EP7 สมการเส้นตรงรูป y=mx+b และ Ax+By+C=0
เรียนรู้สมการเส้นตรงรูป y=mx+b และ Ax+By+C=0 การอ่านความชัน จุดตัดแกน การแปลงสมการ และการตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่ เพื่อปูพื้นฐานสู่เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
สมการเส้นตรงรูป y=mx+b และ Ax+By+C=0
เรียนรู้ส่วนประกอบของสมการเส้นตรง การอ่านความชันและจุดตัดแกน การแปลงสมการระหว่างรูปความชัน–จุดตัดแกนกับรูปทั่วไป และการตรวจว่าจุดหนึ่งอยู่บนเส้นตรงหรือไม่
อ่านค่า m และ b จากสมการได้ แปลงสมการทั้งสองรูปได้ หาจุดตัดแกน และนำสมการเส้นตรงไปต่อยอดสู่เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก วงกลม และภาคตัดกรวย
1. ปัญหานำ
กำหนดสมการเส้นตรง
สมการนี้บอกข้อมูลสำคัญสองอย่างทันที
- ความชันเท่ากับ 2
- เส้นตรงตัดแกน Y ที่จุด (0,3)
เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย ค่า y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วย และเมื่อแทน x=0 จะได้ y=3
2. สมการเส้นตรงรูป y=mx+b
- m คือความชันของเส้นตรง
- b คือค่าที่เส้นตรงตัดแกน Y
- จุดตัดแกน Y คือ (0,b)
ตัวอย่าง
- m=3
- b=-4
- จุดตัดแกน Y คือ (0,-4)
ในสมการ y=3x-4 ค่า b เท่ากับ -4 ไม่ใช่ 4
3. อ่านความชันจากสมการ
เมื่อสมการอยู่ในรูป y=mx+b สัมประสิทธิ์ที่คูณอยู่กับ x คือความชัน
x หมายถึง 1x และ -x หมายถึง -1x
4. อ่านจุดตัดแกน Y
จุดบนแกน Y ทุกจุดมีค่า x=0 เมื่อนำ x=0 ไปแทนในสมการ y=mx+b จะได้ y=b
ตัวอย่าง สมการ y=-3x+5
b เป็นค่าพิกัด y ส่วนจุดตัดแกน Y ต้องเขียนเป็น (0,b)
5. การหาจุดตัดแกน X
จุดบนแกน X ทุกจุดมีค่า y=0 ดังนั้นให้แทน y=0 แล้วแก้สมการหา x
ตัวอย่าง สมการ y=2x-6
หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0 และหาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
6. เขียนกราฟจาก y=mx+b
ตัวอย่าง เขียนกราฟสมการ y=2x+1
- หาจุดตัดแกน Y จาก b=1 จึงได้จุด (0,1)
- ความชัน m=2 หรือ 2/1
- จากจุด (0,1) เดินไปขวา 1 หน่วย และขึ้น 2 หน่วย
- ได้จุดใหม่ (1,3)
- ลากเส้นตรงผ่านจุดทั้งสอง
ถ้าความชันเป็นลบ เช่น -2/1 ให้เดินไปขวา 1 หน่วย แล้วลง 2 หน่วย
7. สมการเส้นตรงรูปทั่วไป
A, B และ C เป็นค่าคงตัว โดย A และ B ต้องไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ตัวอย่างสมการรูปทั่วไป
รูปทั่วไปเหมาะสำหรับแสดงเส้นตรงได้ทุกลักษณะ รวมถึงเส้นตั้ง ซึ่งเขียนในรูป y=mx+b ไม่ได้
8. แปลง Ax+By+C=0 เป็น y=mx+b
จัดสมการให้เหลือ y อยู่เพียงตัวเดียวทางด้านซ้าย
ตัวอย่าง
จึงได้
- ความชัน m=-2
- จุดตัดแกน Y คือ (0,5)
อีกตัวอย่าง
ดังนั้น m=-3/2 และ b=4
9. อ่านความชันจากรูปทั่วไปโดยตรง
จากสมการ
เมื่อ B≠0 สามารถจัดรูปได้เป็น
เปรียบเทียบกับ y=mx+b จะได้
ความชันของ Ax+By+C=0 คือ -A/B ไม่ใช่ A/B
10. แปลง y=mx+b เป็น Ax+By+C=0
ย้ายทุกพจน์มาไว้ด้านเดียวกันให้สมการเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง
อีกตัวอย่าง
ถ้ามีเศษส่วน ควรกำจัดส่วนก่อน
11. จุดตัดแกนจากสมการรูปทั่วไป
พิจารณาสมการ 2x+3y-6=0
หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0
หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
เมื่อได้จุดตัดแกนสองจุด สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดทั้งสองเพื่อสร้างกราฟได้
12. ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่
ให้นำพิกัดของจุดไปแทนค่า x และ y ในสมการ ถ้าสมการเป็นจริง จุดนั้นอยู่บนเส้นตรง
ตรวจว่าจุด (2,5) อยู่บนเส้น y=2x+1 หรือไม่
ดังนั้น จุด (2,5) อยู่บนเส้นตรง
ตรวจจุด (1,5)
ดังนั้น จุด (1,5) ไม่อยู่บนเส้นตรง
13. สมการเส้นตรงแนวนอน
เส้นตรงแนวนอนมีความชันเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง
หมายถึงจุดทุกจุดบนเส้นมีพิกัด y เท่ากับ 4 เช่น (0,4), (2,4) และ (-3,4)
เขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า
14. สมการเส้นตรงแนวตั้ง
เส้นตรงแนวตั้งมีความชันไม่กำหนด และไม่สามารถเขียนในรูป y=mx+b ได้
ตัวอย่าง
หมายถึงจุดทุกจุดบนเส้นมีพิกัด x เท่ากับ -3 เช่น (-3,0), (-3,2) และ (-3,-5)
เขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า
รูป y=mx+b ใช้กับเส้นตรงทุกเส้น ยกเว้นเส้นตรงแนวตั้ง
15. สังเกตเส้นขนานจากสมการ
เส้นตรงสองเส้นขนานกันเมื่อมีความชันเท่ากัน
ทั้งสองเส้นมี m=2 จึงขนานกัน แต่ตัดแกน Y คนละตำแหน่ง
สำหรับสมการรูปทั่วไป ให้แปลงเป็น y=mx+b หรือใช้สูตร m=-A/B
ดังนั้นเส้นทั้งสองขนานกัน
16. สังเกตเส้นตั้งฉากจากสมการ
เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน เมื่อผลคูณของความชันเท่ากับ -1
ตัวอย่าง
ดังนั้นเส้นทั้งสองตั้งฉากกัน
17. เทคนิคทำข้อสอบ
- ถ้าโจทย์ถามความชัน ให้จัดสมการเป็น y=mx+b ก่อน
- ในรูป y=mx+b ค่า m คือสัมประสิทธิ์ของ x
- ค่า b คือพิกัด y ของจุดตัดแกน Y
- หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0
- หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
- แปลงเป็นรูปทั่วไปโดยย้ายทุกพจน์มาอยู่ด้านเดียว
- ถ้ามีเศษส่วน ให้คูณกำจัดส่วนก่อน
- ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นหรือไม่ด้วยการแทนค่า
- เส้นนอนอยู่ในรูป y=k และมี m=0
- เส้นตั้งอยู่ในรูป x=k และมีความชันไม่กำหนด
เมื่อย้ายพจน์ข้ามข้างต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย และเมื่อหารทั้งสมการต้องหารทุกพจน์
18. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
-
จากสมการ y=-3x+7 จงหาความชันและจุดตัดแกน Y
ดูเฉลย
เปรียบเทียบกับ y=mx+b
m=-3 และ b=7
ตอบ ความชัน -3 และจุดตัดแกน Y คือ (0,7)
-
จงหาจุดตัดแกน X และแกน Y ของสมการ y=2x-8
ดูเฉลย
จุดตัดแกน X: แทน y=0
0=2x-8 จึงได้ x=4
จุดตัดแกน X คือ (4,0)
จุดตัดแกน Y: แทน x=0 ได้ y=-8
ตอบ (4,0) และ (0,-8)
-
จงแปลง 3x+2y-10=0 ให้อยู่ในรูป y=mx+b
ดูเฉลย
2y=-3x+10
y=(-3/2)x+5
ตอบ y=(-3/2)x+5
-
จงแปลง y=(2/3)x-4 ให้อยู่ในรูปทั่วไปที่ไม่มีเศษส่วน
ดูเฉลย
คูณทั้งสมการด้วย 3
3y=2x-12
ย้ายทุกพจน์มาอยู่ด้านเดียว
ตอบ 2x-3y-12=0
-
จุด (3,5) อยู่บนเส้นตรง 2x-y-1=0 หรือไม่
ดูเฉลย
แทน x=3 และ y=5
2(3)-5-1=6-5-1=0
ตอบ อยู่บนเส้นตรง เพราะแทนค่าแล้วสมการเป็นจริง
19. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20
20. สรุปท้ายบท
- สมการรูปความชัน–จุดตัดแกนคือ y=mx+b
- m คือความชัน และจุดตัดแกน Y คือ (0,b)
- สมการรูปทั่วไปคือ Ax+By+C=0
- ความชันจากรูปทั่วไปคือ m=-A/B เมื่อ B≠0
- หาจุดตัดแกน X โดยแทน y=0
- หาจุดตัดแกน Y โดยแทน x=0
- ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นด้วยการแทนพิกัดลงในสมการ
- เส้นนอนอยู่ในรูป y=k และมีความชัน 0
- เส้นตั้งอยู่ในรูป x=k และมีความชันไม่กำหนด
- เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
- เส้นตั้งฉากมีผลคูณของความชันเท่ากับ -1
เมื่ออ่านและแปลงสมการเส้นตรงได้แล้ว บทต่อไปจะฝึกสร้างสมการเส้นตรงจากความชัน จุดหนึ่งจุด หรือจุดสองจุด