EP4 การอนุมานและกฎการสรุป
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ใน EP3 เราเรียนรู้วิธีตรวจสอบว่า ข้อสรุปใดสมเหตุสมผลและข้อสรุปใดเกิดจากการย้อนเหตุหรือเติมข้อมูลเอง
ใน EP4 เราจะก้าวต่อไปอีกขั้น โดยเรียนรู้วิธีสร้างข้อสรุปจากข้อมูลที่กำหนด ด้วยกฎการอนุมานที่เป็นมาตรฐาน
\[ \text{ข้อความตั้งต้น} + \text{กฎการอนุมาน} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{ข้อสรุปที่สมเหตุสมผล} \]
EP3 เน้นตรวจว่า “สรุปถูกหรือไม่” ส่วน EP4 เน้นตอบว่า “ต้องใช้กฎใดจึงจะสร้างข้อสรุปนี้ได้”
จุดประสงค์การเรียนรู้ Part 1
เมื่อเรียนจบ Part 1 ผู้เรียนควรสามารถ
- อธิบายความหมายของการอนุมานได้
- แยกข้อความตั้งต้นและข้อสรุปได้
- อ่านและใช้เครื่องหมาย \(\therefore\) ได้
- เขียนการพิสูจน์ข้อสรุปทีละบรรทัดได้
- เข้าใจรูปแบบของกฎ Modus Ponens
- ใช้ Modus Ponens กับข้อความและสัญลักษณ์ได้
- แยก Modus Ponens ออกจากการยืนยันผลที่ผิดได้
ทบทวนจาก EP3
จาก EP3 เราเรียนรู้ว่า เมื่อมีข้อความเงื่อนไข
\[ p\to q \]
เราสามารถอ่านได้ว่า
- ถ้า \(p\) แล้ว \(q\)
- \(p\) เป็นเหตุ
- \(q\) เป็นผล
- ลูกศรเดินจาก \(p\) ไปยัง \(q\)
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
กำหนดให้
\[ p:\text{ ผ่านการตรวจเอกสาร} \]
\[ q:\text{ มีสิทธิ์เข้าสอบ} \]
จึงเขียนได้ว่า
\[ p\to q \]
จาก \(p\to q\) เราเดินจาก \(p\) ไปหา \(q\) ได้ แต่จะย้อนจาก \(q\) ไปหา \(p\) โดยอัตโนมัติไม่ได้
การอนุมานคืออะไร
การอนุมาน คือ การนำข้อความที่กำหนดให้มาใช้ร่วมกับกฎทางตรรกศาสตร์ เพื่อสร้างข้อสรุปใหม่อย่างสมเหตุสมผล
การอนุมานที่ถูกต้องจะต้องมีองค์ประกอบสำคัญ 3 ส่วน
- ข้อความตั้งต้น
- กฎการอนุมาน
- ข้อสรุป
\[ \boxed{\text{ข้อความตั้งต้น}} \longrightarrow \boxed{\text{ใช้กฎ}} \longrightarrow \boxed{\text{ข้อสรุป}} \]
ข้อความตั้งต้นที่ 1: ถ้าสมชายอ่านหนังสือ สมชายจะสอบผ่าน
ข้อความตั้งต้นที่ 2: สมชายอ่านหนังสือ
ข้อสรุป: สมชายสอบผ่าน
ในรูปสัญลักษณ์คือ
\[ p\to q \]
\[ p \]
\[ \therefore q \]
ข้อความตั้งต้นคืออะไร
ข้อความตั้งต้น คือ ข้อความที่โจทย์กำหนดให้เป็นข้อมูลเริ่มต้น และอนุญาตให้นำมาใช้ในการสร้างข้อสรุป
ข้อความตั้งต้นอาจเรียกว่า
- เหตุ
- สมมติฐาน
- ข้อกำหนด
- Premise
กำหนดให้
- ถ้านักเรียนมีวินัย นักเรียนจะตรงต่อเวลา
- มานะเป็นนักเรียนที่มีวินัย
ข้อความทั้งสองนี้คือข้อความตั้งต้น
ในการอนุมาน เราใช้ได้เฉพาะข้อความที่โจทย์กำหนด และข้อสรุปที่สร้างขึ้นจากกฎที่ถูกต้องเท่านั้น
ข้อสรุปคืออะไร
ข้อสรุป คือ ข้อความใหม่ที่ได้จากการนำข้อความตั้งต้นมาใช้ตามกฎตรรกศาสตร์
ข้อสรุปต้องได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลเดิมอย่างชัดเจน ไม่ใช่เพียงข้อความที่ดูน่าเชื่อถือ
ข้อความตั้งต้น:
- ถ้าผู้สมัครผ่านข้อเขียน ผู้สมัครจะมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
- วิชัยผ่านข้อเขียน
ข้อสรุป:
วิชัยมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
ข้อสรุปนี้เกิดจากข้อมูลที่โจทย์ให้ หรือเราเป็นผู้เติมข้อมูลนั้นเข้าไปเอง
เครื่องหมาย \(\therefore\)
เครื่องหมาย
\[ \therefore \]
อ่านว่า “ดังนั้น” ใช้วางหน้าข้อสรุป
\[ p\to q \]
\[ p \]
\[ \therefore q \]
อ่านว่า
ถ้า \(p\) แล้ว \(q\) และ \(p\) เป็นจริง ดังนั้น \(q\) เป็นจริง
เครื่องหมาย \(\therefore\) ไม่ใช่ตัวเชื่อมของประพจน์ แต่เป็นเครื่องหมายแสดงตำแหน่งของข้อสรุป
การเขียนเหตุผลทีละบรรทัด
การพิสูจน์ข้อสรุปควรเขียนเป็นลำดับ เพื่อให้ตรวจสอบได้ว่าแต่ละข้อความมาจากที่ใด
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | ใช้กฎจากบรรทัด 1 และ 2 |
บรรทัดที่ 1 และ 2 เป็นข้อมูลเดิม ส่วนบรรทัดที่ 3 เป็นข้อสรุปใหม่
เมื่อโจทย์มีหลายข้อความ ให้เขียนหมายเลขกำกับทุกบรรทัด แล้วระบุว่าข้อสรุปใหม่ใช้ข้อมูลจากบรรทัดใด
วิธีหาว่าควรใช้กฎใด
ก่อนเลือกกฎ ให้เริ่มจากการมองหารูปแบบของข้อความ
\[ p\to q \]
จากนั้นตรวจว่าข้อมูลอีกข้อความหนึ่งเป็นรูปใด
| ข้อมูลที่พบร่วมกับ \(p\to q\) | แนวทางพิจารณา |
|---|---|
| \(p\) | เดินตามลูกศรไปสรุป \(q\) |
| \(\neg q\) | ย้อนปฏิเสธเหตุเป็น \(\neg p\) |
| \(q\) | ยังย้อนกลับไปสรุป \(p\) ไม่ได้ |
| \(\neg p\) | ยังสรุป \(\neg q\) ไม่ได้ |
| \(q\to r\) | สามารถเชื่อมเป็นลูกโซ่ได้ |
ให้ดูรูปแบบของสัญลักษณ์ก่อนเสมอ เพราะโจทย์อาจเปลี่ยนชื่อบุคคลหรือสถานการณ์ แต่โครงสร้างทางตรรกศาสตร์ยังเหมือนเดิม
กฎ Modus Ponens
Modus Ponens เป็นกฎการอนุมานพื้นฐาน และเป็นกฎที่พบได้บ่อยที่สุด
ภาษาไทยเรียกว่า กฎยืนยันเหตุ
\[ p\to q \]
\[ p \]
\[ \therefore q \]
ความหมายคือ
- ถ้า \(p\) เกิดขึ้น แล้ว \(q\) จะเกิดขึ้น
- ขณะนี้ \(p\) เกิดขึ้นจริง
- จึงสรุปได้ว่า \(q\) เกิดขึ้น
มีเหตุ — เดินไปหาผล
ตัวอย่างที่ 1 Modus Ponens แบบพื้นฐาน
ถ้าสมชายอ่านหนังสือ สมชายจะมีความรู้เพิ่มขึ้น
สมชายอ่านหนังสือ
จงหาข้อสรุป
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายอ่านหนังสือ} \]
\[ q:\text{ สมชายมีความรู้เพิ่มขึ้น} \]
เขียนรูปแบบ
\[ p\to q \]
\[ p \]
\[ \therefore q \]
สมชายมีความรู้เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างที่ 2 แนวข้อสอบสมัครสอบ
ถ้าผู้สมัครส่งหลักฐานครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
นรินทร์ส่งหลักฐานครบ
ข้อใดสรุปได้
\[ p:\text{ ส่งหลักฐานครบ} \]
\[ q:\text{ ได้รับเลขประจำตัวสอบ} \]
\[ p\to q,\quad p \]
\[ \therefore q \]
นรินทร์ได้รับเลขประจำตัวสอบ
- นรินทร์สอบผ่าน
- นรินทร์ได้คะแนนสูงสุด
- นรินทร์จะได้รับการบรรจุ
เพราะข้อมูลเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในเงื่อนไขของโจทย์
ตัวอย่างที่ 3 เขียนพิสูจน์ทีละบรรทัด
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า \(q\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | Modus Ponens จากบรรทัด 1 และ 2 |
การเขียน “จากบรรทัด 1 และ 2” ช่วยให้ตรวจสอบได้ว่าเราใช้ข้อความถูกคู่ และไม่ได้ดึงข้อมูลจากจุดอื่นมาใช้โดยไม่ตั้งใจ
สิ่งที่ไม่ใช่ Modus Ponens
Modus Ponens ต้องมี
\[ p\to q \]
และ
\[ p \]
ถ้าโจทย์ให้เพียง \(q\) จะยังไม่สามารถย้อนกลับไปสรุป \(p\) ได้
\[ p\to q \]
\[ q \]
\[ \therefore p \]
รูปแบบนี้เรียกว่า การยืนยันผล ซึ่งไม่ใช่กฎการอนุมานที่ถูกต้อง
ถ้าฝนตก ถนนจะเปียก
ถนนเปียก
จะสรุปว่าฝนตกแน่นอนไม่ได้ เพราะถนนอาจเปียกจากรถรดน้ำ
เปรียบเทียบ Modus Ponens กับการยืนยันผล
| รูปแบบ | ลักษณะ | ผลการพิจารณา |
|---|---|---|
| \(p\to q,\ p\therefore q\) | ยืนยันเหตุ | ถูกต้อง |
| \(p\to q,\ q\therefore p\) | ยืนยันผล | ไม่ถูกต้อง |
Modus Ponens ต้องเห็นตัวที่อยู่ หน้าลูกศร ถูกยืนยันก่อน
ฝึกทำ Part 1
ข้อ 1
ถ้านักเรียนเข้าเรียนครบ นักเรียนจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
มานะเข้าเรียนครบ
ข้อใดสรุปได้
- มานะสอบผ่าน
- มานะมีสิทธิ์เข้าสอบ
- มานะได้คะแนนเต็ม
- มานะไม่ต้องเข้าสอบ
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
\[ p\to q,\quad p\therefore q \]
เป็น Modus Ponens
ข้อ 2
ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 4 ลงตัว จำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่
20 หารด้วย 4 ลงตัว
ข้อใดสรุปได้
- 20 เป็นจำนวนคู่
- 20 เป็นจำนวนคี่
- จำนวนคู่ทุกจำนวนหารด้วย 4 ลงตัว
- 20 เป็นจำนวนเฉพาะ
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
เมื่อเหตุเป็นจริง จึงเดินตามเงื่อนไขไปหาผลได้
ข้อ 3
ถ้าสมชายเป็นทหาร สมชายเป็นข้าราชการ
สมชายเป็นข้าราชการ
สรุปว่าสมชายเป็นทหารได้หรือไม่
ดูเฉลย
สรุปไม่ได้
เพราะโจทย์ให้ผล \(q\) ไม่ได้ให้เหตุ \(p\) จึงเป็นการย้อนจากผลไปหาเหตุ
ข้อ 4
กำหนดให้
\[ r\to s \]
\[ r \]
ข้อใดเป็นข้อสรุป
- \(\neg r\)
- \(\neg s\)
- \(s\)
- \(s\to r\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ C
\[ r\to s,\quad r\therefore s \]
Challenge ท้าย Part 1
กำหนดให้
- ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจคุณสมบัติ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์สอบข้อเขียน
- ถ้าผู้สมัครมีสิทธิ์สอบข้อเขียน ผู้สมัครต้องพิมพ์บัตรประจำตัวสอบ
- นรินทร์ผ่านการตรวจคุณสมบัติ
จากข้อมูลข้างต้น ข้อสรุปแรกที่ควรสร้างคือข้อใด
- นรินทร์สอบผ่านข้อเขียน
- นรินทร์มีสิทธิ์สอบข้อเขียน
- นรินทร์ได้รับการบรรจุ
- นรินทร์ได้คะแนนสูงสุด
ดูเฉลยและแนวคิด
ตอบ ข้อ B
เริ่มจากข้อความที่ 1 และ 3
\[ p\to q,\quad p \]
\[ \therefore q \]
จึงสรุปก่อนว่า นรินทร์มีสิทธิ์สอบข้อเขียน
หลังจากนั้นจึงสามารถนำข้อสรุปนี้ ไปใช้กับข้อความที่ 2 ในขั้นต่อไปได้
โจทย์หลายขั้นไม่จำเป็นต้องกระโดดไปหาคำตอบสุดท้ายทันที ให้สร้างข้อสรุปย่อยที่แน่นอนก่อน แล้วนำไปใช้ต่อทีละขั้น
สรุป EP4 Part 1
- การอนุมานคือการใช้ข้อความตั้งต้นและกฎตรรกศาสตร์ เพื่อสร้างข้อสรุปใหม่
- ข้อความตั้งต้นคือข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้
- ข้อสรุปต้องเกิดจากข้อมูลเดิมอย่างสมเหตุสมผล
- เครื่องหมาย \(\therefore\) อ่านว่า “ดังนั้น”
- การเขียนพิสูจน์ควรระบุข้อความ เหตุผล และหมายเลขบรรทัด
- Modus Ponens มีรูปแบบ \(p\to q,\ p\therefore q\)
- Modus Ponens เรียกว่า “กฎยืนยันเหตุ”
- คำจำคือ “มีเหตุ เดินไปหาผล”
- จาก \(p\to q\) และ \(q\) จะย้อนสรุป \(p\) ไม่ได้
- เมื่อโจทย์มีหลายขั้น ควรสร้างข้อสรุปย่อยก่อน
\[ p\to q,\quad p \]
\[ \therefore q \]
EP4 Part 2 จะเรียนรู้กฎหลักที่เหลือ ได้แก่ Modus Tollens, Hypothetical Syllogism และ Disjunctive Syllogism พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัดเปรียบเทียบทั้ง 4 กฎ
EP4 Part 2 กฎการอนุมานหลักที่เหลือ
ใน Part 1 เราเรียนรู้กฎ Modus Ponens หรือกฎยืนยันเหตุ
\[ p\to q,\quad p \]
\[ \therefore q \]
ใน Part 2 เราจะเรียนรู้กฎหลักอีก 3 กฎ ได้แก่
- Modus Tollens — กฎปฏิเสธผล
- Hypothetical Syllogism — กฎเชื่อมเงื่อนไข
- Disjunctive Syllogism — กฎตัดทางเลือก
กฎทั้ง 4 ไม่ได้ยากเพราะชื่อภาษาอังกฤษ ให้ดูเพียงรูปแบบของสัญลักษณ์ แล้วจับคู่ข้อมูลที่โจทย์กำหนด
จุดประสงค์การเรียนรู้ Part 2
เมื่อเรียนจบ Part 2 ผู้เรียนควรสามารถ
- ใช้กฎ Modus Tollens ได้
- แยก Modus Tollens ออกจากการปฏิเสธเหตุได้
- ใช้กฎ Hypothetical Syllogism ได้
- ตรวจว่าลูกศรสามารถเชื่อมต่อกันได้หรือไม่
- ใช้กฎ Disjunctive Syllogism ได้
- ตัดทางเลือกได้เมื่อมีข้อมูลปฏิเสธ
- เปรียบเทียบกฎหลักทั้ง 4 กฎได้
- เลือกกฎที่เหมาะสมจากรูปแบบโจทย์ได้
ทบทวน Modus Ponens แบบรวดเร็ว
Modus Ponens ใช้เมื่อโจทย์กำหนด ข้อความเงื่อนไขและยืนยันเหตุ
\[ p\to q \]
\[ p \]
\[ \therefore q \]
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
ก้องผ่านการตรวจเอกสาร
ดังนั้น ก้องมีสิทธิ์เข้าสอบ
มีเหตุ — เดินไปหาผล
กฎ Modus Tollens
Modus Tollens เป็นกฎการอนุมานที่ใช้เมื่อ ผลตามเงื่อนไขไม่เกิดขึ้น
ภาษาไทยเรียกว่า กฎปฏิเสธผล
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
\[ \therefore \neg p \]
ความหมายคือ
- ถ้า \(p\) เกิดขึ้นแล้ว \(q\) ต้องเกิดขึ้น
- แต่พบว่า \(q\) ไม่เกิดขึ้น
- จึงสรุปได้ว่า \(p\) ไม่ได้เกิดขึ้น
ไม่มีผล — ย้อนปฏิเสธเหตุ
ตัวอย่างที่ 1 Modus Tollens แบบพื้นฐาน
ถ้าสมชายสอบผ่าน สมชายจะได้รับประกาศนียบัตร
สมชายไม่ได้รับประกาศนียบัตร
จงหาข้อสรุป
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายสอบผ่าน} \]
\[ q:\text{ สมชายได้รับประกาศนียบัตร} \]
เขียนรูปแบบ
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
\[ \therefore \neg p \]
สมชายสอบไม่ผ่าน
ตัวอย่างที่ 2 แนวข้อสอบสมัครสอบ
ถ้าผู้สมัครผ่านการทดสอบสมรรถภาพ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
วิชัยไม่มีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
ข้อใดสรุปได้
\[ p:\text{ ผ่านการทดสอบสมรรถภาพ} \]
\[ q:\text{ มีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์} \]
\[ p\to q,\quad \neg q \]
\[ \therefore \neg p \]
วิชัยไม่ผ่านการทดสอบสมรรถภาพ
เราสรุปได้เพียงว่า วิชัยไม่ผ่านการทดสอบสมรรถภาพตามเงื่อนไขที่กำหนด ไม่ควรเติมว่าเขาขาดคุณสมบัติด้านอายุ ไม่ได้สมัครสอบ หรือไม่ผ่านข้อเขียน
สิ่งที่ไม่ใช่ Modus Tollens
Modus Tollens ต้องมีการปฏิเสธ ผล หรือ \(\neg q\)
\[ p\to q \]
\[ \neg p \]
\[ \therefore \neg q \]
รูปแบบนี้เรียกว่า การปฏิเสธเหตุ ซึ่งไม่ใช่กฎการอนุมานที่ถูกต้อง
ถ้าสมชายอ่านหนังสือทุกวัน สมชายจะสอบผ่าน
สมชายไม่ได้อ่านหนังสือทุกวัน
ยังสรุปไม่ได้ว่าสมชายสอบไม่ผ่าน เพราะสมชายอาจเตรียมตัวด้วยวิธีอื่น
Modus Tollens ต้องเห็นเครื่องหมายปฏิเสธ อยู่ที่ตัวหลังลูกศร แล้วจึงย้อนกลับไปปฏิเสธตัวหน้าลูกศร
กฎ Hypothetical Syllogism
Hypothetical Syllogism เป็นกฎที่ใช้เชื่อม ข้อความเงื่อนไขหลายข้อความให้เป็นลูกโซ่
ภาษาไทยเรียกว่า กฎเชื่อมเงื่อนไข หรือ กฎลูกโซ่
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ \therefore p\to r \]
สังเกตว่า ปลายของลูกศรแรกคือ \(q\) และต้นของลูกศรถัดไปก็คือ \(q\) จึงสามารถเชื่อมกันได้
\[ p\to q\to r \]
\[ \therefore p\to r \]
ปลายแรกตรงต้นถัดไป — เชื่อมเป็นลูกโซ่
ตัวอย่างที่ 3 Hypothetical Syllogism
ถ้านักเรียนอ่านหนังสือ นักเรียนจะมีความรู้
ถ้านักเรียนมีความรู้ นักเรียนจะทำข้อสอบได้
จงหาข้อสรุป
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ อ่านหนังสือ} \]
\[ q:\text{ มีความรู้} \]
\[ r:\text{ ทำข้อสอบได้} \]
เขียนรูปแบบ
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ \therefore p\to r \]
ถ้านักเรียนอ่านหนังสือ นักเรียนจะทำข้อสอบได้
ตัวอย่างที่ 4 เชื่อมลูกโซ่ 3 ขั้น
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
สามารถเชื่อมได้เป็น
\[ p\to q\to r\to s \]
\[ \therefore p\to s \]
ถ้าผ่านการตรวจคุณสมบัติ จะมีสิทธิ์สอบข้อเขียน
ถ้ามีสิทธิ์สอบข้อเขียน ต้องพิมพ์บัตรประจำตัวสอบ
ถ้าพิมพ์บัตรประจำตัวสอบ จึงเข้าสอบได้
ดังนั้น ถ้าผ่านการตรวจคุณสมบัติ จึงเข้าสอบได้
ลูกศรแบบใดเชื่อมไม่ได้
ลูกศรจะเชื่อมได้เมื่อ ปลายของข้อความแรกตรงกับต้นของข้อความถัดไป
\[ p\to q \]
\[ r\to s \]
เนื่องจาก \(q\) ไม่ตรงกับ \(r\) จึงยังไม่มีจุดเชื่อม
\[ p\to q \]
\[ r\to q \]
ไม่สามารถสรุปว่า \(p\to r\) หรือ \(r\to p\) ได้ เพราะทั้งสองลูกศรเพียงแค่มีผลเดียวกัน
เขียนลูกศรต่อกันบนกระดาษ หากต่อเป็นเส้นเดียวไม่ได้ อย่าฝืนใช้กฎลูกโซ่
กฎ Disjunctive Syllogism
Disjunctive Syllogism ใช้กับข้อความ ที่เชื่อมด้วยคำว่า “หรือ”
ภาษาไทยเรียกว่า กฎตัดทางเลือก
รูปแบบที่ 1
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ \therefore q \]
รูปแบบที่ 2
\[ p\lor q \]
\[ \neg q \]
\[ \therefore p \]
ความหมายคือ เมื่อมีทางเลือกสองทาง และทราบว่าทางหนึ่งไม่เกิด จึงเหลืออีกทางหนึ่ง
มีสองทาง — ตัดหนึ่ง — เหลือหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 5 Disjunctive Syllogism
สมชายอยู่กรุงเทพฯ หรือเชียงใหม่
สมชายไม่ได้อยู่กรุงเทพฯ
จงหาข้อสรุป
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายอยู่กรุงเทพฯ} \]
\[ q:\text{ สมชายอยู่เชียงใหม่} \]
เขียนรูปแบบ
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ \therefore q \]
สมชายอยู่เชียงใหม่
ตัวอย่างที่ 6 แนวข้อสอบเลือกสถานที่
การทดสอบจะจัดที่สนามกลางแจ้ง หรือในโรงยิม
การทดสอบไม่ได้จัดที่สนามกลางแจ้ง
ข้อใดสรุปได้
\[ p:\text{ จัดที่สนามกลางแจ้ง} \]
\[ q:\text{ จัดในโรงยิม} \]
\[ p\lor q,\quad \neg p \]
\[ \therefore q \]
การทดสอบจัดในโรงยิม
ข้อควรระวังเกี่ยวกับคำว่า “หรือ”
ในตรรกศาสตร์พื้นฐาน \(p\lor q\) หมายถึง อย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง
ดังนั้น จาก \(p\lor q\) เพียงอย่างเดียว ยังเลือกไม่ได้ว่าเป็น \(p\) หรือ \(q\)
\[ p\lor q \]
ยังสรุป \(p\) หรือ \(q\) ไม่ได้ ต้องมีการปฏิเสธอีกทางเลือกหนึ่งก่อน
มานะอ่านหนังสือหรือดูวิดีโอการสอน
จากข้อความนี้เพียงอย่างเดียว ยังไม่ทราบแน่นอนว่ามานะทำกิจกรรมใด หรืออาจทำทั้งสองกิจกรรมก็ได้
ตารางเปรียบเทียบกฎหลักทั้ง 4
| ชื่อกฎ | รูปแบบ | คำจำ |
|---|---|---|
| Modus Ponens | \(p\to q,\ p\therefore q\) | มีเหตุ เดินไปหาผล |
| Modus Tollens | \(p\to q,\ \neg q\therefore\neg p\) | ไม่มีผล ย้อนปฏิเสธเหตุ |
| Hypothetical Syllogism | \(p\to q,\ q\to r\therefore p\to r\) | ต่อลูกศรเป็นลูกโซ่ |
| Disjunctive Syllogism | \(p\lor q,\ \neg p\therefore q\) | ตัดหนึ่ง เหลือหนึ่ง |
- เห็น \(\to\) ให้มองหาเหตุ ผลปฏิเสธ หรือลูกศรถัดไป
- เห็น \(\lor\) ให้มองหาการปฏิเสธทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง
Mind Map การเลือกกฎ
\[ \boxed{\text{เห็น }p\to q} \]
- มี \(p\) → ใช้ Modus Ponens → สรุป \(q\)
- มี \(\neg q\) → ใช้ Modus Tollens → สรุป \(\neg p\)
- มี \(q\to r\) → ใช้ Hypothetical Syllogism → สรุป \(p\to r\)
- มี \(q\) → ยังย้อนสรุป \(p\) ไม่ได้
- มี \(\neg p\) → ยังสรุป \(\neg q\) ไม่ได้
\[ \boxed{\text{เห็น }p\lor q} \]
- มี \(\neg p\) → สรุป \(q\)
- มี \(\neg q\) → สรุป \(p\)
- ไม่มีข้อความปฏิเสธ → ยังเลือกทางใดทางหนึ่งไม่ได้
ตัวอย่างที่ 7 การพิสูจน์หลายขั้น
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จากบรรทัด 1 และ 2 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 4 |
ขั้นแรกตัดทางเลือกเพื่อหา \(q\) จากนั้นนำ \(q\) ไปยืนยันเหตุของข้อความ \(q\to r\)
ตัวอย่างที่ 8 ลูกโซ่ร่วมกับ Modus Ponens
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\to r\) | Hypothetical Syllogism จากบรรทัด 1 และ 2 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 4 |
สามารถใช้ Modus Ponens จากบรรทัด 1 และ 3 เพื่อสรุป \(q\) ก่อน แล้วใช้ Modus Ponens กับ \(q\to r\) เพื่อสรุป \(r\)
ฝึกทำ Part 2
ข้อ 1
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\)
- \(q\)
- \(\neg p\)
- \(q\to p\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ C
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
ใช้กฎ Modus Tollens
ข้อ 2
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\to r\)
- \(r\to p\)
- \(q\to p\)
- \(r\to q\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
ปลายของลูกศรแรกคือ \(q\) ตรงกับต้นของลูกศรถัดไป
ข้อ 3
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg q \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\)
- \(\neg p\)
- \(q\)
- \(p\land q\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
\[ p\lor q,\quad \neg q \therefore p \]
ใช้กฎ Disjunctive Syllogism
ข้อ 4
ถ้าผู้สมัครผ่านข้อเขียน ผู้สมัครจะมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
สมชายไม่มีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์
ข้อใดสรุปได้
- สมชายไม่ได้สมัครสอบ
- สมชายไม่ผ่านข้อเขียน
- สมชายไม่ผ่านการตรวจสุขภาพ
- สมชายขาดคุณสมบัติด้านอายุ
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
เป็นการปฏิเสธผล จึงใช้กฎ Modus Tollens
ข้อ 5
ถ้าฝนตก สนามจะเปียก
วันนี้ฝนไม่ตก
ข้อใดถูกต้องที่สุด
- สนามไม่เปียกแน่นอน
- สนามเปียกแน่นอน
- ยังสรุปไม่ได้ว่าสนามเปียกหรือไม่
- การแข่งขันถูกยกเลิก
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ C
โจทย์ให้ \(\neg p\) ไม่ได้ให้ \(\neg q\) จึงเป็นการปฏิเสธเหตุ และยังสรุปผลไม่ได้
ข้อ 6
การประชุมจัดวันจันทร์หรือวันอังคาร
การประชุมไม่ได้จัดวันอังคาร
ข้อใดสรุปได้
- การประชุมจัดวันจันทร์
- การประชุมถูกยกเลิก
- การประชุมจัดทั้งสองวัน
- ยังสรุปไม่ได้
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
มีสองทางเลือก เมื่อตัดวันอังคารออก จึงเหลือวันจันทร์
Challenge ท้าย Part 2
กำหนดให้
- ผู้สมัครจะสอบที่ศูนย์ A หรือศูนย์ B
- ผู้สมัครไม่ได้สอบที่ศูนย์ A
- ถ้าผู้สมัครสอบที่ศูนย์ B ผู้สมัครต้องเดินทางก่อนเวลา 06.00 น.
- ถ้าผู้สมัครเดินทางก่อนเวลา 06.00 น. ผู้สมัครจะถึงสนามสอบก่อนเวลา
ข้อใดสรุปได้แน่นอน
- ผู้สมัครสอบที่ศูนย์ A
- ผู้สมัครสอบที่ศูนย์ B และถึงสนามสอบก่อนเวลา
- ผู้สมัครสอบผ่านแน่นอน
- ผู้สมัครได้รับคะแนนสูงสุด
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ สอบที่ศูนย์ A} \]
\[ q:\text{ สอบที่ศูนย์ B} \]
\[ r:\text{ เดินทางก่อน 06.00 น.} \]
\[ s:\text{ ถึงสนามสอบก่อนเวลา} \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 3 และ 5 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 4 และ 6 |
จึงสรุปได้ว่า ผู้สมัครสอบที่ศูนย์ B และถึงสนามสอบก่อนเวลา
โจทย์หลายขั้นมักไม่ได้ใช้กฎเดียว ให้สร้างข้อสรุปย่อยก่อน แล้วสังเกตว่าข้อสรุปนั้นไปตรงกับ เหตุของข้อความใดต่อไป
สรุป EP4 Part 2
- Modus Tollens มีรูปแบบ \(p\to q,\ \neg q\therefore\neg p\)
- Modus Tollens ใช้เมื่อผลถูกปฏิเสธ
- จาก \(p\to q\) และ \(\neg p\) จะสรุป \(\neg q\) ไม่ได้
- Hypothetical Syllogism มีรูปแบบ \(p\to q,\ q\to r\therefore p\to r\)
- ลูกศรจะเชื่อมได้เมื่อปลายแรกตรงกับต้นถัดไป
- Disjunctive Syllogism มีรูปแบบ \(p\lor q,\ \neg p\therefore q\)
- การตัดทางเลือกต้องมีข้อมูลปฏิเสธ ทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง
- จาก \(p\lor q\) เพียงอย่างเดียว ยังเลือก \(p\) หรือ \(q\) ไม่ได้
- โจทย์หลายขั้นอาจต้องใช้กฎหลายกฎร่วมกัน
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
\[ p\to q,\quad q\to r \therefore p\to r \]
\[ p\lor q,\quad \neg p \therefore q \]
มีเหตุ เดินไปหาผล
ไม่มีผล ย้อนปฏิเสธเหตุ
ลูกศรต่อกัน เชื่อมเป็นลูกโซ่
มีสองทาง ตัดหนึ่ง เหลือหนึ่ง
EP4 Part 3 จะเรียนรู้ กฎเสริม Simplification, Conjunction, Addition และ Resolution แบบพื้นฐาน พร้อมการใช้กฎหลักและกฎเสริมร่วมกัน
EP4 Part 3 กฎเสริมในการอนุมาน
ใน Part 1 และ Part 2 เราเรียนรู้กฎหลักสำหรับ การเดินตามเงื่อนไข การปฏิเสธผล การเชื่อมลูกโซ่ และการตัดทางเลือก
ใน Part 3 เราจะเพิ่มเครื่องมืออีกชุดหนึ่ง เพื่อช่วยแยก รวม และขยายข้อความ ก่อนนำไปใช้สร้างข้อสรุปหลายขั้น
\[ \text{แยกข้อความ} + \text{รวมข้อความ} + \text{เติมทางเลือก} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{สร้างข้อสรุปที่ซับซ้อนขึ้น} \]
การพิสูจน์หลายขั้นไม่ได้เกิดจากกฎยากเพียงกฎเดียว แต่เกิดจากการใช้กฎง่าย ๆ ต่อกันอย่างถูกลำดับ
จุดประสงค์การเรียนรู้ Part 3
เมื่อเรียนจบ Part 3 ผู้เรียนควรสามารถ
- ใช้กฎ Simplification เพื่อแยกข้อความได้
- ใช้กฎ Conjunction เพื่อรวมข้อความได้
- ใช้กฎ Addition เพื่อเติมทางเลือกได้
- เข้าใจ Resolution ในระดับพื้นฐานได้
- แยกความแตกต่างระหว่าง \(\land\) และ \(\lor\) ได้
- เลือกกฎเสริมจากรูปแบบโจทย์ได้
- ใช้กฎหลักและกฎเสริมร่วมกันได้
- พิสูจน์ข้อสรุปหลายขั้นอย่างเป็นลำดับได้
ทบทวนกฎหลักทั้ง 4
| ชื่อกฎ | รูปแบบ | คำจำ |
|---|---|---|
| Modus Ponens | \(p\to q,\ p\therefore q\) | มีเหตุ เดินไปหาผล |
| Modus Tollens | \(p\to q,\ \neg q\therefore\neg p\) | ไม่มีผล ย้อนปฏิเสธเหตุ |
| Hypothetical Syllogism | \(p\to q,\ q\to r\therefore p\to r\) | ต่อลูกศรเป็นลูกโซ่ |
| Disjunctive Syllogism | \(p\lor q,\ \neg p\therefore q\) | ตัดหนึ่ง เหลือหนึ่ง |
กฎหลักทั้ง 4 ช่วยให้เราเดินตามเงื่อนไข และตัดทางเลือกได้ แต่ในโจทย์หลายขั้น เราอาจต้องแยกข้อความที่เชื่อมด้วย “และ” หรือนำข้อความสองข้อความมารวมกันก่อน
กฎ Simplification
Simplification คือ กฎการลดหรือแยกข้อความ
ใช้เมื่อมีข้อความที่เชื่อมด้วยคำว่า “และ” แล้วต้องการนำข้อความใดข้อความหนึ่งออกมาใช้
รูปแบบที่ 1
\[ p\land q \]
\[ \therefore p \]
รูปแบบที่ 2
\[ p\land q \]
\[ \therefore q \]
เห็น “และ” — แยกออกมาใช้ได้
ข้อความ \(p\land q\) จะเป็นจริงได้ ก็ต่อเมื่อทั้ง \(p\) และ \(q\) เป็นจริง ดังนั้นเราจึงสรุป \(p\) หรือ \(q\) แยกออกมาได้
ตัวอย่างที่ 1 Simplification แบบพื้นฐาน
สมชายขยันและตรงต่อเวลา
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายขยัน} \]
\[ q:\text{ สมชายตรงต่อเวลา} \]
ข้อความเดิมคือ
\[ p\land q \]
จึงสามารถสรุปได้ทั้ง
\[ \therefore p \]
หรือ
\[ \therefore q \]
- สมชายขยัน
- สมชายตรงต่อเวลา
ตัวอย่างที่ 2 แยกข้อความเพื่อใช้ต่อ
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(p\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 4 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 3 |
เมื่อเห็น \(p\land q\) ให้ลองแยก \(p\) และ \(q\) ไว้ก่อน เพราะข้อความเหล่านี้อาจตรงกับเหตุของเงื่อนไขอื่น
กฎ Conjunction
Conjunction คือ กฎการรวมข้อความ
ใช้เมื่อเราทราบว่า \(p\) เป็นจริง และทราบว่า \(q\) เป็นจริง จึงสามารถรวมเป็นข้อความ “\(p\) และ \(q\)” ได้
\[ p \]
\[ q \]
\[ \therefore p\land q \]
จริงสองข้อความ — รวมเป็น “และ”
หากทราบเพียง \(p\) แต่ยังไม่ทราบว่า \(q\) เป็นจริงหรือไม่ จะยังรวมเป็น \(p\land q\) ไม่ได้
ตัวอย่างที่ 3 Conjunction แบบพื้นฐาน
สมชายขยัน
สมชายตรงต่อเวลา
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายขยัน} \]
\[ q:\text{ สมชายตรงต่อเวลา} \]
เมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นจริงทั้งคู่ จึงรวมได้ว่า
\[ p,\quad q \]
\[ \therefore p\land q \]
สมชายขยันและตรงต่อเวลา
ตัวอย่างที่ 4 รวมข้อสรุปที่ได้จากคนละกฎ
กำหนดให้
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
\[ p \]
\[ q \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\land s\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 1 และ 3 |
| 6 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 4 |
| 7 | \(r\land s\) | Conjunction จากบรรทัด 5 และ 6 |
พิสูจน์ \(r\) และ \(s\) แยกกันก่อน แล้วจึงรวมเป็น \(r\land s\)
กฎ Addition
Addition คือ กฎการเติมทางเลือก
เมื่อทราบว่า \(p\) เป็นจริง เราสามารถเติมข้อความอื่นเข้าไปโดยเชื่อมด้วย “หรือ” ได้
\[ p \]
\[ \therefore p\lor q \]
หรือเขียนสลับตำแหน่งได้ว่า
\[ p \]
\[ \therefore q\lor p \]
จริงหนึ่งข้อความ — เติม “หรือ” ได้
การสรุป \(p\lor q\) รับประกันเพียงว่ามีอย่างน้อยหนึ่งส่วนเป็นจริง ซึ่งในกรณีนี้เราทราบแล้วว่า \(p\) เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 5 Addition แบบพื้นฐาน
สมชายเป็นนักเรียน
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ สมชายเป็นนักเรียน} \]
\[ q:\text{ สมชายเป็นนักกีฬา} \]
เมื่อทราบว่า \(p\) เป็นจริง จึงสรุปได้ว่า
\[ p \]
\[ \therefore p\lor q \]
สมชายเป็นนักเรียน หรือสมชายเป็นนักกีฬา
ข้อสรุปนี้ไม่ได้ยืนยันว่า สมชายเป็นนักกีฬา แต่ข้อความรวมยังเป็นจริง เพราะส่วนที่ว่า “สมชายเป็นนักเรียน” เป็นจริงอยู่แล้ว
ทำไม Addition จึงถูกต้อง
ตัวเชื่อม “หรือ” หรือ \(\lor\) เป็นจริงเมื่ออย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) |
|---|---|---|
| จริง | จริง | จริง |
| จริง | เท็จ | จริง |
| เท็จ | จริง | จริง |
| เท็จ | เท็จ | เท็จ |
เมื่อโจทย์กำหนดว่า \(p\) เป็นจริง ไม่ว่า \(q\) จะจริงหรือเท็จ \(p\lor q\) ก็ยังเป็นจริง
Addition มักใช้เพื่อสร้างข้อความรูป “หรือ” ให้ตรงกับข้อสรุปที่โจทย์ต้องการ ไม่ได้ใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความใหม่ว่าเป็นจริงด้วยตัวมันเอง
กฎ Resolution แบบพื้นฐาน
Resolution เป็นกฎที่ใช้กับข้อความ ที่เชื่อมด้วย “หรือ” สองบรรทัด โดยตัดข้อความคู่ตรงข้ามออก
\[ p\lor q \]
\[ \neg p\lor r \]
\[ \therefore q\lor r \]
ในสองบรรทัดนี้มีข้อความคู่ตรงข้ามคือ
\[ p \quad\text{และ}\quad \neg p \]
เมื่อตัดคู่ตรงข้ามออก จึงเหลือ
\[ q\lor r \]
OR สองบรรทัด — ตัดคู่ตรงข้าม — รวมส่วนที่เหลือ
Resolution เป็นกฎระดับสูงกว่ากฎอื่นในบทนี้ สำหรับข้อสอบ นนส. และ นตท. ควรรู้รูปแบบพื้นฐานและสังเกตคู่ตรงข้ามได้ แต่ไม่จำเป็นต้องลงลึกมาก
ตัวอย่างที่ 6 Resolution
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p\lor r \]
สังเกตคู่ตรงข้าม
\[ p,\quad \neg p \]
ตัดคู่นี้ออก แล้วนำส่วนที่เหลือมาเชื่อมด้วย “หรือ”
\[ \therefore q\lor r \]
ข้อสรุปคือ \(q\lor r\)
เปรียบเทียบ Simplification และ Conjunction
| กฎ | จุดเริ่มต้น | ข้อสรุป | ทิศทาง |
|---|---|---|---|
| Simplification | \(p\land q\) | \(p\) หรือ \(q\) | แยกออก |
| Conjunction | \(p\) และ \(q\) | \(p\land q\) | รวมเข้า |
\[ p\land q \xrightarrow{\text{Simplification}} p,\ q \]
\[ p,\ q \xrightarrow{\text{Conjunction}} p\land q \]
Simplification แยก “และ” ออก
Conjunction รวมข้อความเข้าเป็น “และ”
ตารางเปรียบเทียบกฎเสริม
| ชื่อกฎ | รูปแบบ | หน้าที่ | คำจำ |
|---|---|---|---|
| Simplification | \(p\land q\therefore p\) | แยกข้อความ | เห็น “และ” แยกได้ |
| Conjunction | \(p,\ q\therefore p\land q\) | รวมข้อความ | จริงสองอัน รวมด้วย “และ” |
| Addition | \(p\therefore p\lor q\) | เติมทางเลือก | จริงหนึ่งอัน เติม “หรือ” |
| Resolution | \(p\lor q,\ \neg p\lor r \therefore q\lor r\) | ตัดคู่ตรงข้าม | ตัดคู่ตรงข้าม รวมส่วนที่เหลือ |
Mind Map การเลือกกฎเสริม
\[ \boxed{\text{เห็น }p\land q} \]
- ต้องการ \(p\) → ใช้ Simplification
- ต้องการ \(q\) → ใช้ Simplification
\[ \boxed{\text{มี }p\text{ และมี }q} \]
- ต้องการ \(p\land q\) → ใช้ Conjunction
\[ \boxed{\text{มี }p} \]
- ต้องการ \(p\lor q\) → ใช้ Addition
\[ \boxed{\text{มี OR สองบรรทัด}} \]
- พบข้อความคู่ตรงข้าม เช่น \(p\) และ \(\neg p\) → ใช้ Resolution
ให้ดูรูปของข้อสรุปที่โจทย์ต้องการก่อน
- ต้องการข้อความเดี่ยว → อาจต้องแยก
- ต้องการรูป “และ” → ต้องพิสูจน์ทั้งสองส่วนแล้วรวม
- ต้องการรูป “หรือ” → อาจใช้ Addition หรือ Resolution
ตัวอย่างที่ 7 การใช้กฎหลายกฎร่วมกัน
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ r\land s \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จากบรรทัด 6 และ 7 |
\[ \text{แยก} \to \text{เดินตามเงื่อนไข} \to \text{รวมข้อสรุป} \]
ตัวอย่างที่ 8 แนวข้อสอบสมัครสอบ
ผู้สมัครส่งเอกสารครบ และผ่านการตรวจสุขภาพ
ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจสุขภาพ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
จงหาข้อสรุปที่ครบถ้วน
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ผ่านการตรวจสุขภาพ} \]
\[ r:\text{ ได้รับเลขประจำตัวสอบ} \]
\[ s:\text{ มีสิทธิ์เข้าสอบ} \]
ข้อมูลคือ
\[ p\land q,\quad p\to r,\quad q\to s \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จาก 6 และ 7 |
ผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ และมีสิทธิ์เข้าสอบ
ฝึกทำ Part 3
ข้อ 1
กำหนดให้
\[ p\land q \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\)
- \(q\)
- ทั้ง \(p\) และ \(q\)
- สรุปไม่ได้
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ C
จาก \(p\land q\) สามารถใช้ Simplification แยกได้ทั้ง \(p\) และ \(q\)
ข้อ 2
กำหนดให้
\[ p \]
\[ q \]
ข้อใดสรุปได้โดย Conjunction
- \(p\lor q\)
- \(p\land q\)
- \(p\to q\)
- \(\neg p\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
\[ p,\quad q \therefore p\land q \]
ข้อ 3
กำหนดให้ \(p\) เป็นจริง ข้อใดสรุปได้โดย Addition
- \(p\land q\)
- \(p\lor q\)
- \(q\)
- \(\neg p\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
\[ p\therefore p\lor q \]
ข้อ 4
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ q\to r \]
ข้อใดสรุปได้
- \(r\)
- \(\neg r\)
- \(r\to q\)
- \(\neg q\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
แยก \(q\) จาก \(p\land q\) ด้วย Simplification แล้วใช้ Modus Ponens กับ \(q\to r\)
ข้อ 5
จากข้อมูล
\[ p\lor q \]
\[ \neg p\lor r \]
ข้อใดเป็นผลจาก Resolution
- \(p\land r\)
- \(q\lor r\)
- \(\neg q\)
- \(p\to r\)
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
ตัดคู่ตรงข้าม \(p\) และ \(\neg p\) แล้วเหลือ \(q\lor r\)
ข้อ 6
มานะมีวินัยและมีความรับผิดชอบ
ถ้ามานะมีวินัย มานะจะตรงต่อเวลา
ถ้ามานะมีความรับผิดชอบ มานะจะส่งงานครบ
ข้อใดสรุปได้ครบถ้วนที่สุด
- มานะตรงต่อเวลาเท่านั้น
- มานะส่งงานครบเท่านั้น
- มานะตรงต่อเวลาและส่งงานครบ
- มานะสอบได้คะแนนเต็ม
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ C
ใช้ Simplification แยกเหตุทั้งสอง ใช้ Modus Ponens สร้างผลทั้งสอง แล้วใช้ Conjunction รวมข้อสรุป
Challenge ท้าย Part 3
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครส่งเอกสารครบและชำระค่าธรรมเนียมแล้ว
- ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
- ถ้าผู้สมัครชำระค่าธรรมเนียมแล้ว ผู้สมัครจะสามารถพิมพ์บัตรสอบได้
- ถ้าผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ ผู้สมัครจะมีข้อมูลในระบบ
ข้อใดสรุปได้แน่นอน
- ผู้สมัครสอบผ่านและได้รับการบรรจุ
- ผู้สมัครมีข้อมูลในระบบ และสามารถพิมพ์บัตรสอบได้
- ผู้สมัครได้คะแนนสูงสุด
- ผู้สมัครไม่ต้องเข้าสอบ
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ชำระค่าธรรมเนียมแล้ว} \]
\[ r:\text{ ได้รับเลขประจำตัวสอบ} \]
\[ s:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ t:\text{ มีข้อมูลในระบบ} \]
ข้อมูลคือ
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
\[ r\to t \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(r\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 6 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 7 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 5 |
| 8 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 6 |
| 9 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 7 |
| 10 | \(t\land s\) | Conjunction จาก 9 และ 8 |
จึงสรุปได้ว่า ผู้สมัครมีข้อมูลในระบบ และสามารถพิมพ์บัตรสอบได้
เมื่อข้อสรุปเป็นรูป “และ” อย่ารีบรวมทันที ต้องพิสูจน์ข้อความทั้งสองด้านให้ได้ก่อน แล้วจึงใช้ Conjunction เป็นขั้นตอนสุดท้าย
จุดพลาดที่พบบ่อยใน Part 3
\[ p\lor q \]
ไม่สามารถแยกสรุป \(p\) หรือ \(q\) ได้ทันที เพราะยังไม่ทราบว่าส่วนใดเป็นจริง
\[ p \]
\[ \therefore p\land q \quad \text{ผิด} \]
Conjunction ต้องมีทั้ง \(p\) และ \(q\) เป็นจริงก่อน
จาก \(p\therefore p\lor q\) ไม่ได้หมายความว่า \(q\) เป็นจริง
ต้องมีข้อความหนึ่งเป็น \(p\) และอีกข้อความหนึ่งเป็น \(\neg p\) จึงจะตัดกันได้
หากต้องการพิสูจน์ \(r\land s\) ต้องพิสูจน์ \(r\) และ \(s\) ให้ได้แยกกันก่อน
สรุป EP4 Part 3
- Simplification ใช้แยกข้อความที่เชื่อมด้วย “และ”
- จาก \(p\land q\) สามารถสรุป \(p\) หรือ \(q\) ได้
- Conjunction ใช้รวมข้อความจริงสองข้อความ
- จาก \(p\) และ \(q\) สามารถสรุป \(p\land q\) ได้
- Addition ใช้เติมข้อความด้วย “หรือ”
- จาก \(p\) สามารถสรุป \(p\lor q\) ได้
- Addition ไม่ได้ยืนยันว่า \(q\) เป็นจริง
- Resolution ใช้ตัดข้อความคู่ตรงข้าม จากประพจน์เชื่อมด้วย “หรือ”
- กฎหลักและกฎเสริมสามารถใช้ร่วมกันหลายขั้นได้
- หากข้อสรุปเป็นรูป “และ” ต้องพิสูจน์ทั้งสองส่วนก่อนแล้วจึงรวม
\[ p\land q\therefore p \]
\[ p,\ q\therefore p\land q \]
\[ p\therefore p\lor q \]
\[ p\lor q,\quad \neg p\lor r \therefore q\lor r \]
เห็น “และ” แยกได้
จริงสองอัน รวมเป็น “และ”
จริงหนึ่งอัน เติม “หรือ” ได้
OR สองบรรทัด ตัดคู่ตรงข้าม
EP4 Part 4 จะเรียนรู้ การพิสูจน์ข้อสรุปทีละบรรทัด ตั้งแต่โจทย์ 2 ขั้นจนถึงโจทย์หลายขั้น พร้อมเทคนิควางแผนย้อนจากข้อสรุป และ Mind Map การเลือกกฎ
EP4 Part 4 การพิสูจน์ข้อสรุปทีละบรรทัด
ใน Part 1–3 เราเรียนรู้กฎการอนุมานที่สำคัญแล้ว ทั้งกฎหลักและกฎเสริม
แต่การทำข้อสอบจริงไม่ได้ถามเพียงว่า “กฎนี้ชื่ออะไร” ข้อสอบมักกำหนดข้อความหลายบรรทัด แล้วให้เราพิสูจน์ข้อสรุปที่อยู่ปลายทาง
\[ \text{ข้อความตั้งต้นหลายข้อ} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{เลือกกฎที่เหมาะสมทีละขั้น} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{ข้อสรุปที่ต้องการพิสูจน์} \]
หัวใจของการพิสูจน์ไม่ใช่การใช้กฎให้มากที่สุด แต่คือการใช้กฎให้น้อยพอและตรงเป้าหมายที่สุด
จุดประสงค์การเรียนรู้ Part 4
เมื่อเรียนจบ Part 4 ผู้เรียนควรสามารถ
- เขียนการพิสูจน์ในรูปตารางทีละบรรทัดได้
- แยกข้อความตั้งต้นออกจากข้อสรุปใหม่ได้
- ระบุเหตุผลของแต่ละบรรทัดได้
- คิดย้อนกลับจากข้อสรุปที่ต้องการได้
- เลือกกฎที่เหมาะสมกับรูปแบบข้อสรุปได้
- สร้างข้อสรุปย่อยเพื่อเชื่อมไปยังคำตอบได้
- ใช้กฎหลายกฎร่วมกันอย่างถูกลำดับได้
- ตรวจสอบว่าการพิสูจน์มีการย้อนเหตุหรือเติมข้อมูลหรือไม่
- แก้โจทย์การพิสูจน์ตั้งแต่ 2 ขั้นถึงหลายขั้นได้
เครื่องมือที่ใช้ในการพิสูจน์
ก่อนเริ่มพิสูจน์ ให้ทบทวนกฎที่เราใช้ได้
| กฎ | รูปแบบ | หน้าที่ |
|---|---|---|
| Modus Ponens | \(p\to q,\ p\therefore q\) | ยืนยันเหตุแล้วเดินไปหาผล |
| Modus Tollens | \(p\to q,\ \neg q\therefore\neg p\) | ปฏิเสธผลแล้วย้อนปฏิเสธเหตุ |
| Hypothetical Syllogism | \(p\to q,\ q\to r\therefore p\to r\) | เชื่อมลูกศรเป็นลูกโซ่ |
| Disjunctive Syllogism | \(p\lor q,\ \neg p\therefore q\) | ตัดทางเลือกหนึ่งเพื่อเหลืออีกทาง |
| Simplification | \(p\land q\therefore p\) | แยกข้อความที่เชื่อมด้วย “และ” |
| Conjunction | \(p,\ q\therefore p\land q\) | รวมข้อความจริงสองข้อความ |
| Addition | \(p\therefore p\lor q\) | เติมทางเลือกด้วย “หรือ” |
| Resolution | \(p\lor q,\ \neg p\lor r \therefore q\lor r\) | ตัดคู่ตรงข้ามจาก OR สองบรรทัด |
กฎทุกกฎเป็นเครื่องมือ แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ทุกกฎในทุกโจทย์ ให้เลือกเฉพาะกฎที่พาเราเข้าใกล้ข้อสรุป
รูปแบบมาตรฐานของการพิสูจน์
การพิสูจน์ที่ชัดเจนควรเขียนเป็นตาราง 3 คอลัมน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | ข้อความที่โจทย์กำหนด | กำหนดให้ |
| 2 | ข้อความที่โจทย์กำหนด | กำหนดให้ |
| 3 | ข้อสรุปย่อย | ชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้ |
| 4 | ข้อสรุปย่อยถัดไป | ชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้ |
| 5 | ข้อสรุปสุดท้าย | ชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้ |
แต่ละบรรทัดต้องตอบคำถามได้ว่า
- ข้อความนี้มาจากไหน
- ใช้กฎอะไร
- ใช้ข้อมูลจากบรรทัดใด
- ข้อความนี้เข้าใกล้ข้อสรุปมากขึ้นหรือไม่
แม้ข้อสรุปจะถูกต้อง แต่ถ้าไม่แสดงว่ามาจากข้อความใดและใช้กฎอะไร การพิสูจน์ยังถือว่าไม่สมบูรณ์
แยก Premise และ Conclusion ก่อนเริ่ม
ก่อนลงมือพิสูจน์ ให้แยกโจทย์ออกเป็นสองส่วน
\[ \boxed{\text{Premises}} \quad\text{และ}\quad \boxed{\text{Conclusion}} \]
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ r \]
ดังนั้น
- Premises คือ \(p\to q,\ q\to r,\ p\)
- Conclusion คือ \(r\)
วงกลมข้อสรุปไว้ก่อนเสมอ เพราะข้อสรุปคือเป้าหมายปลายทางของการพิสูจน์
เทคนิคคิดย้อนกลับจากข้อสรุป
นักเรียนจำนวนมากเริ่มจากบรรทัดแรกของโจทย์ แล้วพยายามใช้กฎไปเรื่อย ๆ วิธีนี้อาจทำให้สร้างข้อความที่ไม่เกี่ยวกับคำตอบจำนวนมาก
วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ เริ่มมองจากข้อสรุปที่ต้องการ
\[ \boxed{\text{ต้องการพิสูจน์อะไร}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ข้อความนี้ได้จากกฎใด}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ต้องหาอะไรให้ได้ก่อน}} \]
ต้องการพิสูจน์ \(r\)
ในโจทย์มี
\[ q\to r \]
จึงรู้ว่า หากต้องการ \(r\) เราควรหา \(q\) ให้ได้ก่อน
\[ q\to r \]
\[ \boxed{q\text{ ต้องหาให้ได้}} \]
\[ \therefore r \]
ดูปลายทาง — หาเหตุที่พาไปถึงปลายทาง
ดูรูปข้อสรุปเพื่อเลือกกฎ
| รูปข้อสรุปที่ต้องการ | สิ่งที่ควรมองหา | กฎที่อาจใช้ |
|---|---|---|
| \(q\) | \(p\to q\) และหา \(p\) | Modus Ponens |
| \(\neg p\) | \(p\to q\) และหา \(\neg q\) | Modus Tollens |
| \(p\to r\) | \(p\to q\) และ \(q\to r\) | Hypothetical Syllogism |
| \(q\) | \(p\lor q\) และหา \(\neg p\) | Disjunctive Syllogism |
| \(p\) | \(p\land q\) | Simplification |
| \(p\land q\) | พิสูจน์ \(p\) และ \(q\) แยกกัน | Conjunction |
| \(p\lor q\) | พิสูจน์ \(p\) หรือ \(q\) อย่างน้อยหนึ่งส่วน | Addition หรือ Resolution |
หากต้องการพิสูจน์ \(r\land s\) ต้องพิสูจน์ \(r\) และ \(s\) ให้ได้ก่อนทั้งสองส่วน แล้วจึงใช้ Conjunction
ขั้นตอนการพิสูจน์ 5 ขั้น
- อ่านข้อสรุปก่อน ว่าโจทย์ต้องการให้พิสูจน์อะไร
- มองหารูปแบบที่นำไปสู่ข้อสรุป เช่น หากต้องการ \(r\) ให้มองหาเงื่อนไขที่ลงท้ายด้วย \(r\)
- หาข้อความที่ยังขาด เช่น มี \(q\to r\) จึงต้องหา \(q\)
- สร้างข้อสรุปย่อยทีละขั้น โดยใช้กฎที่ถูกต้อง
- ตรวจสอบทุกบรรทัด ว่ามีที่มาและไม่เติมข้อมูลเอง
\[ \text{อ่านเป้าหมาย} \to \text{ย้อนหาสิ่งที่ขาด} \to \text{สร้างข้อสรุปย่อย} \to \text{ถึงคำตอบ} \]
การคิดย้อนกลับใช้เพื่อวางแผน แต่การเขียนคำตอบจริงยังเขียนจากข้อความตั้งต้น ไปหาข้อสรุปตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 1 การพิสูจน์ 2 ขั้น
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ r \]
วางแผนย้อนกลับ
ต้องการ \(r\) และมี \(q\to r\) ดังนั้นต้องหา \(q\)
ต้องการ \(q\) และมี \(p\to q\) โดยโจทย์กำหนด \(p\) มาแล้ว
\[ p \to q \to r \]
เขียนพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\) | Modus Ponens จากบรรทัด 1 และ 3 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 4 |
Modus Ponens → Modus Ponens
ตัวอย่างที่ 2 แยกก่อนแล้วเดินตามเงื่อนไข
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ s \]
วางแผนย้อนกลับ
- ต้องการ \(s\)
- มี \(r\to s\) จึงต้องหา \(r\)
- มี \(p\to r\) จึงต้องหา \(p\)
- มี \(p\land q\) จึงแยก \(p\) ได้
\[ p\land q \xrightarrow{\text{แยก}} p \to r \to s \]
เขียนพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 4 |
| 6 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 5 |
Simplification → Modus Ponens → Modus Ponens
ตัวอย่างที่ 3 ตัดทางเลือกแล้วเดินต่อ
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ s \]
วางแผนย้อนกลับ
- ต้องการ \(s\)
- มี \(r\to s\) จึงต้องหา \(r\)
- มี \(q\to r\) จึงต้องหา \(q\)
- มี \(p\lor q\) และ \(\neg p\) จึงตัดเหลือ \(q\)
เขียนพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จากบรรทัด 1 และ 2 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 5 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 4 และ 6 |
Disjunctive Syllogism → Modus Ponens → Modus Ponens
ตัวอย่างที่ 4 พิสูจน์ข้อสรุปที่เป็น “และ”
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ r\land s \]
วางแผนย้อนกลับ
ข้อสรุปเป็นรูป \(r\land s\) จึงต้องพิสูจน์ให้ได้ทั้ง
\[ r \quad\text{และ}\quad s \]
จากนั้นจึงใช้ Conjunction รวมกัน
เขียนพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จากบรรทัด 6 และ 7 |
เมื่อเป้าหมายเป็น “และ” ให้แบ่งงานเป็นสองเส้นทาง พิสูจน์ด้านซ้ายและด้านขวา แล้วรวมเป็นขั้นตอนสุดท้าย
ตัวอย่างที่ 5 ใช้ Modus Tollens หลายขั้น
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ \neg r \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ \neg p \]
วิธีที่ 1 ย้อนทีละขั้น
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(\neg q\) | Modus Tollens จากบรรทัด 2 และ 3 |
| 5 | \(\neg p\) | Modus Tollens จากบรรทัด 1 และ 4 |
วิธีที่ 2 เชื่อมลูกศรก่อน
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\to r\) | Hypothetical Syllogism จากบรรทัด 1 และ 2 |
| 5 | \(\neg p\) | Modus Tollens จากบรรทัด 4 และ 3 |
โจทย์หนึ่งข้ออาจพิสูจน์ได้มากกว่าหนึ่งวิธี ขอเพียงทุกขั้นใช้กฎถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 6 แนวข้อสอบสมัครสอบ
ผู้สมัครส่งเอกสารครบและผ่านการตรวจสุขภาพ
ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
ถ้าผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ ผู้สมัครจะสามารถพิมพ์บัตรสอบได้
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจสุขภาพ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
จงพิสูจน์ว่า ผู้สมัครสามารถพิมพ์บัตรสอบได้ และมีสิทธิ์เข้าสอบ
กำหนดประพจน์
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ผ่านการตรวจสุขภาพ} \]
\[ r:\text{ ได้รับเลขประจำตัวสอบ} \]
\[ s:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ t:\text{ มีสิทธิ์เข้าสอบ} \]
ข้อมูลคือ
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ q\to t \]
เป้าหมายคือ
\[ s\land t \]
เขียนพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(p\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 6 | \(q\) | Simplification จากบรรทัด 1 |
| 7 | \(r\) | Modus Ponens จากบรรทัด 2 และ 5 |
| 8 | \(s\) | Modus Ponens จากบรรทัด 3 และ 7 |
| 9 | \(t\) | Modus Ponens จากบรรทัด 4 และ 6 |
| 10 | \(s\land t\) | Conjunction จากบรรทัด 8 และ 9 |
ผู้สมัครสามารถพิมพ์บัตรสอบได้ และมีสิทธิ์เข้าสอบ
Mind Map การวางแผนพิสูจน์
\[ \boxed{\text{อ่านข้อสรุป}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ดูรูปข้อสรุป}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เลือกกฎที่สร้างรูปนั้นได้}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{หาข้อความที่กฎต้องใช้}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{สร้างข้อสรุปย่อย}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ถึงข้อสรุปสุดท้าย}} \]
ต้องการพิสูจน์ \(r\land s\)
\[ r\land s \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{ต้องหา }r\text{ และ }s \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{พิสูจน์ }r \quad+\quad \text{พิสูจน์ }s \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{Conjunction} \]
เทคนิคการมองโจทย์ให้เร็วขึ้น
หากต้องการพิสูจน์ \(r\) ให้มองหาข้อความที่ลงท้ายด้วย \(r\) เช่น \(q\to r\)
เพราะสามารถใช้ Simplification แยกเป็นเหตุย่อยได้ทันที
เช่น \(p\lor q\) คู่กับ \(\neg p\) จะตัดเหลือ \(q\)
เช่น \(p\to q\) และ \(q\to r\) สามารถเชื่อมเป็นเส้นทางเดียวกันได้
หากต้องการ \(r\land s\) ให้เขียนรายการย่อยว่า “ต้องพิสูจน์ \(r\)” และ “ต้องพิสูจน์ \(s\)”
สิ่งที่ไม่ควรทำในการพิสูจน์
ห้ามเขียนข้อสรุปที่ต้องการลงไปก่อน แล้วนำข้อสรุปนั้นไปใช้พิสูจน์ตัวเอง
\[ p\to q,\quad q \therefore p \]
เป็นการยืนยันผลและไม่ถูกต้อง
\[ p\to q,\quad \neg p \therefore \neg q \]
เป็นการปฏิเสธเหตุและไม่ถูกต้อง
ต้องมีทั้ง \(r\) และ \(s\) จึงรวมเป็น \(r\land s\) ได้
ใช้ได้เฉพาะข้อมูลที่โจทย์กำหนด และข้อสรุปที่ได้จากกฎเท่านั้น
แบบฝึกหัดการพิสูจน์
ข้อ 1
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า \(q\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | Modus Ponens จาก 1 และ 2 |
ข้อ 2
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
จงพิสูจน์ว่า \(\neg p\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg q\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 1 และ 2 |
ข้อ 3
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ q\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 4 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 3 |
ข้อ 4
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จาก 3 และ 4 |
ข้อ 5
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
\[ p \]
จงพิสูจน์ว่า \(s\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(q\) | Modus Ponens จาก 1 และ 4 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 5 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 6 |
ข้อ 6
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\land s\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จาก 6 และ 7 |
ข้อ 7
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ \neg r \]
จงพิสูจน์ว่า \(\neg p\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(\neg q\) | Modus Tollens จาก 2 และ 3 |
| 5 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 1 และ 4 |
ข้อ 8
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
\[ s\to t \]
จงพิสูจน์ว่า \(t\)
ดูเฉลย
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(s\to t\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 7 | \(r\) | Modus Ponens จาก 3 และ 6 |
| 8 | \(s\) | Modus Ponens จาก 4 และ 7 |
| 9 | \(t\) | Modus Ponens จาก 5 และ 8 |
Challenge ท้าย Part 4
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครส่งเอกสารครบและผ่านการตรวจสุขภาพ
- ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
- ถ้าผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ ผู้สมัครจะสามารถพิมพ์บัตรสอบได้
- ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจสุขภาพ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์ทดสอบสมรรถภาพ
- ถ้าผู้สมัครมีสิทธิ์ทดสอบสมรรถภาพ ผู้สมัครจะมีรายชื่อในระบบสนามสอบ
- ถ้าผู้สมัครไม่มีรายชื่อในระบบสนามสอบ ผู้สมัครจะเข้าสอบไม่ได้
จงพิสูจน์ว่า
\[ \text{ผู้สมัครพิมพ์บัตรสอบได้} \]
และ
\[ \text{ผู้สมัครมีรายชื่อในระบบสนามสอบ} \]
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ผ่านการตรวจสุขภาพ} \]
\[ r:\text{ ได้รับเลขประจำตัวสอบ} \]
\[ s:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ t:\text{ มีสิทธิ์ทดสอบสมรรถภาพ} \]
\[ u:\text{ มีรายชื่อในระบบสนามสอบ} \]
\[ v:\text{ เข้าสอบได้} \]
ข้อมูลในรูปสัญลักษณ์คือ
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ q\to t \]
\[ t\to u \]
\[ \neg u\to\neg v \]
เป้าหมายคือ
\[ s\land u \]
วางแผน
- ต้องการ \(s\land u\) จึงต้องพิสูจน์ \(s\) และ \(u\)
- หากต้องการ \(s\) ต้องหา \(r\)
- หากต้องการ \(r\) ต้องหา \(p\)
- หากต้องการ \(u\) ต้องหา \(t\)
- หากต้องการ \(t\) ต้องหา \(q\)
- จาก \(p\land q\) สามารถแยกได้ทั้ง \(p\) และ \(q\)
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(t\to u\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(\neg u\to\neg v\) | กำหนดให้ |
| 7 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 8 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 9 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 7 |
| 10 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 9 |
| 11 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 8 |
| 12 | \(u\) | Modus Ponens จาก 5 และ 11 |
| 13 | \(s\land u\) | Conjunction จาก 10 และ 12 |
จึงพิสูจน์ได้ว่า ผู้สมัครสามารถพิมพ์บัตรสอบได้ และมีรายชื่อในระบบสนามสอบ
ข้อความ \(\neg u\to\neg v\) ไม่จำเป็นต้องใช้ในการพิสูจน์ครั้งนี้ เพราะเป้าหมายไม่ได้ถามเรื่องการเข้าสอบ
โจทย์อาจให้ข้อมูลเกินความจำเป็น อย่าคิดว่าต้องใช้ทุกบรรทัด ให้ใช้เฉพาะข้อความที่เชื่อมไปยังข้อสรุป
Checklist ตรวจคำตอบก่อนส่ง
- แยกข้อความตั้งต้นและข้อสรุปแล้วหรือไม่
- ทุกบรรทัดมีหมายเลขกำกับหรือไม่
- ทุกข้อสรุปใหม่ระบุชื่อกฎหรือไม่
- ระบุบรรทัดที่นำมาใช้หรือไม่
- มีการย้อนจากผลไปหาเหตุหรือไม่
- มีการปฏิเสธเหตุแล้วปฏิเสธผลหรือไม่
- มีการเติมข้อมูลจากความรู้ส่วนตัวหรือไม่
- หากเป้าหมายเป็น “และ” พิสูจน์ครบทั้งสองส่วนหรือไม่
- ข้อสรุปสุดท้ายตรงกับสิ่งที่โจทย์ถามหรือไม่
- มีบรรทัดใดที่ไม่จำเป็นและทำให้สับสนหรือไม่
สรุป EP4 Part 4
- การพิสูจน์ต้องแสดงข้อความและเหตุผลทีละบรรทัด
- เริ่มวางแผนจากข้อสรุปที่ต้องการ
- มองหากฎที่สามารถสร้างข้อสรุปนั้นได้
- หาข้อความที่กฎยังต้องใช้ แล้วสร้างข้อสรุปย่อยย้อนกลับไป
- การเขียนจริงต้องเริ่มจากข้อความตั้งต้น แล้วเดินไปหาข้อสรุป
- หากต้องการข้อความเดี่ยว ให้มองหาเงื่อนไขที่ลงท้ายด้วยข้อความนั้น
- หากต้องการข้อความรูป “และ” ต้องพิสูจน์ทั้งสองด้านก่อน
- หากมีข้อความเชื่อมด้วย “และ” สามารถแยกมาใช้ด้วย Simplification
- หากมี OR และการปฏิเสธทางเลือกหนึ่ง สามารถใช้ Disjunctive Syllogism
- ไม่จำเป็นต้องใช้ทุกข้อความที่โจทย์ให้
- โจทย์หนึ่งข้ออาจพิสูจน์ได้มากกว่าหนึ่งวิธี
- ทุกขั้นต้องมีที่มาและใช้กฎถูกต้อง
\[ \boxed{\text{อ่านข้อสรุป}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ย้อนหาสิ่งที่ต้องมี}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เลือกกฎ}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{สร้างข้อสรุปย่อย}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{พิสูจน์ข้อสรุปสุดท้าย}} \]
คิดย้อนเพื่อวางแผน
แต่เขียนเดินหน้าเพื่อพิสูจน์
EP4 Part 5 จะเป็น แบบฝึกหัดเข้มข้นและโจทย์ประยุกต์ ฝึกเลือกกฎ พิสูจน์หลายขั้น ตรวจการพิสูจน์ที่ผิด และทำ Mini Quiz แบบโต้ตอบ
EP4 Part 5A ฝึกเลือกกฎให้แม่น
เราเรียนรู้กฎการอนุมานและวิธีเขียนพิสูจน์ครบแล้ว ขั้นต่อไปคือการฝึกใช้กฎจนสามารถมองเห็นเส้นทางคำตอบได้เร็วขึ้น
แบบฝึกหัดใน Part นี้จะเริ่มจากโจทย์พื้นฐาน แล้วค่อยเพิ่มจำนวนขั้นในการพิสูจน์ เพื่อเตรียมเข้าสู่โจทย์ประยุกต์ระดับข้อสอบจริง
\[ \text{ดูรูปโจทย์} \to \text{เลือกกฎ} \to \text{สร้างข้อสรุปย่อย} \to \text{ตรวจคำตอบ} \]
เป้าหมายของการฝึกไม่ใช่เพียงตอบถูก แต่ต้องตอบได้ด้วยว่า “ใช้กฎอะไร เพราะเหตุใด”
จุดประสงค์การฝึก Part 5A
- ระบุรูปแบบของกฎจากข้อมูลที่โจทย์ให้ได้
- เลือกกฎที่เหมาะสมโดยไม่ลองผิดลองถูกมากเกินไป
- ใช้ Modus Ponens และ Modus Tollens ได้แม่นยำ
- ใช้ Hypothetical Syllogism และ Disjunctive Syllogism ได้
- ใช้ Simplification และ Conjunction ร่วมกับกฎหลักได้
- วางลำดับการพิสูจน์ตั้งแต่ 1–4 ขั้นได้
- แยกข้อมูลจำเป็นออกจากข้อมูลที่โจทย์ให้เกินมาได้
- ตรวจจับการให้เหตุผลที่ผิดได้
ทบทวนคำสัญญาณของแต่ละกฎ
| สิ่งที่เห็นในโจทย์ | สิ่งที่มีเพิ่ม | กฎที่ควรคิดถึง |
|---|---|---|
| \(p\to q\) | \(p\) | Modus Ponens |
| \(p\to q\) | \(\neg q\) | Modus Tollens |
| \(p\to q\) | \(q\to r\) | Hypothetical Syllogism |
| \(p\lor q\) | \(\neg p\) หรือ \(\neg q\) | Disjunctive Syllogism |
| \(p\land q\) | ต้องการ \(p\) หรือ \(q\) | Simplification |
| \(p\) และ \(q\) | ต้องการ \(p\land q\) | Conjunction |
| \(p\) | ต้องการ \(p\lor q\) | Addition |
| \(p\lor q\) | \(\neg p\lor r\) | Resolution |
การเลือกกฎต้องดูข้อมูลอย่างน้อยสองส่วนร่วมกัน เช่น การเห็น \(p\to q\) เพียงบรรทัดเดียว ยังไม่เพียงพอที่จะใช้ Modus Ponens หรือ Modus Tollens
ขั้นตอนทำแบบฝึกหัดทุกข้อ
- อ่านข้อสรุปก่อน ว่าโจทย์ต้องการข้อความรูปใด
- วงกลมข้อความสำคัญ เช่น เงื่อนไข OR AND หรือข้อความปฏิเสธ
- เลือกกฎแรก ที่สามารถสร้างข้อความใหม่ได้อย่างแน่นอน
- ตรวจว่าข้อความใหม่เชื่อมต่อกับข้อมูลใด
- หยุดเมื่อถึงข้อสรุป ไม่ต้องสร้างข้อความเกินความจำเป็น
\[ \boxed{\text{เป้าหมาย}} \to \boxed{\text{สิ่งที่ต้องหา}} \to \boxed{\text{กฎที่ใช้}} \]
แบบฝึกหัดเข้มข้น ชุดที่ 1
ข้อ 1 Modus Ponens
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ p \]
ข้อใดเป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง
- \(\neg p\)
- \(q\)
- \(\neg q\)
- \(q\to p\)
ดูเฉลยและวิเคราะห์
ตอบ ข้อ B
โจทย์ให้เงื่อนไข \(p\to q\) และยืนยันว่าเหตุ \(p\) เป็นจริง จึงเดินตามลูกศรไปสู่ผล \(q\)
\[ p\to q,\quad p \therefore q \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | Modus Ponens จาก 1 และ 2 |
\(q\to p\) คือการกลับทิศของเงื่อนไข ซึ่งสรุปไม่ได้จากข้อมูลเดิม
ข้อ 2 Modus Tollens
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
ข้อใดเป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง
- \(p\)
- \(q\)
- \(\neg p\)
- \(q\to p\)
ดูเฉลยและวิเคราะห์
ตอบ ข้อ C
เงื่อนไขบอกว่า ถ้ามี \(p\) จะต้องเกิด \(q\) แต่โจทย์กำหนดว่า \(q\) ไม่เกิด จึงย้อนกลับไปปฏิเสธ \(p\)
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg q\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 1 และ 2 |
Modus Tollens ต้องปฏิเสธ “ผล” แล้วจึงย้อนกลับไปปฏิเสธ “เหตุ”
ข้อ 3 Hypothetical Syllogism
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\to r\)
- \(r\to p\)
- \(p\land r\)
- \(p\lor r\)
ดูเฉลยและวิเคราะห์
ตอบ ข้อ A
ปลายทางของเงื่อนไขแรกคือ \(q\) และจุดเริ่มต้นของเงื่อนไขที่สองคือ \(q\) จึงต่อลูกศรได้
\[ p\to q,\quad q\to r \therefore p\to r \]
ตัดตัวกลาง \(q\) แล้วเชื่อมต้นทาง \(p\) ไปยังปลายทาง \(r\)
ข้อ 4 Disjunctive Syllogism
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg q \]
ข้อใดสรุปได้
- \(p\)
- \(\neg p\)
- \(q\)
- \(p\land q\)
ดูเฉลยและวิเคราะห์
ตอบ ข้อ A
มีทางเลือก \(p\) หรือ \(q\) แต่โจทย์ตัด \(q\) ออกด้วย \(\neg q\) จึงเหลือ \(p\)
\[ p\lor q,\quad \neg q \therefore p \]
จาก \(p\lor q\) เพียงบรรทัดเดียว ยังเลือกไม่ได้ว่า \(p\) หรือ \(q\) เป็นจริง ต้องมีข้อมูลตัดทางเลือกหนึ่งก่อน
ข้อ 5 Simplification และ Modus Ponens
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ q\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
วิเคราะห์เป้าหมาย
ต้องการ \(r\) และมี \(q\to r\) จึงต้องหา \(q\)
โจทย์ให้ \(p\land q\) จึงสามารถแยก \(q\) ออกมาได้
\[ p\land q \xrightarrow{\text{Simplification}} q \xrightarrow{\text{MP}} r \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 4 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 3 |
เมื่อเหตุที่ต้องการซ่อนอยู่ในข้อความ AND ให้แยกออกมาก่อนแล้วจึงใช้กฎหลัก
ข้อ 6 Disjunctive Syllogism และ Modus Ponens
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
จงพิสูจน์ว่า \(r\)
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
วิเคราะห์เป้าหมาย
ต้องการ \(r\) และมี \(q\to r\) จึงต้องหา \(q\)
จาก \(p\lor q\) และ \(\neg p\) สามารถตัด \(p\) แล้วเหลือ \(q\)
\[ p\lor q,\ \neg p \xrightarrow{\text{DS}} q \xrightarrow{\text{MP}} r \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg p\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\) | Disjunctive Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 5 | \(r\) | Modus Ponens จาก 3 และ 4 |
ข้อ 7 Modus Tollens สองขั้น
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ \neg r \]
จงพิสูจน์ว่า \(\neg p\)
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
วิเคราะห์ย้อนกลับ
ต้องการ \(\neg p\) และมี \(p\to q\) จึงต้องหา \(\neg q\)
ต้องการ \(\neg q\) และมี \(q\to r\) โดยโจทย์ให้ \(\neg r\) จึงใช้ Modus Tollens ได้
\[ \neg r \to \neg q \to \neg p \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(\neg r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(\neg q\) | Modus Tollens จาก 2 และ 3 |
| 5 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 1 และ 4 |
สามารถเชื่อม \(p\to q\) และ \(q\to r\) เป็น \(p\to r\) ด้วย Hypothetical Syllogism แล้วใช้ Modus Tollens กับ \(\neg r\)
ข้อ 8 Simplification, Modus Ponens และ Conjunction
กำหนดให้
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
จงพิสูจน์ว่า
\[ r\land s \]
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
วิเคราะห์เป้าหมาย
ข้อสรุปเป็นรูป \(r\land s\) จึงต้องพิสูจน์ \(r\) และ \(s\) ให้ได้ก่อน
- ต้องการ \(r\) → ต้องหา \(p\)
- ต้องการ \(s\) → ต้องหา \(q\)
- จาก \(p\land q\) → แยกได้ทั้ง \(p\) และ \(q\)
\[ p\land q \]
\[ \swarrow \qquad \searrow \]
\[ p\to r \qquad q\to s \]
\[ \searrow \qquad \swarrow \]
\[ r\land s \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จาก 6 และ 7 |
เมื่อคำตอบเป็น AND Conjunction มักเป็นกฎสุดท้าย ไม่ใช่กฎแรก
วิเคราะห์เส้นทางของแบบฝึกหัดทั้ง 8 ข้อ
| ข้อ | เป้าหมาย | เส้นทางกฎ |
|---|---|---|
| 1 | \(q\) | Modus Ponens |
| 2 | \(\neg p\) | Modus Tollens |
| 3 | \(p\to r\) | Hypothetical Syllogism |
| 4 | \(p\) | Disjunctive Syllogism |
| 5 | \(r\) | Simplification → Modus Ponens |
| 6 | \(r\) | Disjunctive Syllogism → Modus Ponens |
| 7 | \(\neg p\) | Modus Tollens → Modus Tollens |
| 8 | \(r\land s\) | Simplification → Modus Ponens → Modus Ponens → Conjunction |
เมื่อโจทย์ยากขึ้น ไม่ได้แปลว่าต้องใช้กฎใหม่เสมอไป แต่อาจเป็นการนำกฎเดิมมาต่อกันหลายขั้น
แบบฝึกหัดประยุกต์แนวข้อสอบ
ข้อประยุกต์ 1
ถ้านักเรียนอ่านหนังสือสม่ำเสมอ นักเรียนจะทำแบบฝึกหัดได้ดี
นักเรียนอ่านหนังสือสม่ำเสมอ
ข้อใดสรุปได้
- นักเรียนทำแบบฝึกหัดได้ดี
- นักเรียนไม่ต้องทำแบบฝึกหัด
- นักเรียนสอบได้คะแนนเต็มเสมอ
- นักเรียนไม่อ่านหนังสือ
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ A
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ อ่านหนังสือสม่ำเสมอ} \]
\[ q:\text{ ทำแบบฝึกหัดได้ดี} \]
\[ p\to q,\quad p \therefore q \]
ใช้กฎ Modus Ponens
โจทย์กล่าวเพียงว่าทำแบบฝึกหัดได้ดี ไม่ได้กล่าวว่าจะสอบได้คะแนนเต็มเสมอ
ข้อประยุกต์ 2
ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจสุขภาพ ผู้สมัครจะมีสิทธิ์เข้าสอบ
ผู้สมัครไม่มีสิทธิ์เข้าสอบ
ข้อใดสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล
- ผู้สมัครผ่านการตรวจสุขภาพ
- ผู้สมัครไม่ผ่านการตรวจสุขภาพ
- ผู้สมัครสอบได้คะแนนต่ำ
- ผู้สมัครไม่ได้สมัครสอบ
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ผ่านการตรวจสุขภาพ} \]
\[ q:\text{ มีสิทธิ์เข้าสอบ} \]
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
ใช้กฎ Modus Tollens
ข้อสอบข้อความมักไม่ใส่เครื่องหมายปฏิเสธให้เห็นชัด ให้สังเกตคำว่า “ไม่” “ไม่ได้” “ไม่มี”
ข้อประยุกต์ 3
ผู้สมัครจะเข้าสอบรอบเช้า หรือเข้าสอบรอบบ่าย
ผู้สมัครไม่ได้เข้าสอบรอบเช้า
ข้อใดสรุปได้
- ผู้สมัครไม่เข้าสอบ
- ผู้สมัครเข้าสอบรอบบ่าย
- ผู้สมัครเข้าสอบทั้งสองรอบ
- ผู้สมัครสอบผ่าน
ดูเฉลย
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ เข้าสอบรอบเช้า} \]
\[ q:\text{ เข้าสอบรอบบ่าย} \]
\[ p\lor q,\quad \neg p \therefore q \]
ใช้กฎ Disjunctive Syllogism
ข้อประยุกต์ 4
ผู้สมัครส่งเอกสารครบและชำระเงินแล้ว
ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ระบบจะอนุมัติใบสมัคร
ถ้าผู้สมัครชำระเงินแล้ว ระบบจะออกใบเสร็จ
ข้อใดสรุปได้ครบถ้วนที่สุด
- ระบบอนุมัติใบสมัครเท่านั้น
- ระบบออกใบเสร็จเท่านั้น
- ระบบอนุมัติใบสมัครและออกใบเสร็จ
- ผู้สมัครสอบผ่าน
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
ตอบ ข้อ C
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ส่งเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ ชำระเงินแล้ว} \]
\[ r:\text{ ระบบอนุมัติใบสมัคร} \]
\[ s:\text{ ระบบออกใบเสร็จ} \]
\[ p\land q,\quad p\to r,\quad q\to s \]
\[ \therefore r\land s \]
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(q\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 5 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 6 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 4 |
| 7 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 5 |
| 8 | \(r\land s\) | Conjunction จาก 6 และ 7 |
ตรวจการให้เหตุผลที่ผิด
นอกจากพิสูจน์ข้อความให้ถูกแล้ว ผู้เรียนต้องสามารถตรวจจับข้อสรุปที่ไม่สมเหตุสมผลได้
\[ p\to q \]
\[ q \]
\[ \therefore p \quad\text{ผิด} \]
การเกิด \(q\) อาจมีสาเหตุอื่น จึงย้อนสรุป \(p\) ไม่ได้
\[ p\to q \]
\[ \neg p \]
\[ \therefore \neg q \quad\text{ผิด} \]
แม้ \(p\) ไม่เกิด แต่ \(q\) อาจเกิดจากเหตุอื่นได้
\[ p\lor q \]
\[ \therefore p \quad\text{ผิด} \]
ต้องมีข้อมูลเพิ่มเพื่อตัด \(q\) ก่อนจึงจะสรุป \(p\) ได้
\[ p \]
\[ \therefore p\land q \quad\text{ผิด} \]
ต้องพิสูจน์ \(q\) ให้ได้ก่อน จึงจะใช้ Conjunction ได้
ฝึกตรวจคำตอบของนักเรียน
สถานการณ์ที่ 1
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ q \]
นักเรียนสรุปว่า \(p\)
การสรุปนี้ถูกหรือผิด
ดูคำตอบ
ผิด
เป็นการยืนยันผล จาก \(p\to q\) และ \(q\) ยังย้อนสรุป \(p\) ไม่ได้
สถานการณ์ที่ 2
กำหนดให้
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
นักเรียนสรุปว่า \(\neg p\)
การสรุปนี้ถูกหรือผิด
ดูคำตอบ
ถูก
เป็น Modus Tollens
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
สถานการณ์ที่ 3
กำหนดให้
\[ p\land q \]
นักเรียนสรุปว่า \(q\)
การสรุปนี้ถูกหรือผิด
ดูคำตอบ
ถูก
ใช้ Simplification แยก \(q\) จาก \(p\land q\)
สถานการณ์ที่ 4
กำหนดให้
\[ p\lor q \]
นักเรียนสรุปว่า \(q\)
การสรุปนี้ถูกหรือผิด
ดูคำตอบ
ผิด
ต้องมี \(\neg p\) จึงจะตัดทางเลือก \(p\) แล้วเหลือ \(q\) ได้
Exam Coach: เทคนิคเก็บคะแนน Part 5A
หากข้อสรุปคือ \(r\) ให้สแกนโจทย์หาเงื่อนไขที่ลงท้ายด้วย \(r\)
ข้อความ \(p\land q\) มักซ่อนเหตุที่จำเป็นต่อการใช้ Modus Ponens
ถ้ามี \(p\lor q\) ให้ตรวจว่ามี \(\neg p\) หรือ \(\neg q\) อยู่หรือไม่
อย่าพยายามพิสูจน์ทั้งประโยคพร้อมกัน ให้พิสูจน์ด้านซ้ายและด้านขวาแยกกันก่อน
หากโจทย์สรุปได้เพียงว่า “มีสิทธิ์เข้าสอบ” ตัวเลือกที่กล่าวว่า “สอบผ่านแน่นอน” ถือว่าเกินข้อมูล
ให้พิจารณาเฉพาะข้อมูลที่โจทย์กำหนด แม้ข้อความบางอย่างจะดูสมเหตุสมผลในชีวิตจริงก็ตาม
Challenge ท้าย Part 5A
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครเตรียมเอกสารครบ และมาถึงสนามสอบตรงเวลา
- ถ้าผู้สมัครเตรียมเอกสารครบ เจ้าหน้าที่จะตรวจสอบข้อมูลได้
- ถ้าเจ้าหน้าที่ตรวจสอบข้อมูลได้ ผู้สมัครจะได้รับบัตรประจำตัวสอบ
- ถ้าผู้สมัครมาถึงสนามสอบตรงเวลา ผู้สมัครจะเข้าห้องสอบได้
- ถ้าผู้สมัครได้รับบัตรประจำตัวสอบ ผู้สมัครจะมีเลขที่นั่งสอบ
จงพิสูจน์ว่า
\[ \text{ผู้สมัครมีเลขที่นั่งสอบ} \]
และ
\[ \text{ผู้สมัครเข้าห้องสอบได้} \]
ดูเฉลยและวิธีพิสูจน์
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ เตรียมเอกสารครบ} \]
\[ q:\text{ มาถึงสนามสอบตรงเวลา} \]
\[ r:\text{ เจ้าหน้าที่ตรวจสอบข้อมูลได้} \]
\[ s:\text{ ได้รับบัตรประจำตัวสอบ} \]
\[ t:\text{ เข้าห้องสอบได้} \]
\[ u:\text{ มีเลขที่นั่งสอบ} \]
ข้อมูลคือ
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ q\to t \]
\[ s\to u \]
เป้าหมายคือ
\[ u\land t \]
วางแผนย้อนกลับ
- ต้องการ \(u\land t\) จึงต้องพิสูจน์ \(u\) และ \(t\)
- ต้องการ \(u\) → ต้องหา \(s\)
- ต้องการ \(s\) → ต้องหา \(r\)
- ต้องการ \(r\) → ต้องหา \(p\)
- ต้องการ \(t\) → ต้องหา \(q\)
- จาก \(p\land q\) แยกได้ทั้ง \(p\) และ \(q\)
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(s\to u\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 7 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 8 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 6 |
| 9 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 8 |
| 10 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 7 |
| 11 | \(u\) | Modus Ponens จาก 5 และ 9 |
| 12 | \(u\land t\) | Conjunction จาก 11 และ 10 |
จึงพิสูจน์ได้ว่า ผู้สมัครมีเลขที่นั่งสอบ และเข้าห้องสอบได้
\[ \text{Simplification} \to \text{MP} \to \text{MP} \to \text{MP} \to \text{Conjunction} \]
Checklist หลังทำแบบฝึกหัด
- ฉันอ่านข้อสรุปก่อนเริ่มหรือไม่
- ฉันเลือกกฎจากรูปแบบข้อมูลหรือเดาสุ่ม
- ฉันระบุเหตุและผลของเงื่อนไขถูกต้องหรือไม่
- ฉันย้อนลูกศรโดยไม่มีเหตุผลหรือไม่
- ฉันแยกเฉพาะข้อความ AND หรือไม่
- ฉันใช้ OR โดยมีข้อมูลตัดทางเลือกหรือไม่
- ฉันพิสูจน์ครบทั้งสองด้านก่อนรวม AND หรือไม่
- ฉันเติมข้อมูลที่โจทย์ไม่ได้กำหนดหรือไม่
- ทุกข้อสรุปใหม่มีชื่อกฎรองรับหรือไม่
- ข้อสรุปสุดท้ายตรงกับคำถามหรือไม่
สรุป EP4 Part 5A
- Modus Ponens ใช้เมื่อมีเหตุของเงื่อนไข
- Modus Tollens ใช้เมื่อปฏิเสธผลของเงื่อนไข
- Hypothetical Syllogism ใช้เชื่อมเงื่อนไขที่ต่อกัน
- Disjunctive Syllogism ใช้ตัดทางเลือกหนึ่งจาก OR
- Simplification ใช้แยกข้อความจาก AND
- Conjunction ใช้รวมข้อความที่พิสูจน์ได้แล้วทั้งสองส่วน
- โจทย์หลายขั้นเกิดจากการนำกฎพื้นฐานมาต่อกัน
- การคิดย้อนกลับช่วยให้เลือกกฎได้เร็วขึ้น
- คำตอบที่กล่าวเกินกว่าข้อมูลมักเป็นตัวลวง
- การพิสูจน์ที่ดีต้องระบุที่มาของทุกบรรทัด
\[ \boxed{\text{หาเป้าหมาย}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{หาเหตุที่ต้องใช้}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เลือกกฎ}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เขียนพิสูจน์ทีละขั้น}} \]
มีเหตุ เดินไปหาผล
ไม่มีผล ย้อนปฏิเสธเหตุ
ลูกศรต่อกัน เชื่อมเป็นลูกโซ่
มีสองทาง ตัดหนึ่งเหลือหนึ่ง
เห็น AND แยกได้
จริงสองอัน รวมเป็น AND
EP4 Part 5B จะเพิ่มระดับความยากด้วย โจทย์ประยุกต์แนว นนส./นตท. การพิสูจน์หลายเส้นทาง การตรวจคำตอบที่ผิด และ Mini Quiz แบบโต้ตอบ
EP4 Part 5B-1 ตะลุยโจทย์ประยุกต์ระดับ นนส./นตท.
ใน Part 5A เราฝึกเลือกกฎจากรูปแบบพื้นฐาน และพิสูจน์ข้อสรุปตั้งแต่หนึ่งถึงหลายขั้นแล้ว
Part 5B-1 จะเพิ่มระดับความยาก โดยโจทย์จะให้ข้อมูลหลายข้อความ มีทั้งข้อมูลที่จำเป็น ข้อมูลที่ไม่จำเป็น และข้อความลวงที่ดูเหมือนนำไปใช้ได้
ผู้เรียนต้องอ่านโจทย์ให้เป็นระบบ แปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์ วางแผนย้อนกลับ และเลือกกฎให้ตรงกับเป้าหมาย
\[ \text{ข้อความภาษาไทย} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{แปลงเป็นสัญลักษณ์} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{วางแผนย้อนกลับ} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{พิสูจน์ทีละบรรทัด} \]
ข้อสอบที่ยาวไม่ได้แปลว่ายากเสมอไป บางครั้งเส้นทางคำตอบใช้เพียง 2–3 กฎ แต่กรรมการเพิ่มข้อความส่วนเกินเพื่อทดสอบสมาธิ
จุดประสงค์การเรียนรู้ Part 5B-1
- แปลงข้อความภาษาไทยเป็นประพจน์และสัญลักษณ์ได้
- แยกข้อความตั้งต้นออกจากข้อสรุปที่โจทย์ถามได้
- ระบุข้อมูลที่จำเป็นและข้อมูลส่วนเกินได้
- วางเส้นทางการพิสูจน์หลายขั้นได้
- ใช้กฎหลักและกฎเสริมร่วมกันได้
- ตรวจจับการกลับเหตุ การปฏิเสธเหตุ และการสรุปเกินข้อมูลได้
- วิเคราะห์ตัวเลือกที่ดูใกล้เคียงแต่ไม่สมเหตุสมผลได้
- ตรวจคำตอบก่อนส่งด้วย Proof Checklist ได้
แผนทำโจทย์ประยุกต์ 6 ขั้น
- อ่านสิ่งที่โจทย์ถามก่อน แล้ววงกลมข้อสรุปปลายทาง
- กำหนดสัญลักษณ์ ให้แต่ละข้อความสั้นและชัดเจน
- เขียนข้อมูลทั้งหมดเป็นสูตรตรรกศาสตร์
- คิดย้อนกลับจากข้อสรุป ว่าต้องหาอะไรให้ได้ก่อน
- เขียนพิสูจน์เดินหน้า โดยระบุชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้
- ตรวจว่ามีการเติมข้อมูลหรือย้อนลูกศรหรือไม่
\[ \boxed{\text{เป้าหมาย}} \to \boxed{\text{เงื่อนไขที่นำไปถึงเป้าหมาย}} \to \boxed{\text{เหตุที่ต้องหา}} \]
ควรอ่านข้อมูลทั้งหมดและดูข้อสรุปก่อน เพราะบางข้อความอาจไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม
คำสัญญาณในโจทย์ภาษาไทย
| คำในโจทย์ | สัญลักษณ์ | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| ถ้า...แล้ว... | \(\to\) | ถ้าอ่านหนังสือแล้วสอบผ่าน เขียนเป็น \(p\to q\) |
| และ | \(\land\) | ส่งเอกสารและชำระเงิน เขียนเป็น \(p\land q\) |
| หรือ | \(\lor\) | สอบรอบเช้าหรือรอบบ่าย เขียนเป็น \(p\lor q\) |
| ไม่ / ไม่ได้ / ไม่มี | \(\neg\) | ไม่มีสิทธิ์สอบ เขียนเป็น \(\neg p\) |
| ดังนั้น / จึง / สรุปว่า | \(\therefore\) | เป็นข้อสรุปปลายทาง |
หลังแปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์แล้ว ความยาวของโจทย์จะลดลง และรูปแบบกฎจะมองเห็นได้ง่ายขึ้น
Challenge ชุดที่ 1: เส้นทางการสมัครสอบ
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครกรอกข้อมูลครบและอัปโหลดรูปถ่ายถูกต้อง
- ถ้าผู้สมัครกรอกข้อมูลครบ ระบบจะบันทึกใบสมัคร
- ถ้าระบบบันทึกใบสมัคร ผู้สมัครจะได้รับรหัสการสมัคร
- ถ้าผู้สมัครได้รับรหัสการสมัคร ผู้สมัครจะสามารถชำระค่าธรรมเนียมได้
- ถ้าผู้สมัครอัปโหลดรูปถ่ายถูกต้อง ระบบจะแสดงรูปบนบัตรสอบ
- ถ้าผู้สมัครชำระค่าธรรมเนียมแล้ว ผู้สมัครจะพิมพ์บัตรสอบได้
- ถ้าผู้สมัครเรียนจบชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ผู้สมัครจะมีคุณสมบัติด้านการศึกษา
จงพิสูจน์ว่า ผู้สมัครสามารถชำระค่าธรรมเนียมได้ และระบบแสดงรูปบนบัตรสอบ
ดูเฉลยและการวิเคราะห์
ขั้นที่ 1 กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ กรอกข้อมูลครบ} \]
\[ q:\text{ อัปโหลดรูปถ่ายถูกต้อง} \]
\[ r:\text{ ระบบบันทึกใบสมัคร} \]
\[ s:\text{ ได้รับรหัสการสมัคร} \]
\[ t:\text{ ชำระค่าธรรมเนียมได้} \]
\[ u:\text{ ระบบแสดงรูปบนบัตรสอบ} \]
\[ v:\text{ ชำระค่าธรรมเนียมแล้ว} \]
\[ w:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ x:\text{ เรียนจบมัธยมศึกษาตอนปลาย} \]
\[ y:\text{ มีคุณสมบัติด้านการศึกษา} \]
ขั้นที่ 2 เขียนข้อมูลเป็นสัญลักษณ์
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ s\to t \]
\[ q\to u \]
\[ v\to w \]
\[ x\to y \]
เป้าหมายคือ
\[ t\land u \]
ขั้นที่ 3 วางแผนย้อนกลับ
- ต้องการ \(t\land u\) จึงต้องพิสูจน์ \(t\) และ \(u\)
- ต้องการ \(t\) → ต้องหา \(s\)
- ต้องการ \(s\) → ต้องหา \(r\)
- ต้องการ \(r\) → ต้องหา \(p\)
- ต้องการ \(u\) → ต้องหา \(q\)
- จาก \(p\land q\) แยกได้ทั้ง \(p\) และ \(q\)
ขั้นที่ 4 การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(s\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(q\to u\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(v\to w\) | กำหนดให้ |
| 7 | \(x\to y\) | กำหนดให้ |
| 8 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 9 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 10 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 8 |
| 11 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 10 |
| 12 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 11 |
| 13 | \(u\) | Modus Ponens จาก 5 และ 9 |
| 14 | \(t\land u\) | Conjunction จาก 12 และ 13 |
Simplification → Modus Ponens → Modus Ponens → Modus Ponens → Modus Ponens → Conjunction
\(v\to w\) และ \(x\to y\) ไม่จำเป็นต่อการพิสูจน์ \(t\land u\)
Challenge ชุดที่ 2: การฝึกและผลการทดสอบ
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ถ้านักเรียนฝึกทำข้อสอบทุกวัน นักเรียนจะคุ้นเคยกับรูปแบบข้อสอบ
- ถ้านักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบข้อสอบ นักเรียนจะบริหารเวลาได้ดี
- ถ้านักเรียนบริหารเวลาได้ดี นักเรียนจะทำข้อสอบครบทุกข้อ
- ถ้านักเรียนทำข้อสอบครบทุกข้อ นักเรียนจะมีโอกาสได้คะแนนสูง
- นักเรียนฝึกทำข้อสอบทุกวัน
- ถ้านักเรียนนอนดึก นักเรียนจะตื่นสาย
ข้อใดเป็นข้อสรุปที่สมเหตุสมผลที่สุด
- นักเรียนจะได้คะแนนเต็มแน่นอน
- นักเรียนจะมีโอกาสได้คะแนนสูง
- นักเรียนจะไม่นอนดึก
- นักเรียนจะสอบผ่านทุกสนาม
ดูเฉลยและการพิสูจน์
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ฝึกทำข้อสอบทุกวัน} \]
\[ q:\text{ คุ้นเคยกับรูปแบบข้อสอบ} \]
\[ r:\text{ บริหารเวลาได้ดี} \]
\[ s:\text{ ทำข้อสอบครบทุกข้อ} \]
\[ t:\text{ มีโอกาสได้คะแนนสูง} \]
\[ u:\text{ นอนดึก} \]
\[ v:\text{ ตื่นสาย} \]
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
\[ s\to t \]
\[ p \]
\[ u\to v \]
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(s\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(p\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(q\) | Modus Ponens จาก 1 และ 5 |
| 7 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 6 |
| 8 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 7 |
| 9 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 8 |
ข้อสรุปที่พิสูจน์ได้คือ “มีโอกาสได้คะแนนสูง” ไม่ใช่ “ได้คะแนนเต็มแน่นอน” ข้อ A จึงสรุปเกินข้อมูล
จาก \(u\to v\) และไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับ \(\neg v\) จึงสรุปว่า \(\neg u\) ไม่ได้
ระวังคำว่า “มีโอกาส” กับ “แน่นอน” กรรมการมักเพิ่มน้ำหนักของข้อความในตัวเลือก เพื่อทำให้ข้อสรุปเกินกว่าที่โจทย์รับรอง
Challenge ชุดที่ 3: การตัดทางเลือกและพิสูจน์หลายขั้น
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครจะเลือกสอบเหล่าทหารบก หรือเหล่าทหารอากาศ
- ผู้สมัครไม่ได้เลือกสอบเหล่าทหารอากาศ
- ถ้าผู้สมัครเลือกสอบเหล่าทหารบก ผู้สมัครต้องทดสอบวิ่งระยะทางที่กำหนด
- ถ้าผู้สมัครต้องทดสอบวิ่งระยะทางที่กำหนด ผู้สมัครต้องเตรียมรองเท้าวิ่ง
- ถ้าผู้สมัครเตรียมรองเท้าวิ่ง ผู้สมัครจะฝึกวิ่งก่อนวันสอบ
- ถ้าผู้สมัครเลือกสอบเหล่าทหารอากาศ ผู้สมัครต้องทดสอบการมองเห็นสี
จงพิสูจน์ว่า ผู้สมัครจะฝึกวิ่งก่อนวันสอบ
ดูเฉลยและการพิสูจน์
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ เลือกสอบเหล่าทหารบก} \]
\[ q:\text{ เลือกสอบเหล่าทหารอากาศ} \]
\[ r:\text{ ต้องทดสอบวิ่ง} \]
\[ s:\text{ ต้องเตรียมรองเท้าวิ่ง} \]
\[ t:\text{ ฝึกวิ่งก่อนวันสอบ} \]
\[ u:\text{ ต้องทดสอบการมองเห็นสี} \]
\[ p\lor q \]
\[ \neg q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ s\to t \]
\[ q\to u \]
วางแผนย้อนกลับ
- ต้องการ \(t\)
- มี \(s\to t\) จึงต้องหา \(s\)
- มี \(r\to s\) จึงต้องหา \(r\)
- มี \(p\to r\) จึงต้องหา \(p\)
- จาก \(p\lor q\) และ \(\neg q\) สรุป \(p\) ได้
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\lor q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(\neg q\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(s\to t\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(q\to u\) | กำหนดให้ |
| 7 | \(p\) | Disjunctive Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 8 | \(r\) | Modus Ponens จาก 3 และ 7 |
| 9 | \(s\) | Modus Ponens จาก 4 และ 8 |
| 10 | \(t\) | Modus Ponens จาก 5 และ 9 |
Disjunctive Syllogism → Modus Ponens → Modus Ponens → Modus Ponens
\(q\to u\) ไม่ต้องใช้ เพราะโจทย์ให้ \(\neg q\) และเป้าหมายไม่เกี่ยวกับ \(u\)
Challenge ชุดที่ 4: การย้อนปฏิเสธหลายขั้น
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร ผู้สมัครจะได้รับสิทธิ์ตรวจร่างกาย
- ถ้าผู้สมัครได้รับสิทธิ์ตรวจร่างกาย ผู้สมัครจะได้รับวันนัดตรวจ
- ถ้าผู้สมัครได้รับวันนัดตรวจ ชื่อของผู้สมัครจะปรากฏในระบบนัดหมาย
- ชื่อของผู้สมัครไม่ปรากฏในระบบนัดหมาย
- ถ้าผู้สมัครมาถึงก่อนเวลา ผู้สมัครจะได้เข้าคิวลำดับต้น
ข้อใดสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล
- ผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร
- ผู้สมัครไม่ผ่านการตรวจเอกสาร
- ผู้สมัครมาถึงสาย
- ผู้สมัครไม่ได้สมัครสอบ
ดูเฉลยและการพิสูจน์
ตอบ ข้อ B
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ผ่านการตรวจเอกสาร} \]
\[ q:\text{ ได้รับสิทธิ์ตรวจร่างกาย} \]
\[ r:\text{ ได้รับวันนัดตรวจ} \]
\[ s:\text{ ชื่อปรากฏในระบบนัดหมาย} \]
\[ t:\text{ มาถึงก่อนเวลา} \]
\[ u:\text{ ได้เข้าคิวลำดับต้น} \]
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
\[ \neg s \]
\[ t\to u \]
วิธีที่ 1 ใช้ Modus Tollens ทีละขั้น
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(\neg s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(\neg r\) | Modus Tollens จาก 3 และ 4 |
| 6 | \(\neg q\) | Modus Tollens จาก 2 และ 5 |
| 7 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 1 และ 6 |
วิธีที่ 2 เชื่อมลูกศรก่อน
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\to q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(q\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(\neg s\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(p\to r\) | Hypothetical Syllogism จาก 1 และ 2 |
| 6 | \(p\to s\) | Hypothetical Syllogism จาก 5 และ 3 |
| 7 | \(\neg p\) | Modus Tollens จาก 6 และ 4 |
จาก \(t\to u\) ไม่มีข้อมูลว่า \(\neg u\) จึงใช้ Modus Tollens เพื่อสรุป \(\neg t\) ไม่ได้
เมื่อเห็นลูกศรต่อกันหลายเส้นและมีการปฏิเสธปลายทาง ให้คิดถึงสองวิธี: ย้อนด้วย Modus Tollens ทีละขั้น หรือเชื่อมด้วย Hypothetical Syllogism ก่อน
Challenge ชุดที่ 5: การพิสูจน์สองเส้นทางพร้อมกัน
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- นักเรียนมีตารางอ่านหนังสือ และทำแบบฝึกหัดจับเวลา
- ถ้านักเรียนมีตารางอ่านหนังสือ นักเรียนจะทบทวนเนื้อหาได้ครบ
- ถ้านักเรียนทบทวนเนื้อหาได้ครบ นักเรียนจะจำสูตรสำคัญได้
- ถ้านักเรียนทำแบบฝึกหัดจับเวลา นักเรียนจะบริหารเวลาได้ดี
- ถ้านักเรียนบริหารเวลาได้ดี นักเรียนจะทำข้อสอบครบ
- ถ้านักเรียนจำสูตรสำคัญได้ นักเรียนจะลดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
- ถ้านักเรียนทำข้อสอบครบ นักเรียนจะมีโอกาสเก็บคะแนนได้มากขึ้น
- ถ้านักเรียนฟังเพลงขณะอ่านหนังสือ นักเรียนจะรู้สึกผ่อนคลาย
จงพิสูจน์ว่า นักเรียนลดข้อผิดพลาดในการคำนวณ และมีโอกาสเก็บคะแนนได้มากขึ้น
ดูเฉลยและการพิสูจน์
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ มีตารางอ่านหนังสือ} \]
\[ q:\text{ ทำแบบฝึกหัดจับเวลา} \]
\[ r:\text{ ทบทวนเนื้อหาได้ครบ} \]
\[ s:\text{ จำสูตรสำคัญได้} \]
\[ t:\text{ บริหารเวลาได้ดี} \]
\[ u:\text{ ทำข้อสอบครบ} \]
\[ v:\text{ ลดข้อผิดพลาดในการคำนวณ} \]
\[ w:\text{ มีโอกาสเก็บคะแนนได้มากขึ้น} \]
\[ x:\text{ ฟังเพลงขณะอ่านหนังสือ} \]
\[ y:\text{ รู้สึกผ่อนคลาย} \]
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ q\to t \]
\[ t\to u \]
\[ s\to v \]
\[ u\to w \]
\[ x\to y \]
เป้าหมายคือ
\[ v\land w \]
วางแผนเป็นสองเส้นทาง
\[ p \to r \to s \to v \]
\[ q \to t \to u \to w \]
\[ v,\ w \therefore v\land w \]
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(q\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(t\to u\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(s\to v\) | กำหนดให้ |
| 7 | \(u\to w\) | กำหนดให้ |
| 8 | \(x\to y\) | กำหนดให้ |
| 9 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 10 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 11 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 9 |
| 12 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 11 |
| 13 | \(v\) | Modus Ponens จาก 6 และ 12 |
| 14 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 10 |
| 15 | \(u\) | Modus Ponens จาก 5 และ 14 |
| 16 | \(w\) | Modus Ponens จาก 7 และ 15 |
| 17 | \(v\land w\) | Conjunction จาก 13 และ 16 |
เมื่อเป้าหมายเป็น AND ให้แยกทำสองเส้นทาง แล้วใช้ Conjunction เป็นขั้นสุดท้าย
\(x\to y\) ไม่เกี่ยวกับเป้าหมาย จึงไม่จำเป็นต้องใช้
วิเคราะห์จุดหลอกที่พบบ่อยในข้อสอบ
กำหนด
\[ p\to q \]
\[ q \]
\[ \therefore p \quad\text{ผิด} \]
การเกิดผลไม่ได้รับรองว่าเกิดจากเหตุเดียว
\[ p\to q,\quad \neg p \therefore \neg q \quad\text{ผิด} \]
แม้เหตุ \(p\) ไม่เกิด ผล \(q\) อาจเกิดจากเหตุอื่น
\[ p\lor q \therefore p \quad\text{ผิด} \]
ต้องมี \(\neg q\) จึงจะตัด \(q\) แล้วเหลือ \(p\)
โจทย์สรุปได้ว่า “มีโอกาสสอบผ่าน” แต่ตัวเลือกระบุว่า “สอบผ่านแน่นอน” ถือว่าเกินข้อมูล
ข้อมูลบางบรรทัดอาจไม่มีเส้นทางเชื่อมกับข้อสรุป การพยายามใช้ข้อมูลเหล่านั้นอาจทำให้หลงทาง
\[ p \therefore p\land q \quad\text{ผิด} \]
ต้องมีทั้ง \(p\) และ \(q\) จึงใช้ Conjunction ได้
ฝึกวิเคราะห์คำตอบของผู้เข้าสอบ
ข้อ 1
\[ p\to q,\quad q \]
ผู้เข้าสอบสรุปว่า \(p\)
การสรุปนี้ถูกต้องหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่ถูกต้อง
เป็นการยืนยันผล หรือ Affirming the Consequent
จาก \(q\) ไม่สามารถย้อนสรุป \(p\) ได้
ข้อ 2
\[ p\to q,\quad \neg q \]
ผู้เข้าสอบสรุปว่า \(\neg p\)
ดูคำตอบ
ถูกต้อง
ใช้ Modus Tollens
\[ p\to q,\quad \neg q \therefore \neg p \]
ข้อ 3
\[ p\lor q,\quad \neg p \]
ผู้เข้าสอบสรุปว่า \(q\)
ดูคำตอบ
ถูกต้อง
ใช้ Disjunctive Syllogism
ข้อ 4
\[ p\land q \]
ผู้เข้าสอบสรุปว่า \(p\lor r\)
ดูคำตอบ
ถูกต้อง
ขั้นแรกใช้ Simplification จาก \(p\land q\) ได้ \(p\)
จากนั้นใช้ Addition ได้ \(p\lor r\)
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 3 | \(p\lor r\) | Addition จาก 2 |
ข้อ 5
\[ p\to q,\quad \neg p \]
ผู้เข้าสอบสรุปว่า \(\neg q\)
ดูคำตอบ
ไม่ถูกต้อง
เป็นการปฏิเสธเหตุ หรือ Denying the Antecedent
แม้ \(p\) ไม่จริง แต่ \(q\) อาจจริงจากเหตุอื่นได้
Mind Map เลือกกฎในข้อสอบหลายขั้น
\[ \boxed{\text{ต้องการข้อความเดี่ยว }q} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{มองหา }p\to q \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{หา }p \]
\[ \boxed{\text{ต้องการ }\neg p} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{มองหา }p\to q \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{หา }\neg q \]
\[ \boxed{\text{ต้องการ }p\land q} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{พิสูจน์ }p \quad\text{และ}\quad \text{พิสูจน์ }q \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{Conjunction} \]
\[ \boxed{\text{เห็น }p\lor q} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{มองหา }\neg p\text{ หรือ }\neg q \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{Disjunctive Syllogism} \]
\[ \boxed{\text{เห็นลูกศรต่อกัน}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \text{เดินด้วย MP} \quad\text{หรือ}\quad \text{เชื่อมด้วย HS} \]
Exam Coach: เทคนิคทำข้อสอบให้ทันเวลา
เมื่อรู้เป้าหมายแล้ว จะสแกนหาข้อมูลที่เกี่ยวข้องได้เร็วขึ้น
เช่น \(p\to q\to r\to s\) จะช่วยให้เห็นเส้นทางคำตอบทันที
คำว่า “ไม่” “ไม่มี” “ไม่ได้” อาจเป็นจุดเริ่มของ Modus Tollens หรือ Disjunctive Syllogism
เขียนด้านซ้ายว่าต้องพิสูจน์อะไร และด้านขวาว่าต้องพิสูจน์อะไร ก่อนรวมคำตอบ
คำว่า “แน่นอน” “ทุกครั้ง” “เสมอ” มักแรงกว่าข้อความที่โจทย์กำหนด
หากข้อความใดไม่มีเส้นทางเชื่อมไปยังข้อสรุป ให้พักไว้ก่อน
Final Challenge Part 5B-1
กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
- ผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร และชำระค่าธรรมเนียมแล้ว
- ถ้าผู้สมัครผ่านการตรวจเอกสาร ผู้สมัครจะได้รับสิทธิ์เลือกสนามสอบ
- ถ้าผู้สมัครได้รับสิทธิ์เลือกสนามสอบ ผู้สมัครจะได้รับหมายเลขสนามสอบ
- ถ้าผู้สมัครได้รับหมายเลขสนามสอบ ผู้สมัครจะตรวจสอบสถานที่สอบได้
- ถ้าผู้สมัครชำระค่าธรรมเนียมแล้ว ระบบจะยืนยันสถานะการสมัคร
- ถ้าระบบยืนยันสถานะการสมัคร ผู้สมัครจะพิมพ์บัตรสอบได้
- ถ้าผู้สมัครพิมพ์บัตรสอบได้ ผู้สมัครจะทราบเลขที่นั่งสอบ
- ถ้าผู้สมัครไม่มีหมายเลขสนามสอบ ผู้สมัครจะตรวจสอบสถานที่สอบไม่ได้
- ถ้าผู้สมัครมีผลการเรียนดี ผู้สมัครจะมีความมั่นใจมากขึ้น
จงพิสูจน์ว่า
\[ \text{ผู้สมัครตรวจสอบสถานที่สอบได้} \]
และ
\[ \text{ผู้สมัครทราบเลขที่นั่งสอบ} \]
ดูเฉลยฉบับเต็ม
กำหนดสัญลักษณ์
\[ p:\text{ ผ่านการตรวจเอกสาร} \]
\[ q:\text{ ชำระค่าธรรมเนียมแล้ว} \]
\[ r:\text{ ได้รับสิทธิ์เลือกสนามสอบ} \]
\[ s:\text{ ได้รับหมายเลขสนามสอบ} \]
\[ t:\text{ ตรวจสอบสถานที่สอบได้} \]
\[ u:\text{ ระบบยืนยันสถานะการสมัคร} \]
\[ v:\text{ พิมพ์บัตรสอบได้} \]
\[ w:\text{ ทราบเลขที่นั่งสอบ} \]
\[ x:\text{ มีผลการเรียนดี} \]
\[ y:\text{ มีความมั่นใจมากขึ้น} \]
ข้อมูลในรูปสัญลักษณ์
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ r\to s \]
\[ s\to t \]
\[ q\to u \]
\[ u\to v \]
\[ v\to w \]
\[ \neg s\to\neg t \]
\[ x\to y \]
เป้าหมายคือ
\[ t\land w \]
วางแผนย้อนกลับ
\[ p \to r \to s \to t \]
\[ q \to u \to v \to w \]
\[ t,\ w \therefore t\land w \]
การพิสูจน์
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | \(p\land q\) | กำหนดให้ |
| 2 | \(p\to r\) | กำหนดให้ |
| 3 | \(r\to s\) | กำหนดให้ |
| 4 | \(s\to t\) | กำหนดให้ |
| 5 | \(q\to u\) | กำหนดให้ |
| 6 | \(u\to v\) | กำหนดให้ |
| 7 | \(v\to w\) | กำหนดให้ |
| 8 | \(\neg s\to\neg t\) | กำหนดให้ |
| 9 | \(x\to y\) | กำหนดให้ |
| 10 | \(p\) | Simplification จาก 1 |
| 11 | \(q\) | Simplification จาก 1 |
| 12 | \(r\) | Modus Ponens จาก 2 และ 10 |
| 13 | \(s\) | Modus Ponens จาก 3 และ 12 |
| 14 | \(t\) | Modus Ponens จาก 4 และ 13 |
| 15 | \(u\) | Modus Ponens จาก 5 และ 11 |
| 16 | \(v\) | Modus Ponens จาก 6 และ 15 |
| 17 | \(w\) | Modus Ponens จาก 7 และ 16 |
| 18 | \(t\land w\) | Conjunction จาก 14 และ 17 |
จึงพิสูจน์ได้ว่า ผู้สมัครตรวจสอบสถานที่สอบได้ และทราบเลขที่นั่งสอบ
\(\neg s\to\neg t\) และ \(x\to y\) ไม่จำเป็นต่อเป้าหมาย \(t\land w\)
โจทย์นี้ดูยาว แต่โครงสร้างจริงมีเพียงสองลูกโซ่ ที่เริ่มจากข้อความ AND เดียวกัน แล้วนำผลปลายทางมารวมกัน
Proof Checklist ก่อนส่งคำตอบ
- ข้อสรุปสุดท้ายตรงกับสิ่งที่โจทย์ถามหรือไม่
- กำหนดสัญลักษณ์แต่ละตัวไม่ซ้ำความหมายกันหรือไม่
- แปลงคำว่า “และ” “หรือ” “ไม่” และ “ถ้า...แล้ว...” ถูกหรือไม่
- ทุกข้อสรุปใหม่มีเหตุผลรองรับหรือไม่
- ระบุหมายเลขบรรทัดที่ใช้ครบหรือไม่
- มีการกลับจากผลไปหาเหตุหรือไม่
- มีการปฏิเสธเหตุแล้วปฏิเสธผลหรือไม่
- มีการเลือกด้านหนึ่งจาก OR โดยไม่มีข้อมูลตัดอีกด้านหรือไม่
- หากคำตอบเป็น AND พิสูจน์ครบทั้งสองส่วนหรือไม่
- มีข้อมูลส่วนเกินที่ไม่จำเป็นหรือไม่
- มีการสรุปแรงกว่าข้อมูล เช่น “แน่นอน” หรือ “ทุกครั้ง” หรือไม่
- ใช้เฉพาะสิ่งที่โจทย์กำหนดหรืออนุมานได้หรือไม่
สรุป EP4 Part 5B-1
- ข้อความยาวควรแปลงเป็นสัญลักษณ์ก่อนวิเคราะห์
- เริ่มจากข้อสรุปแล้วคิดย้อนหาสิ่งที่ต้องมี
- การเขียนพิสูจน์จริงต้องเดินจาก Premises ไปหา Conclusion
- ข้อความ AND มักเป็นจุดเริ่มสำหรับแยกเหตุหลายเส้นทาง
- ข้อความ OR ต้องมีการปฏิเสธทางเลือกหนึ่ง จึงตัดเหลืออีกทางได้
- ลูกศรที่ต่อกันสามารถเดินด้วย Modus Ponens หรือเชื่อมด้วย Hypothetical Syllogism
- การปฏิเสธปลายทางช่วยย้อนกลับด้วย Modus Tollens
- หากข้อสรุปเป็น AND ต้องพิสูจน์ทั้งสองส่วนก่อนใช้ Conjunction
- ข้อมูลบางบรรทัดอาจเป็นข้อมูลส่วนเกิน ไม่จำเป็นต้องนำมาใช้
- ตัวเลือกที่สรุปแรงกว่าข้อมูลถือว่าไม่สมเหตุสมผล
- ทุกบรรทัดของการพิสูจน์ต้องมีที่มา ชื่อกฎ และหมายเลขบรรทัดที่ใช้
\[ \boxed{\text{อ่านข้อสรุป}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{แปลงเป็นสัญลักษณ์}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{หาเส้นทางที่เกี่ยวข้อง}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เลือกกฎทีละขั้น}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ตรวจว่าไม่สรุปเกินข้อมูล}} \]
โจทย์ยาวให้ย่อเป็นสัญลักษณ์
เป้าหมายอยู่ปลาย ให้ย้อนหาต้นทาง
ลูกศรเดินหน้า ปฏิเสธผลจึงย้อนกลับ
AND แยกก่อน รวมเมื่อครบสองด้าน
OR ต้องตัดหนึ่งทางก่อนเลือกอีกทาง
EP4 Part 5B-2 จะเป็น Mini Quiz Interactive สำหรับตรวจคำตอบอัตโนมัติ พร้อมคะแนน คำอธิบายรายข้อ การวิเคราะห์ระดับความพร้อม และปุ่มเริ่มทำใหม่
EP4 Part 5B-2 Mini Quiz Interactive
ถึงเวลาตรวจสอบว่าเราเลือกกฎการอนุมาน วิเคราะห์ข้อสรุป และตรวจจับข้อผิดพลาดได้แม่นเพียงใด
แบบทดสอบนี้มีทั้งหมด 10 ข้อ ครอบคลุมเนื้อหาสำคัญของ EP4 ได้แก่
- Modus Ponens
- Modus Tollens
- Hypothetical Syllogism
- Disjunctive Syllogism
- Simplification
- Conjunction
- Addition
- การพิสูจน์หลายขั้น
- การตรวจจับเหตุผลวิบัติ
- การเลือกข้อมูลที่จำเป็น
อย่ารีบเลือกคำตอบจากความรู้สึก ให้แปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์ แล้วตรวจว่าตรงกับรูปแบบของกฎใด
เป้าหมายของแบบทดสอบ
- เลือกกฎการอนุมานได้ถูกต้อง
- วิเคราะห์ข้อสรุปจากข้อความหลายบรรทัดได้
- ตรวจจับการกลับเหตุและผลได้
- ตรวจจับการปฏิเสธเหตุได้
- แยกข้อมูลจำเป็นออกจากข้อมูลส่วนเกินได้
- วางเส้นทางพิสูจน์จากเหตุไปหาข้อสรุปได้
- ประเมินความพร้อมก่อนเข้าสู่โจทย์ระดับสูงได้
คำชี้แจง
- เลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว
- ทำให้ครบทั้ง 10 ข้อก่อนกดตรวจคำตอบ
- อ่านคำอธิบายของข้อที่ตอบผิด
- กดเริ่มทำใหม่เมื่อต้องการฝึกซ้ำ
\[ \text{คะแนนเต็ม}=10 \]
| คะแนน | ระดับความพร้อม | คำแนะนำ |
|---|---|---|
| 9–10 | พร้อมมาก | เข้าสู่โจทย์ระดับข้อสอบจริงได้ |
| 7–8 | พร้อมดี | ทบทวนข้อที่ผิดแล้วฝึกโจทย์หลายขั้นเพิ่ม |
| 5–6 | พื้นฐานใช้ได้ | ทบทวน MP, MT, HS และ DS |
| 0–4 | ควรทบทวน | ย้อนกลับไปทบทวน EP4 Part 1–4 |
Mini Quiz: การอนุมานและกฎการสรุป
ข้อสรุปใดถูกต้อง
\[ p\to q \]
\[ p \]
ถูกต้อง ใช้กฎ Modus Ponens: \(p\to q,\ p\therefore q\)
เมื่อโจทย์ยืนยันเหตุ \(p\) เราจึงเดินตามเงื่อนไขไปสู่ผล \(q\)
ข้อสรุปใดถูกต้อง
\[ p\to q \]
\[ \neg q \]
ถูกต้อง ใช้กฎ Modus Tollens
เมื่อผล \(q\) ไม่เกิด จึงย้อนกลับไปปฏิเสธเหตุ \(p\)
ข้อใดเกิดจาก Hypothetical Syllogism
\[ p\to q \]
\[ q\to r \]
ถูกต้อง ตัดตัวกลาง \(q\) แล้วเชื่อม \(p\) ไปยัง \(r\)
ลูกศรต้องต่อในทิศเดียวกัน: \(p\to q\to r\)
ข้อสรุปใดถูกต้อง
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
ถูกต้อง ใช้ Disjunctive Syllogism
เมื่อมีสองทางเลือกและตัด \(p\) ออก จึงเหลือ \(q\)
กฎแรกที่ควรใช้คือข้อใด
\[ p\land q \]
\[ q\to r \]
\[ \therefore r \]
ถูกต้อง ต้องแยก \(q\) จาก \(p\land q\) ก่อน
เส้นทางคือ Simplification แล้วจึงใช้ Modus Ponens
ข้อใดเป็นการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล
ถูกต้อง ข้อ C เป็นการยืนยันผลแล้วกลับไปสรุปเหตุ
จาก \(q\) ไม่สามารถรับรองได้ว่าเกิดจาก \(p\) เพราะ \(q\) อาจมีเหตุอื่น
ข้อสรุปสุดท้ายควรใช้กฎใด
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ q\to s \]
\[ \therefore r\land s \]
ถูกต้อง เมื่อพิสูจน์ได้ทั้ง \(r\) และ \(s\) จึงรวมเป็น \(r\land s\)
ข้อสรุปเป็นรูป AND ดังนั้นกฎสุดท้ายควรเป็น Conjunction
จากข้อมูลต่อไปนี้ ข้อใดสรุปได้
ถ้าผู้สมัครส่งเอกสารครบ ผู้สมัครจะได้รับเลขประจำตัวสอบ
ถ้าผู้สมัครได้รับเลขประจำตัวสอบ ผู้สมัครจะพิมพ์บัตรสอบได้
ผู้สมัครส่งเอกสารครบ
ถูกต้อง ใช้ Modus Ponens ต่อเนื่องสองขั้น
โจทย์รับรองเพียงการพิมพ์บัตรสอบได้ ตัวเลือกอื่นเป็นการสรุปเกินข้อมูล
ข้อใดเป็นข้อมูลส่วนเกินในการพิสูจน์ \(r\)
\[ p\land q \]
\[ p\to r \]
\[ s\to t \]
ถูกต้อง \(s\to t\) ไม่มีเส้นทางเชื่อมกับ \(r\)
การพิสูจน์ \(r\) ใช้ \(p\land q\to p\) แล้วใช้ \(p\to r\)
ข้อใดเป็นลำดับกฎที่ถูกต้อง
\[ p\lor q \]
\[ \neg p \]
\[ q\to r \]
\[ r\to s \]
\[ \therefore s \]
ถูกต้อง ตัด \(p\) เพื่อหา \(q\) แล้วเดินจาก \(q\to r\to s\)
เส้นทางคือ \(p\lor q,\neg p\therefore q\), จากนั้นใช้ MP สองครั้ง
วิเคราะห์ความพร้อมจากคะแนน
คุณสามารถระบุรูปแบบของกฎ วิเคราะห์โจทย์หลายขั้น และตรวจจับเหตุผลที่ผิดได้ดี
ขั้นต่อไปควรฝึกโจทย์แบบจับเวลา และโจทย์ที่มีข้อมูลส่วนเกินมากขึ้น
พื้นฐานค่อนข้างแม่น แต่อาจยังพลาดโจทย์ที่ต้องใช้กฎหลายกฎร่วมกัน
ให้ทบทวนข้อที่ผิด และเขียนเส้นทางกฎของแต่ละข้อใหม่ด้วยตนเอง
ควรทบทวนความแตกต่างระหว่าง Modus Ponens, Modus Tollens, Hypothetical Syllogism และ Disjunctive Syllogism
จากนั้นกลับมาทำแบบทดสอบซ้ำโดยไม่เปิดเฉลย
ให้ย้อนกลับไปทบทวน EP4 Part 1–4 โดยเฉพาะรูปแบบของกฎหลัก และข้อผิดพลาดเรื่องการกลับเหตุและผล
วิเคราะห์ทักษะจากข้อที่ตอบผิด
| ข้อที่ผิด | ทักษะที่ควรทบทวน |
|---|---|
| ข้อ 1 | Modus Ponens และการเดินตามลูกศร |
| ข้อ 2 | Modus Tollens และการปฏิเสธผล |
| ข้อ 3 | Hypothetical Syllogism และการเชื่อมลูกศร |
| ข้อ 4 | Disjunctive Syllogism และการตัดทางเลือก |
| ข้อ 5 | Simplification และการแยก AND |
| ข้อ 6 | การตรวจจับการยืนยันผล |
| ข้อ 7 | Conjunction และข้อสรุปรูป AND |
| ข้อ 8 | การพิสูจน์ด้วย Modus Ponens หลายขั้น |
| ข้อ 9 | การแยกข้อมูลจำเป็นและข้อมูลส่วนเกิน |
| ข้อ 10 | การวางลำดับกฎในโจทย์หลายขั้น |
อย่าทบทวนเพียงคำตอบที่ถูก ให้ย้อนดูว่าเหตุใดตัวเลือกอื่นจึงผิดด้วย เพราะข้อสอบจริงมักใช้รูปแบบตัวลวงเดิมซ้ำ
ทบทวนเส้นทางคำตอบทั้ง 10 ข้อ
| ข้อ | คำตอบ | แนวคิดหลัก |
|---|---|---|
| 1 | B | Modus Ponens |
| 2 | C | Modus Tollens |
| 3 | A | Hypothetical Syllogism |
| 4 | D | Disjunctive Syllogism |
| 5 | B | Simplification ก่อน Modus Ponens |
| 6 | C | ตรวจจับการยืนยันผล |
| 7 | D | Conjunction เป็นกฎสุดท้าย |
| 8 | A | Modus Ponens ต่อเนื่อง |
| 9 | B | ข้อมูลส่วนเกิน |
| 10 | C | DS → MP → MP |
ข้อผิดพลาดที่ควรหยุดให้ได้ก่อนเข้าสอบ
\[ p\to q,\quad q \therefore p \quad\text{ผิด} \]
\[ p\to q,\quad\neg p \therefore\neg q \quad\text{ผิด} \]
\[ p\lor q \therefore p \quad\text{ผิด} \]
\[ p \therefore p\land q \quad\text{ผิด} \]
“มีโอกาสได้คะแนนสูง” ไม่เท่ากับ “ได้คะแนนเต็มแน่นอน”
ข้อมูลที่ไม่มีเส้นทางเชื่อมกับเป้าหมาย สามารถตัดออกจากการพิสูจน์ได้
ภารกิจหลังทำ Mini Quiz
เลือกข้อที่ตอบผิดอย่างน้อย 1 ข้อ แล้วเขียนการพิสูจน์ใหม่ในรูปตาราง
| บรรทัด | ข้อความ | เหตุผล |
|---|---|---|
| 1 | ข้อความที่โจทย์กำหนด | กำหนดให้ |
| 2 | ข้อความที่โจทย์กำหนด | กำหนดให้ |
| 3 | ข้อสรุปย่อย | ชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้ |
| 4 | ข้อสรุปสุดท้าย | ชื่อกฎและบรรทัดที่ใช้ |
แนวทางตรวจคำตอบของตนเอง
- ทุกบรรทัดมีที่มาหรือไม่
- ใช้กฎตรงกับรูปแบบหรือไม่
- มีการย้อนลูกศรหรือไม่
- มีการเติมข้อมูลเองหรือไม่
- ข้อสรุปสุดท้ายตรงกับโจทย์หรือไม่
Checklist ความพร้อมก่อนจบ Part 5B-2
- ฉันจำรูปแบบ MP และ MT ได้โดยไม่เปิดดูหรือไม่
- ฉันเชื่อมลูกศรด้วย HS ได้หรือไม่
- ฉันตัดทางเลือกด้วย DS ได้หรือไม่
- ฉันแยกข้อความ AND ได้ถูกต้องหรือไม่
- ฉันรวมข้อความด้วย Conjunction เมื่อมีครบสองด้านหรือไม่
- ฉันตรวจจับการยืนยันผลได้หรือไม่
- ฉันตรวจจับการปฏิเสธเหตุได้หรือไม่
- ฉันแยกข้อมูลส่วนเกินออกจากเส้นทางพิสูจน์ได้หรือไม่
- ฉันวางลำดับกฎในโจทย์หลายขั้นได้หรือไม่
- ฉันอธิบายเหตุผลของคำตอบได้หรือไม่
สรุป EP4 Part 5B-2
- Modus Ponens ใช้เมื่อยืนยันเหตุ
- Modus Tollens ใช้เมื่อปฏิเสธผล
- Hypothetical Syllogism ใช้เชื่อมลูกศร
- Disjunctive Syllogism ใช้ตัดทางเลือก
- Simplification ใช้แยกข้อความจาก AND
- Conjunction ใช้รวมข้อความที่พิสูจน์ได้ครบสองด้าน
- ข้อสอบหลายขั้นคือการนำกฎพื้นฐานมาต่อกัน
- การคิดย้อนกลับช่วยวางแผนเส้นทางคำตอบ
- การเขียนพิสูจน์จริงต้องเดินจากเหตุไปหาผล
- ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลทุกบรรทัด
- คำตอบที่เกินจากข้อมูลไม่ถือว่าเป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง
\[ \boxed{\text{อ่านเป้าหมาย}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{แปลงข้อความ}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{เลือกกฎ}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{พิสูจน์ทีละขั้น}} \]
\[ \Downarrow \]
\[ \boxed{\text{ตรวจว่าไม่สรุปเกินข้อมูล}} \]
มีเหตุ เดินไปหาผล
ไม่มีผล ย้อนปฏิเสธเหตุ
ลูกศรต่อกัน เชื่อมเส้นทาง
OR ตัดหนึ่ง เหลืออีกหนึ่ง
AND แยกได้ และรวมเมื่อครบ
EP4 Part 5C จะเป็น Final Review ทั้ง EP4 รวม Mind Map กฎทั้งหมด ตารางเปรียบเทียบ เทคนิคจำก่อนสอบ One-Minute Summary และบทสรุปเชื่อมเข้าสู่ EP5