอบเป็นศูนย์
- แทนค่าใน \(P(x)\) และกำหนดให้เท่ากับศูนย์
- สร้างสมการให้ครบสองสมการ
- แก้ระบบสมการเพื่อหา \(m,n\)
- แทน \(m,n\) กลับในพหุนาม
- ถ้าโจทย์ถามเศษ ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ตัวประกอบ → แทนค่า → ได้สองสมการ → หา \(m,n\) → แทนหาค่าเศษ
ตัวอย่างหลัก
กำหนดให้
\[ P(x)=x^3+mx^2+nx-6 \]
ถ้า \((x-1)\) และ \((x-2)\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) จงหา \(m,n\) และหาเศษเมื่อหาร \(P(x)\) ด้วย \((x+1)\)
ขั้นที่ 1 ใช้ตัวประกอบ \((x-1)\)
เพราะ \((x-1)\) เป็นตัวประกอบ จึงได้ \(P(1)=0\)
\[ 1+m+n-6=0 \]
\[ \boxed{m+n=5} \]
ขั้นที่ 2 ใช้ตัวประกอบ \((x-2)\)
เพราะ \((x-2)\) เป็นตัวประกอบ จึงได้ \(P(2)=0\)
\[ 8+4m+2n-6=0 \]
\[ 2m+n=-1 \]
ขั้นที่ 3 แก้ระบบสมการ
\[ \begin{aligned} m+n&=5\\ 2m+n&=-1 \end{aligned} \]
ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง
\[ m=-6 \]
แทนใน \(m+n=5\)
\[ -6+n=5 \]
\[ \boxed{m=-6,\quad n=11} \]
ขั้นที่ 4 หาเศษเมื่อหารด้วย \((x+1)\)
ตัวหาร \((x+1)\) ทำให้ \(x=-1\) ดังนั้นเศษคือ \(P(-1)\)
\[ P(-1)=(-1)^3-6(-1)^2+11(-1)-6 \]
\[ P(-1)=-1-6-11-6 \]
\[ \boxed{\text{เศษ}=-24} \]
3. เทคนิคแก้ระบบสมการเร็ว
เมื่อได้สมการรูป
\[ \begin{aligned} am+bn&=c\\ dm+en&=f \end{aligned} \]
เลือกกำจัดตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เท่ากัน หรือทำให้เท่ากันได้ง่ายที่สุด
ถ้าได้ \(m+n=5\) และ \(2m+n=-1\) ให้ลบสมการกันทันที เพราะสัมประสิทธิ์ของ \(n\) เท่ากัน
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 ถ้า \((x-3)\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) ต้องใช้เงื่อนไขใด
ดูเฉลย
\[ \boxed{P(3)=0} \]
ข้อ 2 ถ้า \((x+4)\) เป็นตัวประกอบของ \(P(x)\) ต้องแทนค่า \(x\) เท่าใด
ดูเฉลย
\[ \boxed{x=-4} \]
ข้อ 3 จงแก้ระบบสมการ \[ m+n=7,\qquad 2m+n=10 \]
ดูเฉลย
ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ได้ \(m=3\)
แทนค่าใน \(m+n=7\) ได้ \(n=4\)
\[ \boxed{m=3,\quad n=4} \]
ข้อ 4 ถ้าเศษจากการหาร \(P(x)\) ด้วย \((x-2)\) ต้องคำนวณจากค่าใด
ดูเฉลย
\[ \boxed{P(2)} \]
ข้อ 5 ถ้า \(P(x)=x^2-5x+6\) จงหาเศษเมื่อหารด้วย \((x-1)\)
ดูเฉลย
เศษคือ \[ P(1)=1-5+6=2 \]
\[ \boxed{2} \]
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: เห็น \((x+3)\) แล้วแทน \(x=3\)
ถูก: ต้องแทน \(x=-3\)
ผิด: ตัวประกอบสองตัวแต่สร้างเพียงสมการเดียว
ถูก: ตัวประกอบสองตัวให้สองเงื่อนไข จึงสร้างระบบสมการได้สองสมการ
ผิด: หา \(m,n\) แล้วตอบทันที
ถูก: อ่านต่อว่าโจทย์ถามค่าอื่นหรือถามเศษเพิ่มเติมหรือไม่
Quiz ท้ายบท
สรุป 1 นาที
- \((x-a)\) เป็นตัวประกอบ → \(P(a)=0\)
- ตัวประกอบสองตัว → ได้สองสมการ
- แก้ระบบสมการเพื่อหา \(m,n\)
- แทน \(m,n\) กลับในพหุนามก่อนหาเศษ
- หารด้วย \((x-a)\) → เศษคือ \(P(a)\)
- ระวัง \((x+a)\) ต้องแทน \(x=-a\)
นักเรียนสร้างสมการจากตัวประกอบสองตัวได้ แก้ระบบสมการหา \(m,n\) ได้ และทำ Quiz ได้อย่างน้อย 8 จาก 10 ข้อ