ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

ep10 โจทย์ประยุกต์สมการเส้นตรง

เรียนรู้สมการเส้นตรงรูป y=mx+b และ Ax+By+C=0 การอ่านความชัน จุดตัดแกน การแปลงสมการ และการตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่ เพื่อปูพื้นฐานสู่เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP10 • Foundation Mathematics

โจทย์ประยุกต์สมการเส้นตรง

ฝึกนำระบบพิกัด ความชัน สมการเส้นตรง จุดตัดแกน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ระยะทาง และจุดกึ่งกลาง มาใช้แก้โจทย์หลายขั้นตอนและสถานการณ์จริง

เป้าหมาย

วิเคราะห์ข้อมูลจากโจทย์ เลือกรูปสมการที่เหมาะสม สร้างสมการเส้นตรง และตรวจสอบคำตอบได้อย่างเป็นระบบ ก่อนต่อยอดเข้าสู่เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

🧭

1. แผนแก้โจทย์สมการเส้นตรง

  1. อ่านว่าโจทย์กำหนดอะไร เช่น จุด ความชัน จุดตัดแกน หรือสมการเดิม
  2. หาความชันก่อน เมื่อโจทย์เกี่ยวข้องกับจุดสองจุด เส้นขนาน หรือเส้นตั้งฉาก
  3. เลือกรูปสมการที่เหมาะสม
  4. แทนพิกัดของจุดเพื่อหาค่าคงตัว
  5. จัดรูปสมการตามที่โจทย์ต้องการ
  6. แทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบ
y=mx+b
y-y₁=m(x-x₁)
Ax+By+C=0
เลือกสูตรอย่างไร

รู้ความชันและจุดหนึ่งจุด ใช้ y-y₁=m(x-x₁) จะรวดเร็วที่สุด แต่ถ้าต้องการอ่านจุดตัดแกน ให้จัดเป็น y=mx+b

1

2. ตัวอย่าง: สร้างสมการจากจุดสองจุด

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน A=(1,3) และ B=(5,11)

m=(11-3)/(5-1)=8/4=2

ใช้จุด A=(1,3)

y-3=2(x-1)
y-3=2x-2
y=2x+1

ตอบ y=2x+1

2

3. ตัวอย่าง: เส้นขนานผ่านจุดที่กำหนด

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน (2,7) และขนานกับ 3x-y+4=0

จัดสมการเดิมให้อยู่ในรูป y=mx+b

3x-y+4=0
y=3x+4

เส้นขนานมีความชันเท่ากัน จึงได้ m=3

y-7=3(x-2)
y=3x+1

ตอบ y=3x+1

3

4. ตัวอย่าง: เส้นตั้งฉากผ่านจุดที่กำหนด

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน (4,1) และตั้งฉากกับ y=2x-5

เส้นเดิมมีความชัน 2 เส้นตั้งฉากจึงมีความชัน -1/2

y-1=(-1/2)(x-4)
y=(-1/2)x+3

เขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า

x+2y-6=0

ตอบ y=(-1/2)x+3 หรือ x+2y-6=0

4

5. ตัวอย่าง: สมการเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง

กำหนด A=(2,2) และ B=(6,4) จงหาสมการเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง AB

ขั้นที่ 1 หาจุดกึ่งกลาง

M=((2+6)/2,(2+4)/2)=(4,3)

ขั้นที่ 2 หาความชันของ AB

m_AB=(4-2)/(6-2)=1/2

ความชันของเส้นตั้งฉากคือ -2

y-3=-2(x-4)
y=-2x+11

ตอบ y=-2x+11

5

6. ตัวอย่าง: สถานการณ์ค่าใช้จ่าย

รถรับจ้างคิดค่าบริการเริ่มต้น 35 บาท และคิดเพิ่มกิโลเมตรละ 8 บาท ถ้าเดินทาง x กิโลเมตร ค่าโดยสาร y บาท เขียนสมการได้อย่างไร

  • อัตราเพิ่มต่อกิโลเมตรคือความชัน m=8
  • ค่าเริ่มต้นคือ b=35
y=8x+35

ถ้าเดินทาง 10 กิโลเมตร

y=8(10)+35=115

ตอบ สมการ y=8x+35 และค่าโดยสาร 115 บาท

⚡

7. เทคนิคโจทย์ประยุกต์

  1. คำว่า “เพิ่มขึ้นต่อหนึ่งหน่วย” มักหมายถึงความชัน
  2. คำว่า “ค่าเริ่มต้น” มักหมายถึง b
  3. ผ่านจุดสองจุด ให้หาความชันก่อน
  4. ขนาน ใช้ความชันเดิม
  5. ตั้งฉาก ใช้จำนวนผกผันที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
  6. เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง ต้องหาทั้งจุดกึ่งกลางและความชันตั้งฉาก
  7. หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0
  8. หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
  9. เส้นผ่านจุดกำเนิดมี b=0
  10. ตรวจคำตอบด้วยการแทนพิกัดกลับในสมการ
ระวัง

โจทย์สถานการณ์อาจกำหนดขอบเขต เช่น เวลา ระยะทาง หรือจำนวนสินค้าไม่ติดลบ แม้สมการเส้นตรงจะคำนวณค่าอื่นได้ก็ตาม

🎓

8. โจทย์ประยุกต์สมการเส้นตรง 20 ข้อ

ตอบแล้ว 0/20 ข้อ คะแนน 0/20

ระดับพื้นฐานและปานกลาง ข้อ 1–10

ข้อ 1 สมการเส้นตรงที่มีความชัน 3 และตัดแกน Y ที่ (0,-2) คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

แทน m=3 และ b=-2 ใน y=mx+b

ตอบ B

ข้อ 2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (0,5) และ (2,9) คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

m=(9-5)/(2-0)=2 และผ่าน (0,5) จึงได้ b=5

ตอบ C

ข้อ 3 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (1,4) และมีความชัน -2 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

4=-2(1)+b จึงได้ b=6

ตอบ A

ข้อ 4 เส้นตรงผ่านจุด (-2,3) และ (4,-3) มีความชันเท่าใด
ดูคำอธิบาย

m=(-3-3)/(4-(-2))=-6/6=-1

ตอบ D

ข้อ 5 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (-2,3) และ (4,-3) คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

ใช้ m=-1 และแทน (-2,3): 3=2+b จึงได้ b=1

ตอบ B

ข้อ 6 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (3,5) และขนานกับ y=4x-2 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

ใช้ m=4 และ 5=4(3)+b จึงได้ b=-7

ตอบ C

ข้อ 7 สมการเส้นตรงที่ผ่าน (2,4) และตั้งฉากกับ y=(1/3)x+5 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

ความชันตั้งฉากกับ 1/3 คือ -3 และ 4=-3(2)+b จึงได้ b=10

ตอบ A

ข้อ 8 เส้นตรงผ่านจุด (5,-2) และขนานกับแกน X มีสมการใด
ดูคำอธิบาย

เส้นขนานแกน X เป็นเส้นนอนและมีค่า y คงที่

ตอบ D

ข้อ 9 เส้นตรงผ่านจุด (-4,7) และขนานกับแกน Y มีสมการใด
ดูคำอธิบาย

เส้นขนานแกน Y เป็นเส้นตั้งและมีค่า x คงที่

ตอบ B

ข้อ 10 เส้นตรงตัดแกน X ที่ (6,0) และตัดแกน Y ที่ (0,3) มีสมการใด
ดูคำอธิบาย

ความชัน=(3-0)/(0-6)=-1/2 จึงได้ y=(-1/2)x+3 หรือ x+2y-6=0

ตอบ C

ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20

ข้อ 11 จุด A=(2,1) และ B=(8,5) มีจุดกึ่งกลาง M เส้นตรงที่ผ่าน M และขนานกับ y=2x-3 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

M=((2+8)/2,(1+5)/2)=(5,3) ใช้ m=2 ได้ 3=10+b จึงได้ b=-7

ตอบ A

ข้อ 12 สมการเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่มีปลาย (0,0) และ (4,2) คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

จุดกึ่งกลางคือ (2,1) ความชัน AB=1/2 ความชันตั้งฉาก=-2 จึงได้ y-1=-2(x-2) หรือ y=-2x+5

ตอบ D

ข้อ 13 อุณหภูมิเริ่มต้น 18°C และเพิ่มขึ้นชั่วโมงละ 3°C ถ้า x คือจำนวนชั่วโมง และ y คืออุณหภูมิ สมการคือข้อใด
ดูคำอธิบาย

อัตราเพิ่มคือ m=3 และค่าเริ่มต้นคือ b=18

ตอบ B

ข้อ 14 จากสมการอุณหภูมิ y=3x+18 เมื่อผ่านไป 7 ชั่วโมง อุณหภูมิเท่าใด
ดูคำอธิบาย

y=3(7)+18=39

ตอบ C

ข้อ 15 ถังน้ำมีน้ำเริ่มต้น 120 ลิตร และน้ำไหลออกนาทีละ 8 ลิตร สมการปริมาณน้ำ y หลังผ่านไป x นาทีคือข้อใด
ดูคำอธิบาย

ปริมาณลดลงจึงมีความชัน -8 และเริ่มต้น 120 ลิตร

ตอบ A

ข้อ 16 จากสมการ y=120-8x ถังน้ำจะหมดเมื่อผ่านไปกี่นาที
ดูคำอธิบาย

เมื่อน้ำหมด y=0 ดังนั้น 0=120-8x จึงได้ x=15

ตอบ D

ข้อ 17 ร้านถ่ายเอกสารคิดค่าบริการเริ่มต้น 10 บาท และแผ่นละ 2 บาท ถ้ามีเงิน 50 บาท จะถ่ายได้กี่แผ่น
ดูคำอธิบาย

50=2x+10 จึงได้ 2x=40 และ x=20

ตอบ B

ข้อ 18 ค่าแท็กซี่กำหนดโดย y=7x+35 ถ้าจ่าย 105 บาท เดินทางกี่กิโลเมตร
ดูคำอธิบาย

105=7x+35 จึงได้ 7x=70 และ x=10

ตอบ C

ข้อ 19 เส้นตรงผ่านจุด (1,2) และ (k,10) มีความชัน 2 แล้ว k เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

2=(10-2)/(k-1)=8/(k-1) จึงได้ 2k-2=8 และ k=5

ตอบ A

ข้อ 20 เส้นตรง y=kx+4 ตั้งฉากกับ 3x-2y+6=0 แล้ว k เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

3x-2y+6=0 จัดได้ y=(3/2)x+3 ความชันตั้งฉากคือ -2/3

ตอบ D

✅

9. สรุปท้ายบท

  • ผ่านจุดสองจุด ต้องหาความชันก่อนสร้างสมการ
  • รู้ความชันและจุดหนึ่งจุด ใช้ y-y₁=m(x-x₁)
  • เส้นขนานใช้ความชันเดิม
  • เส้นตั้งฉากใช้จำนวนผกผันที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
  • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งต้องผ่านจุดกึ่งกลาง
  • ค่าเริ่มต้นในโจทย์สถานการณ์คือ b
  • อัตราการเพิ่มหรือลดต่อหนึ่งหน่วยคือ m
  • หาค่าที่ไม่ทราบด้วยการแทนข้อมูลลงในสมการ
  • หาจุดที่ปริมาณหมดหรือเป็นศูนย์โดยแทน y=0
  • ตรวจคำตอบโดยแทนพิกัดหรือค่ากลับในสมการเดิม
พร้อมต่อยอด

เมื่อแก้โจทย์สมการเส้นตรงได้คล่องแล้ว นักเรียนจะพร้อมนำแนวคิดเรื่องพิกัด ระยะทาง ความชัน และสมการ ไปใช้วิเคราะห์วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

กลับด้านบน