ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

Ep1 อสมการค่าสัมบูรณ์: จากพื้นฐานสู่โจทย์ข้อสอบจริง

ปูพื้นฐานอสมการค่าสัมบูรณ์จากความหมายของระยะห่าง การแก้อสมการแบบน้อยกว่า–มากกว่า การเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์สองข้างด้วยการยกกำลังสอง

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP พิเศษ • วิชาคำนวณ นนส.ทบ.

อสมการค่าสัมบูรณ์: จากพื้นฐานสู่โจทย์ข้อสอบจริง

ปูพื้นฐานความหมายของค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการ การเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์สองข้าง การใช้ผลต่างกำลังสอง และการอ่านเซตคำตอบเพื่อหาจำนวนเต็มตามเงื่อนไขของโจทย์

เป้าหมายการเรียนรู้

เข้าใจว่า |x| คือระยะห่าง แก้อสมการค่าสัมบูรณ์ได้ ใช้เทคนิคยกกำลังสองเมื่อมีค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้าง และเลือกจำนวนเต็มจากเซตคำตอบได้ถูกต้อง

❓

1. คิดย้อนกลับจากโจทย์จริง

ให้ a แทนจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b แทนจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของเซตคำตอบ

\[ |2-3x| \ge |x-4| \]

แล้วค่าของ

\[ 2a^2+b \]

มีค่าเท่าใด

  1. 3
  2. 4
  3. 9
  4. 10
  5. 11
ก่อนคำนวณ ให้มองโครงสร้างของโจทย์ก่อน

โจทย์นี้ไม่ได้ถามค่า x โดยตรง แต่ต้องทำ 3 ขั้น คือ แก้อสมการ → อ่านเซตคำตอบ → เลือกจำนวนเต็มตามเงื่อนไข แล้วจึงนำค่า a และ b ไปคำนวณ

|x|

2. ค่าสัมบูรณ์คืออะไร

ค่าสัมบูรณ์มองง่ายที่สุดว่าเป็น ระยะห่างจากศูนย์ บนเส้นจำนวน

\[ |5|=5 \]
\[ |-5|=5 \]

เพราะทั้ง 5 และ −5 อยู่ห่างจาก 0 เท่ากัน 5 หน่วย

สมบัติพื้นฐานที่ต้องจำ

ค่าสัมบูรณ์ไม่มีค่าติดลบ

\[ |A|\ge 0 \]
\[ |A|^2=A^2 \]
<

3. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบ “น้อยกว่า”

เมื่อ \(k>0\)

\[ |x|<k \]

หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์น้อยกว่า k จึงอยู่ ระหว่าง −k กับ k

\[ -k<x<k \]

เช่น

\[ |x|<3 \Rightarrow -3<x<3 \]
ภาพจำ

น้อยกว่า → อยู่ข้างใน

>

4. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบ “มากกว่า”

เมื่อ \(k>0\)

\[ |x|>k \]

หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์มากกว่า k จึงต้องออกไปทางด้านซ้ายหรือด้านขวา

\[ x<-k \quad \text{หรือ} \quad x>k \]

เช่น

\[ |x|>3 \Rightarrow x<-3 \quad \text{หรือ} \quad x>3 \]
ภาพจำ

มากกว่า → ออกข้างนอก

²

5. ถ้ามีค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้างทำอย่างไร

รูปสำคัญที่มักพบในข้อสอบคือ

\[ |A|\ge |B| \]

เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้างมีค่าไม่ติดลบ เราสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้

\[ A^2\ge B^2 \]

ดังนั้น

\[ |2-3x|\ge |x-4| \]

เปลี่ยนเป็น

\[ (2-3x)^2\ge (x-4)^2 \]
เงื่อนไขสำคัญ

เทคนิคนี้ใช้ได้สะดวกเพราะทั้งสองข้างอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์ จึงมีค่าไม่ติดลบอยู่แล้ว

A²−B²

6. ไม่ต้องกระจายกำลังสองทั้งหมด

จาก

\[ (2-3x)^2\ge(x-4)^2 \]

ย้ายมาฝั่งเดียว

\[ (2-3x)^2-(x-4)^2\ge0 \]

ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B) \]

จึงได้

\[ [(2-3x)-(x-4)] [(2-3x)+(x-4)] \ge0 \]

จัดรูปทีละวงเล็บ

\[ (6-4x)(-2x-2)\ge0 \]

จัดให้อยู่ในรูปที่ดูจุดวิกฤตง่ายขึ้น

\[ (x-\frac{3}{2})(x+1)\ge0 \]

จุดวิกฤตคือ

\[ x=-1,\qquad x=\frac{3}{2} \]
±

7. ตารางเครื่องหมายและเซตคำตอบ

พิจารณา

\[ (x-\frac{3}{2})(x+1)\ge0 \]

ผลคูณต้องเป็นบวกหรือศูนย์ จึงเลือกช่วงด้านนอก

\[ x\le-1 \quad\text{หรือ}\quad x\ge\frac{3}{2} \]
หลักคิดผลคูณ

บวก × บวก = บวก
ลบ × ลบ = บวก
ดังนั้นเมื่อผลคูณต้อง ≥ 0 มักเลือกช่วงที่เครื่องหมายเหมือนกัน

ℤ

8. อ่านคำว่า “จำนวนเต็ม” ให้ถูก

เราได้เซตคำตอบ

\[ x\le-1 \quad\text{หรือ}\quad x\ge\frac{3}{2} \]

โจทย์กำหนดให้ a เป็น จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด

จำนวนเต็มลบคือ

\[ \ldots,-4,-3,-2,-1 \]

ดังนั้น

\[ a=-1 \]

ส่วน b เป็น จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ของเซตคำตอบ

แม้ว่าช่วงคำตอบจะเริ่มที่ \(\frac{3}{2}=1.5\) แต่ 1.5 ไม่ใช่จำนวนเต็ม

\[ b=2 \]
จุดพลาดที่พบบ่อย

อย่ารีบตอบ \(b=\frac{3}{2}\) เพราะโจทย์ระบุชัดว่า b ต้องเป็น จำนวนเต็มบวก

✓

9. กลับไปปิดโจทย์จริง

\[ a=-1,\qquad b=2 \]

โจทย์ถาม

\[ 2a^2+b \]

แทนค่า

\[ 2(-1)^2+2 \]
\[ =2(1)+2 \]
\[ =4 \]
ตอบ ข้อ 2

ค่าของ \(2a^2+b\) เท่ากับ 4

📐

10. กฎพื้นฐานที่ควรจำ

\[ |A|<k \Rightarrow -k<A<k \]
\[ |A|\le k \Rightarrow -k\le A\le k \]
\[ |A|>k \Rightarrow A<-k \text{ หรือ } A>k \]
\[ |A|\ge k \Rightarrow A\le-k \text{ หรือ } A\ge k \]
\[ |A|\ge|B| \Rightarrow A^2\ge B^2 \]
\[ |A|\le|B| \Rightarrow A^2\le B^2 \]
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B) \]
⚡

11. เทคนิคทำข้อสอบ

  1. ดูว่ามีค่าสัมบูรณ์อยู่ข้างเดียวหรือสองข้าง
  2. ถ้ามีค่าสัมบูรณ์สองข้าง เช่น \(|A|\ge|B|\) ให้นึกถึงการยกกำลังสอง
  3. ย้ายทุกอย่างมาไว้ฝั่งเดียว
  4. ถ้าเห็น \(A^2-B^2\) ให้ใช้ผลต่างกำลังสองทันที
  5. หาจุดที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์
  6. แบ่งช่วงแล้วตรวจเครื่องหมาย
  7. อ่านว่าโจทย์ถามจำนวนจริง จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ หรือจำนวนเต็มบวก
  8. อย่าเอาขอบเขตของช่วงไปตอบทันที ถ้าขอบเขตนั้นไม่ตรงชนิดของจำนวนที่โจทย์กำหนด
เส้นทางจำสั้น ๆ

ค่าสัมบูรณ์สองข้าง → ยกกำลังสอง → ผลต่างกำลังสอง → แยกตัวประกอบ → ตารางเครื่องหมาย → เซตคำตอบ → เลือกจำนวนเต็ม

✏️

12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

  1. จงหาเซตคำตอบของ

    \[ |x-2|\le5 \]
    ดูเฉลย

    ใช้กฎ \(|A|\le k \Rightarrow -k\le A\le k\)

    \[ -5\le x-2\le5 \]

    บวก 2 ตลอดทั้งสามส่วน

    \[ -3\le x\le7 \]

    ตอบ \( -3\le x\le7 \)

  2. จงหาเซตคำตอบของ

    \[ |2x+1|>3 \]
    ดูเฉลย

    มากกว่า → ออกข้างนอก

    \[ 2x+1<-3 \quad\text{หรือ}\quad 2x+1>3 \]
    \[ x<-2 \quad\text{หรือ}\quad x>1 \]

    ตอบ \(x<-2\) หรือ \(x>1\)

  3. จงหาเซตคำตอบของ

    \[ |3x-2|\ge|x+4| \]
    ดูเฉลย

    ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

    \[ (3x-2)^2-(x+4)^2\ge0 \]

    ใช้ผลต่างกำลังสอง

    \[ [(3x-2)-(x+4)] [(3x-2)+(x+4)] \ge0 \]
    \[ (2x-6)(4x+2)\ge0 \]

    จุดวิกฤตคือ \(x=3\) และ \(x=-\frac12\)

    \[ x\le-\frac12 \quad\text{หรือ}\quad x\ge3 \]

  4. ถ้า a เป็นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุดของเซตคำตอบ

    \[ |2x+3|\ge|x-1| \]

    จงหา a

    ดูเฉลย
    \[ (2x+3)^2-(x-1)^2\ge0 \]
    \[ [(2x+3)-(x-1)] [(2x+3)+(x-1)] \ge0 \]
    \[ (x+4)(3x+2)\ge0 \]

    ได้

    \[ x\le-4 \quad\text{หรือ}\quad x\ge-\frac23 \]

    จำนวนเต็มลบที่อยู่ในเซตคำตอบและมีค่ามากที่สุดคือ −4

    ตอบ \(a=-4\)

  5. ถ้า a เป็นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของเซตคำตอบ

    \[ |3x+1|\ge|x-5| \]

    จงหา \(a^2+b\)

    ดูเฉลย
    \[ (3x+1)^2-(x-5)^2\ge0 \]
    \[ (2x+6)(4x-4)\ge0 \]
    \[ (x+3)(x-1)\ge0 \]

    ได้

    \[ x\le-3 \quad\text{หรือ}\quad x\ge1 \]

    ดังนั้น \(a=-3\) และ \(b=1\)

    \[ a^2+b=(-3)^2+1=10 \]

    ตอบ 10

🎓

13. แบบทดสอบท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 ให้ a แทนจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b แทนจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของเซตคำตอบ \( |2-3x|\ge|x-4| \) แล้วค่าของ \(2a^2+b\) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ยกกำลังสองแล้วใช้ผลต่างกำลังสอง

\[ (2-3x)^2-(x-4)^2\ge0 \]
\[ (x-\frac32)(x+1)\ge0 \]

จึงได้ \(x\le-1\) หรือ \(x\ge\frac32\)

ดังนั้นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุดคือ \(a=-1\) และจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ \(b=2\)

\[ 2(-1)^2+2=4 \]

ตอบ B

ข้อ 2 เซตคำตอบของ \( |3x-1|\le|x+5| \) ตรงกับข้อใด
ดูคำอธิบาย
\[ (3x-1)^2-(x+5)^2\le0 \]
\[ (2x-6)(4x+4)\le0 \]
\[ (x-3)(x+1)\le0 \]

ผลคูณ ≤ 0 เลือกช่วงระหว่างราก

\[ -1\le x\le3 \]

ตอบ A

ข้อ 3 ถ้า a เป็นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของเซตคำตอบ \( |4x+1|\ge|2x-5| \) ค่าของ \(a+b\) เท่ากับข้อใด
ดูคำอธิบาย
\[ (4x+1)^2-(2x-5)^2\ge0 \]
\[ (2x+6)(6x-4)\ge0 \]
\[ (x+3)(3x-2)\ge0 \]

ได้ \(x\le-3\) หรือ \(x\ge\frac23\)

ดังนั้น \(a=-3\) และ \(b=1\)

\[ a+b=-3+1=-2 \]

ตอบ C

ข้อ 4 กำหนด \( |2x-3|>|x+6| \) ถ้า a เป็นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดในเซตคำตอบ แล้ว \(ab\) มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย
\[ (2x-3)^2-(x+6)^2>0 \]
\[ (x-9)(3x+3)>0 \]

ได้ \(x<-1\) หรือ \(x>9\)

จำนวนเต็มลบที่มากที่สุดคือ \(a=-2\) และจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ \(b=10\)

\[ ab=(-2)(10)=-20 \]

ตอบ D

ข้อ 5 ให้ a เป็นจำนวนเต็มลบที่มากที่สุด และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของเซตคำตอบ \( |3x-5|\ge|2x+7| \) ค่าของ \(a^2+2b\) เท่ากับข้อใด
ดูคำอธิบาย
\[ (3x-5)^2-(2x+7)^2\ge0 \]
\[ (x-12)(5x+2)\ge0 \]

ได้ \(x\le-\frac25\) หรือ \(x\ge12\)

จำนวนเต็มลบที่มากที่สุดคือ \(a=-1\) และจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ \(b=12\)

\[ a^2+2b=(-1)^2+2(12)=25 \]

ตอบ B

📌

14. สรุปท้ายบท

\[ |A|<k \Rightarrow -k<A<k \]
\[ |A|>k \Rightarrow A<-k \text{ หรือ } A>k \]
\[ |A|\ge|B| \Rightarrow A^2\ge B^2 \]
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B) \]
  • ค่าสัมบูรณ์มองเป็นระยะห่างจากศูนย์
  • น้อยกว่าให้นึกถึงช่วงด้านใน
  • มากกว่าให้นึกถึงช่วงด้านนอก
  • ค่าสัมบูรณ์สองข้างสามารถเปรียบเทียบผ่านกำลังสองได้
  • ใช้สูตรผลต่างกำลังสองเพื่อลดการกระจายพจน์
  • หลังหาเซตคำตอบต้องอ่านชนิดของจำนวนที่โจทย์กำหนดอีกครั้ง
  • จำนวนเต็มลบที่มากที่สุดคือค่าที่อยู่ใกล้ศูนย์ที่สุดทางด้านลบและยังอยู่ในเซตคำตอบ
  • จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดต้องเป็นจำนวนเต็มจริง ๆ ไม่ใช่เพียงขอบเขตด้านบวกของช่วง
แก่นสำคัญ

อย่าจำเพียงวิธีถอดค่าสัมบูรณ์ ให้มองโจทย์เป็นลำดับ แปลง → แยกตัวประกอบ → หาช่วง → อ่านเงื่อนไข → ตอบสิ่งที่โจทย์ถาม

กลับด้านบน