EP2 ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์และตารางค่าความจริง
เรียนรู้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ทั้ง 5 ชนิด ได้แก่ ไม่, และ, หรือ, ถ้า...แล้ว และ ก็ต่อเมื่อ พร้อมวิธีอ่านสัญลักษณ์ ตารางค่าความจริง เทคนิคจำ และแนวข้อสอบ นนส. และ นตท.
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ชวนคิด
ถ้า \(p\) แทนข้อความ “วันนี้ฝนตก” และ \(q\) แทนข้อความ “ถนนเปียก” แล้วข้อความ “วันนี้ฝนตกและถนนเปียก” จะเป็นจริงในกรณีใดบ้าง
เมื่อนำประพจน์ตั้งแต่สองข้อความขึ้นไปมาเชื่อมกัน ค่าความจริงของข้อความใหม่จะขึ้นอยู่กับ “ชนิดของตัวเชื่อม” และค่าความจริงของประพจน์เดิม
เป้าหมายการเรียนรู้
- รู้จักสัญลักษณ์ของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ทั้ง 5 ชนิด
- อ่านและเขียนประพจน์ที่มีตัวเชื่อมได้
- หาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบได้
- สร้างตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมพื้นฐานได้
- ใช้ทริกทำข้อสอบเรื่อง “ถ้า...แล้ว” และ “ก็ต่อเมื่อ” ได้
ทบทวนจาก EP1
ประพจน์ คือ ข้อความที่สามารถตัดสินได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เรามักใช้ตัวอักษร \(p,q,r\) แทนประพจน์
\[ p:\text{ วันนี้ฝนตก} \qquad q:\text{ ถนนเปียก} \]
เมื่อนำ \(p\) และ \(q\) มาเชื่อมกัน จะเกิดเป็น ประพจน์เชิงประกอบ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ 5 ชนิด
| ชื่อ | สัญลักษณ์ | อ่านว่า | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| นิเสธ | \(\neg p\) | ไม่พี | วันนี้ฝนไม่ตก |
| และ | \(p\land q\) | พีและคิว | วันนี้ฝนตกและถนนเปียก |
| หรือ | \(p\lor q\) | พีหรือคิว | วันนี้ฝนตกหรือถนนเปียก |
| ถ้า...แล้ว | \(p\to q\) | ถ้าพีแล้วคิว | ถ้าวันนี้ฝนตกแล้วถนนเปียก |
| ก็ต่อเมื่อ | \(p\leftrightarrow q\) | พีก็ต่อเมื่อคิว | สอบผ่านก็ต่อเมื่อได้คะแนนถึงเกณฑ์ |
\(\land\) คล้ายยอดหลังคาที่ต้อง “ประกบกัน” จึงหมายถึง และ
\(\lor\) คล้ายตัว V จึงใช้แทน หรือ
\(\to\) ลูกศรชี้จากเหตุไปหาผล
ตัวเชื่อม “และ” \((p\land q)\)
ประพจน์ \(p\land q\) จะเป็นจริง เมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นจริงพร้อมกันเท่านั้น
\[ p\land q\text{ เป็นจริง} \iff p\text{ จริง และ }q\text{ จริง} \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
“และ” ต้องจริงครบทั้งคู่ จึงจะจริง
ตัวเชื่อม “หรือ” \((p\lor q)\)
ในตรรกศาสตร์ คำว่า “หรือ” หมายถึง อย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริง และรวมกรณีที่จริงทั้งคู่ด้วย
\[ p\lor q\text{ เป็นเท็จ} \iff p\text{ เท็จ และ }q\text{ เท็จ} \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(T\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
ในภาษาทั่วไป บางครั้ง “หรือ” หมายถึงเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ในตรรกศาสตร์ \(p\lor q\) รวมกรณีที่จริงทั้งสองข้อความ
ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว” \((p\to q)\)
\(p\) เรียกว่า เหตุ และ \(q\) เรียกว่า ผล
\[ p\to q \]
อ่านว่า “ถ้า \(p\) แล้ว \(q\)”
| \(p\) | \(q\) | \(p\to q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
“ถ้า...แล้ว” เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เหตุจริง แต่ผลเท็จ
ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” \((p\leftrightarrow q)\)
\(p\leftrightarrow q\) จะเป็นจริง เมื่อ \(p\) และ \(q\) มีค่าความจริงเหมือนกัน
\[ p\leftrightarrow q \equiv (p\to q)\land(q\to p) \]
| \(p\) | \(q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) |
“ก็ต่อเมื่อ” จริงเมื่อเหมือนกัน คือ จริง–จริง หรือ เท็จ–เท็จ
ตารางค่าความจริงรวม
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \(p\lor q\) | \(p\to q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) |
และ — จริงคู่เดียว
หรือ — เท็จคู่เดียว
ถ้า...แล้ว — เท็จเมื่อหน้าแท้หลังเท็จ
ก็ต่อเมื่อ — จริงเมื่อเหมือนกัน
ตัวอย่างที่ 1: การหาค่าความจริงของ “และ”
กำหนดให้ \(p\) เป็นจริง และ \(q\) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ \(p\land q\)
ตัวเชื่อม “และ” จะจริงเมื่อทั้งสองข้อความจริงพร้อมกัน แต่ \(q\) เป็นเท็จ
\[ T\land F=F \]
ตอบ: เท็จ
ตัวอย่างที่ 2: การหาค่าความจริงของ “ถ้า...แล้ว”
กำหนดให้ \(p\) เป็นเท็จ และ \(q\) เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ \(p\to q\)
“ถ้า...แล้ว” เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เหตุจริงแต่ผลเท็จ กรณีนี้เหตุเป็นเท็จ จึงมีค่าเป็นจริง
\[ F\to T=T \]
ตอบ: จริง
ตัวอย่างที่ 3: ประพจน์หลายชั้น
กำหนดให้ \(p\) เป็นจริง และ \(q\) เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ \(\neg p\lor q\)
ขั้นที่ 1: หา \(\neg p\)
\[ p=T\Rightarrow \neg p=F \]
ขั้นที่ 2: แทนค่าใน \(\neg p\lor q\)
\[ F\lor F=F \]
ตอบ: เท็จ
ตัวอย่างที่ 4: แนวข้อสอบ นนส./นตท.
กำหนดให้ \(p\) เป็นเท็จ และ \(q\) เป็นเท็จ ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- \(p\to q\)
- \(p\leftrightarrow q\)
- \(p\lor q\)
- \(\neg p\lor q\)
เมื่อ \(p=F\) และ \(q=F\)
\[ \begin{aligned} p\to q&=T\\ p\leftrightarrow q&=T\\ p\lor q&=F\\ \neg p\lor q&=T\lor F=T \end{aligned} \]
ตอบ: ข้อ \(\boxed{C}\)
ฝึกทำก่อนดูเฉลย
ข้อ 1 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\lor q\)
ดูเฉลย
ตัวเชื่อม “หรือ” เป็นจริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งข้อความจริง ดังนั้น \(T\lor F=T\)
ข้อ 2 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\to q\)
ดูเฉลย
เหตุจริงแต่ผลเท็จ จึงได้ \(T\to F=F\)
ข้อ 3 กำหนดให้ \(p=F,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(p\leftrightarrow q\)
ดูเฉลย
ทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังนั้น \(F\leftrightarrow F=T\)
ข้อ 4 กำหนดให้ \(p=T,\ q=F\) จงหาค่าความจริงของ \(\neg p\land q\)
ดูเฉลย
\(\neg p=F\) ดังนั้น \(F\land F=F\)
Challenge
กำหนดให้ \(p=T,\ q=F,\ r=T\) จงหาค่าความจริงของ
\[ (p\land q)\to(\neg q\land r) \]
ดูแนวคิดและเฉลย
ขั้นแรก \(p\land q=T\land F=F\)
จาก \(q=F\) ได้ \(\neg q=T\) และ \(\neg q\land r=T\land T=T\)
ดังนั้น \[ F\to T=T \]
ตอบ: จริง
จุดที่พลาดบ่อย
ผิด: คิดว่า \(p\lor q\) เป็นจริงเฉพาะเมื่อจริงเพียงหนึ่งข้อความ
ถูก: ในตรรกศาสตร์ “หรือ” รวมกรณีที่จริงทั้งคู่ด้วย
ผิด: คิดว่า \(F\to F\) เป็นเท็จ
ถูก: “ถ้า...แล้ว” เท็จเฉพาะ \(T\to F\) ดังนั้น \(F\to F=T\)
ผิด: คิดว่า “ก็ต่อเมื่อ” จริงเฉพาะ \(T,T\)
ถูก: \(p\leftrightarrow q\) จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน ทั้ง \(T,T\) และ \(F,F\)
ผิด: คำนวณประพจน์หลายชั้นพร้อมกัน
ถูก: ทำในวงเล็บและหาค่านิเสธก่อน แล้วจึงคำนวณตัวเชื่อมภายนอก
Mini Quiz
สรุป 1 นาที
- \(\neg p\) มีค่าความจริงตรงข้ามกับ \(p\)
- \(p\land q\) จริงเมื่อทั้งสองข้อความจริง
- \(p\lor q\) เท็จเมื่อทั้งสองข้อความเท็จ
- \(p\to q\) เท็จเฉพาะกรณี \(T\to F\)
- \(p\leftrightarrow q\) จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน
- ประพจน์หลายชั้นต้องทำวงเล็บและนิเสธก่อน
นักเรียนอ่านสัญลักษณ์ตัวเชื่อมได้ เติมตารางค่าความจริงพื้นฐานได้ และทำ Mini Quiz ได้อย่างน้อย \(4\) จาก \(5\) ข้อ