ep9 ระยะทางระหว่างสองจุด จุดกึ่งกลาง
เรียนรู้สมการเส้นตรงรูป y=mx+b และ Ax+By+C=0 การอ่านความชัน จุดตัดแกน การแปลงสมการ และการตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่ เพื่อปูพื้นฐานสู่เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ระยะทางระหว่างสองจุดและจุดกึ่งกลาง
เรียนรู้การหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด โดยเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส พร้อมหาพิกัดของจุดกึ่งกลางและแก้โจทย์ประยุกต์ทางเรขาคณิตวิเคราะห์
ใช้สูตรระยะทางและสูตรจุดกึ่งกลางได้ถูกต้อง แยกพิกัด x กับ y อย่างเป็นระบบ และนำไปต่อยอดสู่เส้นตรง วงกลม และภาคตัดกรวย
1. ปัญหานำ
กำหนดจุด A=(1,2) และ B=(4,6) จงหาระยะทางจาก A ไป B
ผลต่างในแนวนอนเท่ากับ
ผลต่างในแนวตั้งเท่ากับ
เมื่อลากเส้นประกอบ จะเกิดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 หน่วย
สูตรระยะทางจึงมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
2. สูตรระยะทางระหว่างสองจุด
กำหนดจุด A=(x₁,y₁) และ B=(x₂,y₂)
- x₂-x₁ คือการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน
- y₂-y₁ คือการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง
- d คือระยะทางตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง
สูตรไม่ใช่ √[(x₂-x₁)+(y₂-y₁)] แต่ต้องยกกำลังสองก่อนนำมาบวกกัน
3. ที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จุดสองจุดบนระนาบสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากได้ โดยมี
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
เมื่อยกกำลังสอง จำนวนบวกและจำนวนลบจะให้ค่าบวกเหมือนกัน
4. ตัวอย่างหาระยะทาง
จงหาระยะทางระหว่าง A=(-2,3) และ B=(4,-5)
ตอบ ระยะทาง AB เท่ากับ 10 หน่วย
4-(-2)=6 และ (-5-3)=-8 เมื่อยกกำลังสองจะได้ 64
5. จุดที่อยู่ในแนวนอนเดียวกัน
ถ้าจุดสองจุดมีค่า y เท่ากัน ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรเต็ม
ตัวอย่าง A=(-3,4) และ B=(5,4)
ตอบ 8 หน่วย
ค่า y เท่ากัน หมายถึงเส้นเชื่อมจุดทั้งสองขนานกับแกน X
6. จุดที่อยู่ในแนวตั้งเดียวกัน
ถ้าจุดสองจุดมีค่า x เท่ากัน ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรเต็ม
ตัวอย่าง P=(2,-4) และ Q=(2,7)
ตอบ 11 หน่วย
ค่า x เท่ากัน หมายถึงเส้นเชื่อมจุดทั้งสองขนานกับแกน Y
7. ระยะทางจากจุดกำเนิด
จุดกำเนิดคือ O=(0,0) ถ้าต้องการหาระยะจาก O ไปยัง P=(x,y)
ตัวอย่าง P=(6,8)
สูตรนี้จะนำไปใช้โดยตรงในการสร้างสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
8. จุดกึ่งกลางคืออะไร
จุดกึ่งกลางคือจุดที่อยู่ตรงกลางระหว่างปลายทั้งสองของส่วนของเส้นตรง และแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นสองส่วนที่ยาวเท่ากัน
กำหนด A=(x₁,y₁) และ B=(x₂,y₂)
หลักสำคัญคือ
- นำค่า x ทั้งสองมาบวกกันแล้วหาร 2
- นำค่า y ทั้งสองมาบวกกันแล้วหาร 2
ต้องเฉลี่ย x กับ x และเฉลี่ย y กับ y ห้ามนำ x ไปเฉลี่ยกับ y
9. ตัวอย่างหาจุดกึ่งกลาง
จงหาจุดกึ่งกลางของ A=(2,3) และ B=(8,11)
ตรวจสอบได้ว่า M อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากัน
10. จุดกึ่งกลางเมื่อมีพิกัดติดลบ
จงหาจุดกึ่งกลางของ A=(-4,6) และ B=(2,-8)
การเขียน 6+(-8) ช่วยลดความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
11. หาปลายอีกจุดจากจุดกึ่งกลาง
กำหนดให้ A=(2,5) จุดกึ่งกลาง M=(6,8) และปลายอีกจุดคือ B=(x,y)
จากสูตรจุดกึ่งกลาง
พิกัดปลายอีกจุด = 2×พิกัดจุดกึ่งกลาง − พิกัดปลายที่ทราบ
12. ตรวจว่าจุดเป็นจุดกึ่งกลางหรือไม่
กำหนด A=(-2,1), B=(6,9) และ P=(2,5)
หาจุดกึ่งกลางของ A และ B
เนื่องจาก M=P จุด P จึงเป็นจุดกึ่งกลางของ AB
อีกวิธีหนึ่งคือตรวจว่า
และจุด A, P, B ต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
13. การประยุกต์กับวงกลม
ถ้าปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมคือ A และ B
- จุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของ A และ B
- รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของระยะทาง AB
ตัวอย่าง ปลายเส้นผ่านศูนย์กลางคือ A=(-1,2) และ B=(5,10)
ตอบ จุดศูนย์กลาง (2,6) และรัศมี 5 หน่วย
14. การประยุกต์กับรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม
สูตรระยะทางและจุดกึ่งกลางใช้ตรวจสมบัติของรูปเรขาคณิตได้ เช่น
- ตรวจว่าด้านสองด้านยาวเท่ากันหรือไม่
- ตรวจว่าสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วหรือไม่
- ตรวจว่าสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากหรือไม่
- ตรวจว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมแบ่งครึ่งกันหรือไม่
- หาจุดศูนย์กลางของวงกลมจากเส้นผ่านศูนย์กลาง
ถ้าต้องการเปรียบเทียบว่าระยะทางเท่ากันหรือไม่ สามารถเปรียบเทียบค่า d² ได้โดยไม่ต้องถอดราก
15. เทคนิคทำข้อสอบ
- เขียนชื่อจุดและจับคู่พิกัดให้ชัดเจน
- ใช้สูตร d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
- ลบค่า x และค่า y ไปในทิศทางเดียวกัน
- ใส่วงเล็บเมื่อแทนพิกัดที่เป็นจำนวนลบ
- คำนวณผลต่างก่อนยกกำลังสอง
- ลดรูปจำนวนใต้เครื่องหมายรากก่อนตอบ
- ถ้า x หรือ y เท่ากัน ใช้สูตรระยะทางอย่างง่ายได้
- สูตรจุดกึ่งกลางใช้การบวกแล้วหาร 2 ไม่ใช่การลบ
- เฉลี่ย x กับ x และ y กับ y
- โจทย์เส้นผ่านศูนย์กลาง ให้หาจุดกึ่งกลางเป็นศูนย์กลางวงกลม
สูตรระยะทางใช้ผลต่าง แต่สูตรจุดกึ่งกลางใช้ผลบวก นักเรียนมักจำสลับกัน
16. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
-
จงหาระยะทางระหว่าง A=(2,1) และ B=(8,9)
ดูเฉลย
d=√[(8-2)²+(9-1)²]
d=√(6²+8²)=√100
ตอบ 10 หน่วย
-
จงหาระยะทางระหว่าง P=(-3,5) และ Q=(4,5)
ดูเฉลย
ค่า y เท่ากัน จึงอยู่ในแนวนอนเดียวกัน
PQ=|4-(-3)|
ตอบ 7 หน่วย
-
จงหาจุดกึ่งกลางของ A=(-6,4) และ B=(2,10)
ดูเฉลย
M=((-6+2)/2,(4+10)/2)
M=(-4/2,14/2)
ตอบ (-2,7)
-
กำหนดให้ A=(3,-2) และจุดกึ่งกลาง M=(5,4) จงหาพิกัดของ B
ดูเฉลย
(3+x)/2=5 จึงได้ x=7
(-2+y)/2=4 จึงได้ y=10
ตอบ B=(7,10)
-
ปลายเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ A=(-2,-1) และ B=(4,7) จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมี
ดูเฉลย
จุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลาง
M=((-2+4)/2,(-1+7)/2)=(1,3)
AB=√(6²+8²)=10
รัศมี=10/2=5
ตอบ ศูนย์กลาง (1,3) และรัศมี 5 หน่วย
17. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20
18. สรุปท้ายบท
- สูตรระยะทางคือ d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
- สูตรระยะทางมีที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- ถ้าค่า y เท่ากัน ใช้ระยะ |x₂-x₁|
- ถ้าค่า x เท่ากัน ใช้ระยะ |y₂-y₁|
- ระยะจากจุดกำเนิดถึง (x,y) คือ √(x²+y²)
- สูตรจุดกึ่งกลางคือ ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
- สูตรระยะทางใช้ผลต่าง แต่สูตรจุดกึ่งกลางใช้ผลบวก
- จุดกึ่งกลางแบ่งส่วนของเส้นตรงเป็นสองส่วนเท่ากัน
- จุดศูนย์กลางวงกลมคือจุดกึ่งกลางของปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง
- รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
เมื่อหาระยะทางและจุดกึ่งกลางได้แล้ว สามารถนำความรู้ไปสร้างสมการวงกลม วิเคราะห์รัศมี จุดศูนย์กลาง และศึกษาภาคตัดกรวยต่อไป