EP6 สัจจนิรันดร์ สูตรสมมูล และการพิสูจน์
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
EP6 สัจจนิรันดร์ สูตรสมมูล และการพิสูจน์
ใน EP ก่อนหน้า เราใช้กฎการอนุมานเพื่อหาข้อสรุป แต่ใน EP6 เราจะตรวจสอบว่า ประพจน์หนึ่งเป็นจริงเสมอหรือไม่ และประพจน์สองรูปมีความหมายทางตรรกศาสตร์เหมือนกันหรือไม่
พิจารณาประพจน์
\[ p\lor\neg p \]
ไม่ว่า \(p\) จะเป็นจริงหรือเท็จ ประพจน์นี้จะเป็นจริงเสมอ จึงเรียกว่า สัจจนิรันดร์
\[ \boxed{\text{สร้างตารางค่าความจริง}} \to \boxed{\text{ตรวจค่าคอลัมน์สุดท้าย}} \to \boxed{\text{จำแนกประพจน์}} \]
ถ้าโจทย์มีตัวแปรเพียง 1–2 ตัว ตารางค่าความจริงมักเป็นวิธีที่ปลอดภัยที่สุด แต่ถ้าประพจน์ยาว ให้ใช้สูตรสมมูลเพื่อลดรูปก่อน
จุดประสงค์การเรียนรู้
เมื่อเรียนจบ EP6 ผู้เรียนจะสามารถ
- อธิบายความหมายของสัจจนิรันดร์ได้
- แยกสัจจนิรันดร์ ข้อขัดแย้ง และประพจน์ไม่แน่นอนได้
- ตรวจสอบประพจน์ด้วยตารางค่าความจริงได้
- ใช้สูตรสมมูลพื้นฐานได้
- เปลี่ยนรูปประพจน์เงื่อนไขได้
- ใช้กฎของเดอมอร์แกนได้
- พิสูจน์ว่าสองประพจน์สมมูลกันได้
- ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้ออ้างได้
1. ทบทวนค่าความจริง
| ประพจน์ | เป็นจริงเมื่อ | เป็นเท็จเมื่อ |
|---|---|---|
| \(\neg p\) | \(p\) เป็นเท็จ | \(p\) เป็นจริง |
| \(p\land q\) | ทั้ง \(p\) และ \(q\) เป็นจริง | มีอย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นเท็จ |
| \(p\lor q\) | มีอย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริง | ทั้งสองประพจน์เป็นเท็จ |
| \(p\to q\) | ทุกกรณี ยกเว้นเหตุจริงแต่ผลเท็จ | \(p\) จริง และ \(q\) เท็จ |
| \(p\leftrightarrow q\) | \(p\) และ \(q\) มีค่าความจริงเหมือนกัน | \(p\) และ \(q\) มีค่าความจริงต่างกัน |
ประพจน์เงื่อนไข \(p\to q\) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ
\[ p=T,\qquad q=F \]
2. สัจจนิรันดร์คืออะไร
สัจจนิรันดร์ หรือ Tautology คือประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงอย่างไร
\[ \boxed{\text{ค่าคอลัมน์สุดท้ายเป็น }T\text{ ทุกแถว}} \]
ตัวอย่างพื้นฐาน
\[ p\lor\neg p \]
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\lor\neg p\) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
คอลัมน์สุดท้ายเป็นจริงทุกแถว ดังนั้น \(p\lor\neg p\) เป็นสัจจนิรันดร์
3. ข้อขัดแย้งและประพจน์ไม่แน่นอน
ข้อขัดแย้ง
ข้อขัดแย้ง หรือ Contradiction คือประพจน์ที่เป็นเท็จทุกกรณี
\[ \boxed{\text{ค่าคอลัมน์สุดท้ายเป็น }F\text{ ทุกแถว}} \]
\[ p\land\neg p \]
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\land\neg p\) |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
ประพจน์ไม่แน่นอน
ประพจน์ไม่แน่นอน หรือ Contingency คือประพจน์ที่บางกรณีเป็นจริง และบางกรณีเป็นเท็จ
\[ p\to q \]
ประพจน์นี้มีทั้งค่าจริงและค่าเท็จ จึงไม่ใช่ทั้งสัจจนิรันดร์และข้อขัดแย้ง
| ชนิด | คอลัมน์สุดท้าย | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| สัจจนิรันดร์ | T ทุกแถว | \(p\lor\neg p\) |
| ข้อขัดแย้ง | F ทุกแถว | \(p\land\neg p\) |
| ไม่แน่นอน | มีทั้ง T และ F | \(p\to q\) |
4. วิธีตรวจสอบสัจจนิรันดร์ด้วยตารางค่าความจริง
- นับจำนวนประพจน์ย่อย
- สร้างจำนวนแถวเท่ากับ \(2^n\)
- คำนวณจากส่วนย่อยไปส่วนใหญ่
- ตรวจคอลัมน์สุดท้าย
\[ \text{จำนวนแถว}=2^n \]
เมื่อ \(n\) คือจำนวนประพจน์ย่อย
| จำนวนตัวแปร | จำนวนแถว |
|---|---|
| 1 ตัว | \(2^1=2\) |
| 2 ตัว | \(2^2=4\) |
| 3 ตัว | \(2^3=8\) |
| 4 ตัว | \(2^4=16\) |
ตรวจสอบ \((p\land q)\to p\)
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \((p\land q)\to p\) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
คอลัมน์สุดท้ายเป็นจริงทุกแถว ดังนั้น
\[ (p\land q)\to p \]
เป็นสัจจนิรันดร์
5. ประพจน์สมมูล
ประพจน์สองประพจน์จะ สมมูลกัน เมื่อมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี
\[ p\equiv q \]
อ่านว่า \(p\) สมมูลกับ \(q\)
\[ p\equiv q \quad\Longleftrightarrow\quad p\leftrightarrow q \text{ เป็นสัจจนิรันดร์} \]
ตัวอย่าง
\[ p\to q \equiv \neg p\lor q \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\to q\) | \(\neg p\lor q\) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
ค่าความจริงของสองคอลัมน์ตรงกันทุกแถว จึงสมมูลกัน
6. สูตรสมมูลพื้นฐานที่ต้องจำ
| ชื่อกฎ | สูตรสมมูล |
|---|---|
| ปฏิเสธซ้อน | \[ \neg(\neg p)\equiv p \] |
| สลับที่ของ AND | \[ p\land q\equiv q\land p \] |
| สลับที่ของ OR | \[ p\lor q\equiv q\lor p \] |
| เปลี่ยนหมู่ของ AND | \[ (p\land q)\land r \equiv p\land(q\land r) \] |
| เปลี่ยนหมู่ของ OR | \[ (p\lor q)\lor r \equiv p\lor(q\lor r) \] |
| แจกแจง AND | \[ p\land(q\lor r) \equiv (p\land q)\lor(p\land r) \] |
| แจกแจง OR | \[ p\lor(q\land r) \equiv (p\lor q)\land(p\lor r) \] |
| เอกลักษณ์ AND | \[ p\land T\equiv p \] |
| เอกลักษณ์ OR | \[ p\lor F\equiv p \] |
| ครอบงำ OR | \[ p\lor T\equiv T \] |
| ครอบงำ AND | \[ p\land F\equiv F \] |
| กฎซ้ำ | \[ p\land p\equiv p, \qquad p\lor p\equiv p \] |
| ส่วนเติมเต็ม | \[ p\lor\neg p\equiv T \] |
| ข้อขัดแย้ง | \[ p\land\neg p\equiv F \] |
สิ่งสำคัญคือจำรูปของสูตร และสามารถนำไปใช้ลดรูปประพจน์ได้
7. กฎของเดอมอร์แกน
กฎของเดอมอร์แกนใช้สำหรับกระจายเครื่องหมายปฏิเสธ เข้าไปในวงเล็บ
\[ \boxed{ \neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q } \]
\[ \boxed{ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q } \]
เมื่อนำเครื่องหมายปฏิเสธเข้าไปในวงเล็บ
- ปฏิเสธทุกประพจน์
- เปลี่ยน \(\land\) เป็น \(\lor\)
- เปลี่ยน \(\lor\) เป็น \(\land\)
ตัวอย่างที่ 1
\[ \neg(p\land q) \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q \]
“ไม่จริงที่ว่า \(p\) และ \(q\)” หมายถึง “ไม่ \(p\) หรือไม่ \(q\)”
ตัวอย่างที่ 2
\[ \neg(p\lor q) \]
\[ \equiv \neg p\land\neg q \]
“ไม่จริงที่ว่า \(p\) หรือ \(q\)” หมายถึงทั้ง \(p\) และ \(q\) ไม่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 3: ข้อความซ้อน
\[ \neg\bigl(p\land(q\lor r)\bigr) \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg(q\lor r) \]
\[ \equiv \neg p\lor(\neg q\land\neg r) \]
8. สูตรสมมูลของข้อความเงื่อนไข
\[ \boxed{ p\to q \equiv \neg p\lor q } \]
สูตรนี้ใช้บ่อยมากในการเปลี่ยนประพจน์ที่มีลูกศร ให้เหลือเพียง \(\neg\), \(\land\) และ \(\lor\)
ตัวอย่าง
\[ (p\land q)\to r \]
\[ \equiv \neg(p\land q)\lor r \]
\[ \equiv (\neg p\lor\neg q)\lor r \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]
\[ p\to q \not\equiv p\lor q \]
\[ p\to q \not\equiv p\land q \]
9. ประพจน์ผกผันและประพจน์แย้งสลับที่
จากประพจน์
\[ p\to q \]
| ชื่อ | รูปประพจน์ | สมมูลกับประพจน์เดิมหรือไม่ |
|---|---|---|
| ประพจน์กลับ | \(q\to p\) | ไม่จำเป็นต้องสมมูล |
| ประพจน์ผกผัน | \(\neg p\to\neg q\) | ไม่จำเป็นต้องสมมูล |
| ประพจน์แย้งสลับที่ | \(\neg q\to\neg p\) | สมมูลกับประพจน์เดิม |
\[ \boxed{ p\to q \equiv \neg q\to\neg p } \]
ตัวอย่าง
ประพจน์เดิม: ถ้าฝนตกแล้วถนนเปียก
\[ p\to q \]
ประพจน์แย้งสลับที่: ถ้าถนนไม่เปียกแล้วฝนไม่ตก
\[ \neg q\to\neg p \]
ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
ประพจน์เดิมไม่สมมูลกับประพจน์กลับ แต่สมมูลกับประพจน์แย้งสลับที่
10. สูตรสมมูลของ “ก็ต่อเมื่อ”
\[ \boxed{ p\leftrightarrow q \equiv (p\to q)\land(q\to p) } \]
หมายความว่า \(p\) และ \(q\) ต้องเป็นเงื่อนไขให้กันทั้งสองทิศ
\[ p\leftrightarrow q \equiv (p\land q)\lor(\neg p\land\neg q) \]
รูปหลังแสดงว่า \(p\leftrightarrow q\) เป็นจริง เมื่อทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกัน
ตัวอย่าง
ผู้สมัครผ่านก็ต่อเมื่อได้คะแนนถึงเกณฑ์
\[ p\leftrightarrow q \]
\[ \equiv (p\to q)\land(q\to p) \]
จึงมีความหมายว่า
- ถ้าผ่าน ต้องได้คะแนนถึงเกณฑ์
- ถ้าได้คะแนนถึงเกณฑ์ ต้องผ่าน
11. ตัวอย่างการลดรูปด้วยสูตรสมมูล
ตัวอย่างที่ 1
จงลดรูป
\[ \neg(p\to q) \]
\[ \equiv \neg(\neg p\lor q) \]
\[ \equiv \neg(\neg p)\land\neg q \]
\[ \equiv p\land\neg q \]
\[ \boxed{ \neg(p\to q) \equiv p\land\neg q } \]
ข้อความเงื่อนไขเป็นเท็จ เมื่อเหตุเป็นจริงแต่ผลเป็นเท็จ
ตัวอย่างที่ 2
จงลดรูป
\[ p\to(p\lor q) \]
\[ \equiv \neg p\lor(p\lor q) \]
\[ \equiv (\neg p\lor p)\lor q \]
\[ \equiv T\lor q \]
\[ \equiv T \]
ดังนั้น \(p\to(p\lor q)\) เป็นสัจจนิรันดร์
ตัวอย่างที่ 3
จงลดรูป
\[ (p\to q)\land p \]
\[ \equiv (\neg p\lor q)\land p \]
\[ \equiv (p\land\neg p)\lor(p\land q) \]
\[ \equiv F\lor(p\land q) \]
\[ \equiv p\land q \]
ตัวอย่างที่ 4
จงตรวจสอบว่า \((p\to q)\lor(q\to p)\) เป็นสัจจนิรันดร์หรือไม่
\[ (p\to q)\lor(q\to p) \]
\[ \equiv (\neg p\lor q)\lor(\neg q\lor p) \]
\[ \equiv (\neg p\lor p)\lor(q\lor\neg q) \]
\[ \equiv T\lor T \]
\[ \equiv T \]
ดังนั้นเป็นสัจจนิรันดร์
12. วิธีพิสูจน์ว่าประพจน์สมมูลกัน
สามารถใช้ได้ 3 วิธีหลัก
| วิธี | เหมาะกับกรณี |
|---|---|
| ตารางค่าความจริง | ตัวแปรไม่มาก และต้องการตรวจทุกกรณี |
| ใช้สูตรสมมูล | ประพจน์ยาวแต่สามารถลดรูปได้ |
| ตรวจ \(P\leftrightarrow Q\) | ต้องการพิสูจน์ว่า \(P\) และ \(Q\) สมมูลกัน |
พิสูจน์ว่า \(\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q\)
ใช้กฎของเดอมอร์แกนโดยตรง
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]
พิสูจน์ว่า \(p\to q\equiv\neg q\to\neg p\)
\[ \neg q\to\neg p \]
\[ \equiv \neg(\neg q)\lor\neg p \]
\[ \equiv q\lor\neg p \]
\[ \equiv \neg p\lor q \]
\[ \equiv p\to q \]
เปลี่ยนรูปจากด้านใดด้านหนึ่ง โดยอ้างสูตรสมมูลทีละขั้น จนได้อีกด้านหนึ่ง
13. การตรวจสอบข้ออ้างว่าการให้เหตุผลสมเหตุสมผล
การให้เหตุผล
\[ P_1,\ P_2,\ldots,P_n \therefore C \]
จะสมเหตุสมผล เมื่อประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจจนิรันดร์
\[ (P_1\land P_2\land\cdots\land P_n)\to C \]
ตัวอย่าง Modus Ponens
\[ p\to q,\quad p \therefore q \]
เปลี่ยนเป็นประพจน์
\[ \bigl((p\to q)\land p\bigr)\to q \]
ประพจน์นี้เป็นสัจจนิรันดร์ จึงเป็นการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล
หากสามารถหากรณีที่เหตุทั้งหมดเป็นจริง แต่ข้อสรุปเป็นเท็จได้เพียงหนึ่งกรณี การให้เหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
14. แบบฝึกหัด
ข้อ 1
จงจำแนกประพจน์ \(p\lor\neg p\)
ดูเฉลย
เป็นสัจจนิรันดร์ เพราะเป็นจริงทุกกรณี
ข้อ 2
จงจำแนกประพจน์ \(p\land\neg p\)
ดูเฉลย
เป็นข้อขัดแย้ง เพราะเป็นเท็จทุกกรณี
ข้อ 3
จงจำแนกประพจน์ \(p\to q\)
ดูเฉลย
เป็นประพจน์ไม่แน่นอน เพราะบางกรณีจริงและบางกรณีเท็จ
ข้อ 4
จงเขียนประพจน์ที่สมมูลกับ \(\neg(p\land q)\)
ดูเฉลย
\[ \neg p\lor\neg q \]
ข้อ 5
จงเขียนประพจน์ที่สมมูลกับ \(\neg(p\lor q)\)
ดูเฉลย
\[ \neg p\land\neg q \]
ข้อ 6
จงเขียนประพจน์ที่สมมูลกับ \(p\to q\)
ดูเฉลย
\[ \neg p\lor q \]
ข้อ 7
จงเขียนประพจน์แย้งสลับที่ของ \(p\to q\)
ดูเฉลย
\[ \neg q\to\neg p \]
และสมมูลกับประพจน์เดิม
ข้อ 8
จงลดรูป \(\neg(p\to q)\)
ดูเฉลย
\[ \neg(p\to q) \]
\[ \equiv \neg(\neg p\lor q) \]
\[ \equiv p\land\neg q \]
ข้อ 9
จงลดรูป \(p\lor(p\land q)\)
ดูเฉลย
ใช้กฎดูดกลืน
\[ p\lor(p\land q)\equiv p \]
ข้อ 10
จงตรวจสอบว่า \((p\land q)\to p\) เป็นสัจจนิรันดร์หรือไม่
ดูเฉลย
เป็นสัจจนิรันดร์
\[ (p\land q)\to p \]
\[ \equiv \neg(p\land q)\lor p \]
\[ \equiv (\neg p\lor\neg q)\lor p \]
\[ \equiv (\neg p\lor p)\lor\neg q \]
\[ \equiv T \]
15. Challenge
จงพิสูจน์ว่า
\[ (p\to q)\land(p\to r) \equiv p\to(q\land r) \]
ดูเฉลยฉบับเต็ม
เริ่มจากด้านซ้าย
\[ (p\to q)\land(p\to r) \]
\[ \equiv (\neg p\lor q)\land(\neg p\lor r) \]
\[ \equiv \neg p\lor(q\land r) \]
\[ \equiv p\to(q\land r) \]
ดังนั้นประพจน์ทั้งสองสมมูลกัน
จงพิสูจน์ว่า
\[ (p\to r)\land(q\to r) \equiv (p\lor q)\to r \]
ดูเฉลยฉบับเต็ม
\[ (p\to r)\land(q\to r) \]
\[ \equiv (\neg p\lor r)\land(\neg q\lor r) \]
\[ \equiv (\neg p\land\neg q)\lor r \]
\[ \equiv \neg(p\lor q)\lor r \]
\[ \equiv (p\lor q)\to r \]
16. Mini Quiz
เลือกคำตอบที่ถูกต้องแล้วกดตรวจคำตอบ
ข้อ 1
ข้อใดเป็นสัจจนิรันดร์
ข้อ 2
ข้อใดเป็นข้อขัดแย้ง
ข้อ 3
\(p\to q\) สมมูลกับข้อใด
ข้อ 4
\(\neg(p\land q)\) สมมูลกับข้อใด
ข้อ 5
ประพจน์แย้งสลับที่ของ \(p\to q\) คือข้อใด
ข้อ 6
\(\neg(p\to q)\) สมมูลกับข้อใด
ข้อ 7
\(p\leftrightarrow q\) สมมูลกับข้อใด
ข้อ 8
หากประพจน์มีตัวแปร \(p,q,r\) ตารางค่าความจริงต้องมีกี่แถว
ข้อ 9
ข้อใดสมมูลกับ \(p\lor(p\land q)\)
ข้อ 10
การให้เหตุผลจะสมเหตุสมผลเมื่อประพจน์ใด เป็นสัจจนิรันดร์
คะแนนที่ได้: 0 / 10
17. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
เห็นค่าความจริงเป็น T บางแถว แล้วรีบสรุปว่าเป็นสัจจนิรันดร์
สัจจนิรันดร์ต้องเป็น T ทุกแถวเท่านั้น
ใช้กฎของเดอมอร์แกน แต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเชื่อม
\[ \neg(p\land q) \not\equiv \neg p\land\neg q \]
จำว่า \(p\to q\equiv p\lor q\) ซึ่งไม่ถูกต้อง
\[ p\to q\equiv\neg p\lor q \]
สับสนระหว่างประพจน์กลับ กับประพจน์แย้งสลับที่
- \(q\to p\) คือประพจน์กลับ
- \(\neg q\to\neg p\) คือประพจน์แย้งสลับที่
ลดรูปหลายขั้นในบรรทัดเดียว จนตรวจสอบไม่ได้ว่าใช้กฎใด
ควรเปลี่ยนทีละขั้นและใช้เครื่องหมาย \(\equiv\)
18. Exam Coach: เทคนิคทำข้อสอบ
ตัวแปร 1–2 ตัว ใช้ตารางค่าความจริงได้รวดเร็ว แต่ถ้ามีหลายตัวควรลองลดรูปก่อน
เมื่อโจทย์ต้องการลดรูป ให้เปลี่ยน \(p\to q\) เป็น \(\neg p\lor q\)
เปลี่ยน AND เป็น OR และเปลี่ยน OR เป็น AND
หากพบ \(p\lor\neg p\) ให้แทนด้วย \(T\) และหากพบ \(p\land\neg p\) ให้แทนด้วย \(F\)
ถ้าต้องการแสดงว่าไม่เป็นสัจจนิรันดร์ เพียงหาค่าตัวแปรหนึ่งชุดที่ทำให้ประพจน์เป็นเท็จก็พอ
19. สรุป EP6 ภายใน 1 นาที
| หัวข้อ | สูตรจำ |
|---|---|
| สัจจนิรันดร์ | T ทุกแถว |
| ข้อขัดแย้ง | F ทุกแถว |
| ไม่แน่นอน | มีทั้ง T และ F |
| เงื่อนไข | \(p\to q\equiv\neg p\lor q\) |
| ปฏิเสธเงื่อนไข | \(\neg(p\to q)\equiv p\land\neg q\) |
| เดอมอร์แกน 1 | \(\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\) |
| เดอมอร์แกน 2 | \(\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q\) |
| แย้งสลับที่ | \(p\to q\equiv\neg q\to\neg p\) |
| ก็ต่อเมื่อ | \(p\leftrightarrow q\equiv(p\to q)\land(q\to p)\) |
\[ \boxed{p\lor\neg p\equiv T} \]
\[ \boxed{p\land\neg p\equiv F} \]
- สัจจนิรันดร์ต้องเป็นจริงทุกกรณี
- ประพจน์สมมูลต้องมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี
- ใช้ตารางค่าความจริงหรือลดรูปด้วยสูตรสมมูลก็ได้
- เมื่อกระจายปฏิเสธ ต้องปฏิเสธทุกส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมายเชื่อม
- ประพจน์เดิมสมมูลกับประพจน์แย้งสลับที่
- ประพจน์เดิมไม่จำเป็นต้องสมมูลกับประพจน์กลับ
- การให้เหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อเหตุทั้งหมดชี้ไปยังข้อสรุปเป็นสัจจนิรันดร์
จริงทุกแถว = สัจจนิรันดร์
เท็จทุกแถว = ข้อขัดแย้ง
เอาลูกศรออก = ไม่เหตุ หรือ ผล
ปฏิเสธเข้าวงเล็บ = กลับ AND–OR
สลับและปฏิเสธ = แย้งสลับที่
EP7 จะเป็น ตะลุยข้อสอบตรรกศาสตร์ รวมโจทย์ประพจน์ ตารางค่าความจริง การอนุมาน เงื่อนไขจำเป็น–เพียงพอ สัจจนิรันดร์ และสูตรสมมูล พร้อมเทคนิคตัดตัวเลือกแบบจับเวลา