ep8 จุดตัดแกน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก

📐

EP8 • Foundation Mathematics

จุดตัดแกน เส้นขนาน และเส้นตั้งฉาก

ฝึกหาจุดตัดแกน X และแกน Y จากสมการเส้นตรง อ่านความชันเพื่อพิจารณาเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก พร้อมสร้างสมการเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

เป้าหมาย

หาจุดตัดแกนได้ถูกต้อง เปรียบเทียบความชันของเส้นตรง และสร้างสมการของเส้นที่ขนานหรือตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เพื่อเตรียมต่อยอดสู่เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

❓

1. ปัญหานำ

กำหนดสมการเส้นตรง

2x+y-6=0

ต้องการทราบว่าเส้นตรงตัดแกน X และแกน Y ที่จุดใด

หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0

2x-6=0 ⇒ x=3

จุดตัดแกน X=(3,0)

หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0

y-6=0 ⇒ y=6

จุดตัดแกน Y=(0,6)

เมื่อรู้จุดตัดแกนทั้งสองจุด ก็สามารถลากกราฟเส้นตรงได้ทันที

X

2. จุดตัดแกน X

จุดทุกจุดบนแกน X มีพิกัด y=0

หาจุดตัดแกน X ⇒ แทน y=0

ตัวอย่าง สมการ y=3x-12

0=3x-12

3x=12 ⇒ x=4

จุดตัดแกน X=(4,0)

เขียนเป็นพิกัดให้ครบ

คำตอบ x=4 เป็นเพียงค่าของ x แต่จุดตัดแกน X ต้องเขียนเป็น (4,0)

Y

3. จุดตัดแกน Y

จุดทุกจุดบนแกน Y มีพิกัด x=0

หาจุดตัดแกน Y ⇒ แทน x=0

ตัวอย่าง สมการ y=-2x+5

y=-2(0)+5=5

จุดตัดแกน Y=(0,5)

ถ้าสมการอยู่ในรูป y=mx+b สามารถอ่านจุดตัดแกน Y ได้ทันที

จุดตัดแกน Y=(0,b)

A,B,C

4. จุดตัดแกนจาก Ax+By+C=0

สำหรับสมการทั่วไป

Ax+By+C=0

ถ้า A และ B ไม่เป็นศูนย์ จะได้

จุดตัดแกน X=(-C/A,0)

จุดตัดแกน Y=(0,-C/B)

ตัวอย่าง 3x+2y-12=0

จุดตัดแกน X=(4,0)

จุดตัดแกน Y=(0,6)

ไม่จำเป็นต้องท่องสูตรก็ได้

ใช้หลักแทน y=0 เพื่อหาจุดตัดแกน X และแทน x=0 เพื่อหาจุดตัดแกน Y จะปลอดภัยกว่า

กราฟ

5. เขียนกราฟด้วยจุดตัดแกน

ต้องการเขียนกราฟ 2x+3y-6=0

แทน y=0 ได้ x=3 จึงมีจุด (3,0)
แทน x=0 ได้ y=2 จึงมีจุด (0,2)
กำหนดจุดทั้งสองบนระนาบพิกัด
ลากเส้นตรงผ่านจุดทั้งสอง

เส้นตรงหนึ่งเส้นกำหนดได้ด้วยจุดต่างกันอย่างน้อย 2 จุด

กรณีผ่านจุดกำเนิด

ถ้า C=0 เส้นตรงจะผ่าน (0,0) และจุดตัดแกน X กับแกน Y จะเป็นจุดเดียวกัน ต้องหาจุดอื่นเพิ่มอีกหนึ่งจุด

∥

6. เส้นขนาน

เส้นตรงสองเส้นขนานกันเมื่อมีความชันเท่ากัน แต่ไม่ใช่เส้นเดียวกัน

เส้นขนาน: m₁=m₂

ตัวอย่าง

y=2x+3

y=2x-5

ทั้งสองเส้นมีความชัน 2 เท่ากัน แต่มีจุดตัดแกน Y ต่างกัน จึงขนานกัน

เส้นเดียวกันไม่เรียกว่าเส้นขนานคนละเส้น

ถ้าความชันและจุดตัดแกน Y เท่ากัน สมการทั้งสองอาจแทนเส้นเดียวกัน

ทั่วไป

7. ตรวจเส้นขนานจากรูปทั่วไป

จากสมการ Ax+By+C=0 เมื่อ B≠0

m=-A/B

ตัวอย่าง

2x+y-3=0 ⇒ m=-2

4x+2y+5=0 ⇒ m=-4/2=-2

ความชันเท่ากัน จึงเป็นเส้นขนาน

อีกวิธีหนึ่ง สำหรับเส้นตรง

A₁x+B₁y+C₁=0

A₂x+B₂y+C₂=0

ถ้า A₁/B₁=A₂/B₂ แต่ค่าคงตัวไม่เป็นสัดส่วนเดียวกัน เส้นทั้งสองขนานกัน

สร้าง ∥

8. สร้างสมการเส้นตรงที่ขนานกัน

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,5) และขนานกับ y=3x-4

เส้นที่ขนานกันมีความชันเท่ากัน จึงได้ m=3

y=3x+b

แทนจุด (2,5)

5=3(2)+b

5=6+b ⇒ b=-1

สมการคือ y=3x-1

เขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า

3x-y-1=0

⊥

9. เส้นตั้งฉาก

เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันเมื่อความชันเป็นจำนวนผกผันที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

m₁m₂=-1

ตัวอย่าง ถ้าเส้นแรกมีความชัน 2

m₂=-1/2

2×(-1/2)=-1

ถ้าเส้นแรกมีความชัน -3/4 เส้นที่ตั้งฉากจะมีความชัน 4/3

วิธีหาอย่างรวดเร็ว

กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย

คู่ ⊥

10. ตัวอย่างคู่ความชันตั้งฉาก

ความชันเส้นแรก	ความชันเส้นตั้งฉาก
2	-1/2
3/4	-4/3
-5	1/5
-2/3	3/2
1	-1

อย่าเปลี่ยนแค่เครื่องหมาย

ความชัน 2 ไม่ได้ตั้งฉากกับ -2 แต่ตั้งฉากกับ -1/2

สร้าง ⊥

11. สร้างสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (4,1) และตั้งฉากกับ y=2x+3

เส้นเดิมมีความชัน 2 ดังนั้นเส้นตั้งฉากมีความชัน -1/2

y=(-1/2)x+b

แทนจุด (4,1)

1=(-1/2)(4)+b

1=-2+b ⇒ b=3

สมการคือ y=(-1/2)x+3

กำจัดเศษส่วนและเขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า

x+2y-6=0

พิเศษ

12. เส้นนอนและเส้นตั้ง

เส้นนอนและเส้นตั้งเป็นคู่เส้นตั้งฉากกัน

เส้นนอน: y=k มีความชัน 0

เส้นตั้ง: x=k มีความชันไม่กำหนด

ตัวอย่าง เส้นที่ผ่าน (3,5) และขนานกับแกน X คือ

y=5

เส้นที่ผ่าน (3,5) และขนานกับแกน Y คือ

x=3

เส้น y=5 และ x=3 ตั้งฉากกันที่จุด (3,5)

A,B

13. ตรวจเส้นตั้งฉากจากรูปทั่วไป

ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีความชัน m₁ และ m₂ ให้ตรวจว่า

m₁m₂=-1

ตัวอย่าง

2x-y+3=0 ⇒ y=2x+3 ⇒ m₁=2

x+2y-5=0 ⇒ y=(-1/2)x+5/2 ⇒ m₂=-1/2

m₁m₂=2×(-1/2)=-1

ดังนั้นเส้นทั้งสองตั้งฉากกัน

ทางลัดจากสัมประสิทธิ์

สำหรับ A₁x+B₁y+C₁=0 และ A₂x+B₂y+C₂=0 ถ้า A₁A₂+B₁B₂=0 เส้นทั้งสองตั้งฉากกัน

⚡

14. เทคนิคทำข้อสอบ

หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0
หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
เขียนคำตอบเป็นพิกัด เช่น (3,0) หรือ (0,5)
ตรวจเส้นขนานด้วยเงื่อนไข m₁=m₂
ตรวจเส้นตั้งฉากด้วยเงื่อนไข m₁m₂=-1
ถ้าสมการเป็นรูปทั่วไป ให้ใช้ m=-A/B
สร้างเส้นขนานโดยใช้ความชันเดิม
สร้างเส้นตั้งฉากโดยกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
แทนพิกัดของจุดเพื่อหาค่า b
เส้นนอนกับเส้นตั้งเป็นคู่ตั้งฉากกรณีพิเศษ

จุดผิดพลาดที่พบบ่อย

นักเรียนมักสลับเงื่อนไขของจุดตัดแกน โดยหาจุดตัดแกน X ต้องให้ y=0 ไม่ใช่ x=0

✏️

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

จงหาจุดตัดแกน X และแกน Y ของสมการ 2x+3y-12=0

ดูเฉลย

แทน y=0 ได้ 2x-12=0 จึงได้ x=6

จุดตัดแกน X คือ (6,0)

แทน x=0 ได้ 3y-12=0 จึงได้ y=4

ตอบ จุดตัดแกน X=(6,0) และจุดตัดแกน Y=(0,4)
เส้นตรง y=-3x+2 และ y=-3x-7 ขนานกันหรือไม่

ดูเฉลย

ทั้งสองเส้นมีความชัน -3 เท่ากัน และมีจุดตัดแกน Y ต่างกัน

ตอบ ขนานกัน
เส้นตรง y=4x+1 และ y=(-1/4)x+5 ตั้งฉากกันหรือไม่

ดูเฉลย

m₁=4 และ m₂=-1/4

m₁m₂=4×(-1/4)=-1

ตอบ ตั้งฉากกัน
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,7) และขนานกับ y=3x-4

ดูเฉลย

เส้นขนานมี m=3

ให้ y=3x+b

แทน (2,7) ได้ 7=6+b จึงได้ b=1

ตอบ y=3x+1
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,2) และตั้งฉากกับ y=(-1/2)x+4

ดูเฉลย

เส้นเดิมมีความชัน -1/2 เส้นตั้งฉากจึงมีความชัน 2

ให้ y=2x+b

แทน (3,2) ได้ 2=6+b จึงได้ b=-4

ตอบ y=2x-4

🎓

16. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ

ตอบแล้ว 0/20 ข้อ คะแนน 0/20

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 การหาจุดตัดแกน X ต้องแทนค่าใด A. x=0 B. y=0 C. x=1 D. y=1

ดูคำอธิบาย

จุดบนแกน X มีค่า y=0

ตอบ B

ข้อ 2 การหาจุดตัดแกน Y ต้องแทนค่าใด A. x=0 B. y=0 C. x=-1 D. y=-1

ดูคำอธิบาย

จุดบนแกน Y มีค่า x=0

ตอบ A

ข้อ 3 จุดตัดแกน X ของ y=2x-8 คือข้อใด A. (0,4) B. (0,-8) C. (4,0) D. (8,0)

ดูคำอธิบาย

แทน y=0 ได้ 0=2x-8 จึงได้ x=4

ตอบ C

ข้อ 4 จุดตัดแกน Y ของ y=-3x+6 คือข้อใด A. (2,0) B. (-3,0) C. (0,-3) D. (0,6)

ดูคำอธิบาย

b=6 จึงตัดแกน Y ที่ (0,6)

ตอบ D

ข้อ 5 เส้นตรงสองเส้นขนานกันเมื่อใด A. m₁m₂=-1 B. m₁=m₂ C. m₁+m₂=0 D. m₁-m₂=1

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

ตอบ B

ข้อ 6 เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันเมื่อใด A. m₁m₂=-1 B. m₁=m₂ C. m₁+m₂=1 D. m₁-m₂=0

ดูคำอธิบาย

ความชันของเส้นตั้งฉากมีผลคูณเท่ากับ -1

ตอบ A

ข้อ 7 เส้นใดขนานกับ y=4x+1 A. y=-4x+2 B. y=(1/4)x-3 C. y=4x-5 D. y=(-1/4)x+6

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานต้องมีความชัน 4 เท่ากัน

ตอบ C

ข้อ 8 เส้นใดตั้งฉากกับ y=3x-2 A. y=3x+5 B. y=-3x+1 C. y=(1/3)x-4 D. y=(-1/3)x+5

ดูคำอธิบาย

จำนวนผกผันที่เปลี่ยนเครื่องหมายของ 3 คือ -1/3

ตอบ D

ข้อ 9 เส้น y=5 และ x=2 มีความสัมพันธ์อย่างไร A. ขนานกัน B. ตั้งฉากกัน C. เป็นเส้นเดียวกัน D. ไม่ตัดกัน

ดูคำอธิบาย

เส้น y=5 เป็นเส้นนอน ส่วน x=2 เป็นเส้นตั้ง จึงตั้งฉากกัน

ตอบ B

ข้อ 10 ถ้าเส้นแรกมีความชัน -2 เส้นที่ตั้งฉากมีความชันเท่าใด A. 1/2 B. -1/2 C. 2 D. -2

ดูคำอธิบาย

(-2)(1/2)=-1

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20

ข้อ 11 จุดตัดแกนของ 3x+2y-12=0 ตรงกับข้อใด A. (3,0) และ (0,2) B. (6,0) และ (0,4) C. (4,0) และ (0,6) D. (12,0) และ (0,12)

ดูคำอธิบาย

แทน y=0 ได้ x=4 และแทน x=0 ได้ y=6

ตอบ C

ข้อ 12 เส้น 2x+y-3=0 และ 4x+2y+7=0 มีความสัมพันธ์อย่างไร A. ตั้งฉากกัน B. ตัดกันแต่ไม่ตั้งฉาก C. เป็นเส้นเดียวกัน D. ขนานกัน

ดูคำอธิบาย

ทั้งสองเส้นมีความชัน -2 เท่ากัน แต่ไม่ใช่เส้นเดียวกัน

ตอบ D

ข้อ 13 เส้น 2x-y+1=0 และ x+2y-6=0 มีความสัมพันธ์อย่างไร A. ขนานกัน B. ตั้งฉากกัน C. เป็นเส้นเดียวกัน D. ไม่สามารถสรุปได้

ดูคำอธิบาย

เส้นแรกมี m=2 เส้นที่สองมี m=-1/2 ผลคูณเท่ากับ -1

ตอบ B

ข้อ 14 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (2,5) และขนานกับ y=2x-3 คือข้อใด A. y=2x+1 B. y=-2x+9 C. y=(1/2)x+4 D. y=(-1/2)x+6

ดูคำอธิบาย

ใช้ m=2 และแทนจุด ได้ 5=4+b จึงได้ b=1

ตอบ A

ข้อ 15 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (4,1) และตั้งฉากกับ y=2x+5 คือข้อใด A. y=2x-7 B. y=-2x+9 C. y=(-1/2)x+3 D. y=(1/2)x-1

ดูคำอธิบาย

ความชันใหม่คือ -1/2 และแทนจุดได้ 1=-2+b จึงได้ b=3

ตอบ C

ข้อ 16 เส้นผ่านจุด (3,-2) และขนานกับแกน X มีสมการใด A. x=-2 B. x=3 C. y=3 D. y=-2

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานแกน X เป็นเส้นนอนและมีค่า y คงที่เท่ากับ -2

ตอบ D

ข้อ 17 เส้นผ่านจุด (-4,6) และขนานกับแกน Y มีสมการใด A. y=-4 B. x=-4 C. y=6 D. x=6

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานแกน Y เป็นเส้นตั้งและมีค่า x คงที่เท่ากับ -4

ตอบ B

ข้อ 18 ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีความชัน 3/5 และ -5/3 สรุปได้อย่างไร A. ตั้งฉากกัน B. ขนานกัน C. เป็นเส้นเดียวกัน D. ไม่ตัดกัน

ดูคำอธิบาย

(3/5)(-5/3)=-1 จึงตั้งฉากกัน

ตอบ A

ข้อ 19 เส้นตรง y=kx+4 ขนานกับ 3x-y+2=0 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. -3 B. -1/3 C. 3 D. 1/3

ดูคำอธิบาย

3x-y+2=0 จัดได้ y=3x+2 จึงมีความชัน 3

ตอบ C

ข้อ 20 เส้นตรง y=kx-1 ตั้งฉากกับ 2x+3y-6=0 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. -2/3 B. 2/3 C. -3/2 D. 3/2

ดูคำอธิบาย

2x+3y-6=0 มีความชัน -2/3 เส้นตั้งฉากจึงมีความชัน 3/2

ตอบ D

✅

17. สรุปท้ายบท

หาจุดตัดแกน X โดยแทน y=0
หาจุดตัดแกน Y โดยแทน x=0
จุดตัดแกน X อยู่ในรูป (a,0)
จุดตัดแกน Y อยู่ในรูป (0,b)
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
เส้นตั้งฉากมีผลคูณของความชันเท่ากับ -1
สร้างเส้นขนานโดยใช้ความชันเดิม
สร้างเส้นตั้งฉากโดยกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
เส้นนอนขนานแกน X และอยู่ในรูป y=k
เส้นตั้งขนานแกน Y และอยู่ในรูป x=k

เตรียมเรียนตอนต่อไป

บทต่อไปจะนำพิกัดและสมการเส้นตรงไปใช้หาสมการจากจุดหนึ่งจุด จุดสองจุด และเงื่อนไขทางเรขาคณิต

ep8 จุดตัดแกน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก

เส้นทางสู่เป้าหมาย

จุดตัดแกน เส้นขนาน และเส้นตั้งฉาก

1. ปัญหานำ

2. จุดตัดแกน X

3. จุดตัดแกน Y

4. จุดตัดแกนจาก Ax+By+C=0

5. เขียนกราฟด้วยจุดตัดแกน

6. เส้นขนาน

7. ตรวจเส้นขนานจากรูปทั่วไป

8. สร้างสมการเส้นตรงที่ขนานกัน

9. เส้นตั้งฉาก

10. ตัวอย่างคู่ความชันตั้งฉาก

11. สร้างสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน

12. เส้นนอนและเส้นตั้ง

13. ตรวจเส้นตั้งฉากจากรูปทั่วไป

14. เทคนิคทำข้อสอบ

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

16. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20

17. สรุปท้ายบท