EP02 : เส้นจำนวน จำนวนตรงข้าม และค่าสัมบูรณ์

🎯

EP02 • Foundation Mathematics

เส้นจำนวน จำนวนตรงข้าม และค่าสัมบูรณ์

ฝึกมองจำนวนเป็นตำแหน่งบนเส้นจำนวน เปรียบเทียบจำนวนบวก–ลบ เข้าใจจำนวนตรงข้าม และใช้ค่าสัมบูรณ์เพื่อหาระยะห่างได้อย่างถูกต้อง

เป้าหมาย

เรียงลำดับจำนวนบนเส้นจำนวนได้ หาจำนวนตรงข้าม ค่าสัมบูรณ์ และระยะห่างระหว่างสองจำนวนได้ พร้อมใช้เทคนิคเหล่านี้แก้โจทย์ได้รวดเร็วขึ้น

❓

ปัญหานำชวนคิด

พิจารณาจำนวน −5 และ 3

−5 < 3

เหตุใด −5 จึงน้อยกว่า 3 ทั้งที่เลข 5 ดูเหมือนมีขนาดมากกว่าเลข 3

ลองคิดก่อน

จำนวนที่อยู่ทางขวาบนเส้นจำนวนมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่า?
จำนวนตรงข้ามของ −5 คือจำนวนใด?
|−5| หมายถึงค่า −5 หรือหมายถึงระยะทาง?
ระยะห่างระหว่าง −5 กับ 3 ควรมีค่าเป็นลบได้หรือไม่?

🧭

1. เส้นจำนวนคืออะไร

เส้นจำนวนคือเส้นตรงที่ใช้แทนตำแหน่งของจำนวนจริง โดยมี 0 เป็นจุดอ้างอิง

... −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ...

ไปทางขวา → ค่ามากขึ้น

ไปทางซ้าย → ค่าน้อยลง

จำง่าย

บนเส้นจำนวน “ขวามากกว่า ซ้ายน้อยกว่า”

↔️

2. การเปรียบเทียบจำนวนบวกและจำนวนลบ

หากต้องการเปรียบเทียบจำนวน ให้นึกถึงตำแหน่งบนเส้นจำนวน

−7 < −3 < 0 < 2 < 5

สำหรับจำนวนลบ จำนวนที่อยู่ใกล้ 0 มากกว่าจะมีค่ามากกว่า

−2 > −8

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

นักเรียนมักคิดว่า 8 มากกว่า 2 แล้วสรุปว่า −8 มากกว่า −2 ซึ่งผิด เพราะ −8 อยู่ทางซ้ายของ −2

🔄

3. จำนวนตรงข้าม

จำนวนตรงข้ามคือจำนวนสองจำนวนที่อยู่คนละด้านของ 0 และอยู่ห่างจาก 0 เท่ากัน

จำนวนตรงข้ามของ a คือ −a

จำนวนตรงข้ามของ 6 คือ −6

จำนวนตรงข้ามของ −9 คือ 9

a + (−a) = 0

จุดสังเกต

จำนวนตรงข้ามรวมกันแล้วได้ 0 เสมอ

|x|

4. ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนคือระยะห่างจากจำนวนนั้นถึง 0 บนเส้นจำนวน

|5| = 5

|−5| = 5

|0| = 0

เพราะระยะทางไม่เป็นลบ ค่าสัมบูรณ์จึงมีค่าเป็นศูนย์หรือจำนวนบวกเสมอ

ระวัง

|−8| ไม่ใช่ −8 แต่เท่ากับ 8 เพราะกำลังถามถึงระยะจาก 0

📏

5. ระยะห่างระหว่างสองจำนวน

ระยะห่างระหว่างจำนวน a และ b หาได้จากค่าสัมบูรณ์ของผลต่าง

ระยะห่างระหว่าง a และ b = |a − b|

ตัวอย่าง

ระยะห่างระหว่าง −3 กับ 5 = |5 − (−3)| = |8| = 8

เทคนิคเร็ว

ถ้าอยู่คนละฝั่งของ 0 ให้นำระยะจาก 0 ของทั้งสองจำนวนมาบวกกัน

⚡

6. เทคนิคคิดเร็วบนเส้นจำนวน

จำนวนมากกว่า → อยู่ทางขวา

จำนวนตรงข้าม → เปลี่ยนเครื่องหมาย

ค่าสัมบูรณ์ → มองเป็นระยะจาก 0

ระยะระหว่าง a และ b → |a − b|

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

คิดว่าจำนวนลบที่มีตัวเลขมากกว่าจะมีค่ามากกว่า
ตอบค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนลบ
ลืมวงเล็บเมื่อลบจำนวนลบ
ใช้ a − b ตรง ๆ โดยไม่ใส่ค่าสัมบูรณ์เมื่อหาระยะ

🧪

7. ตัวอย่างประกอบ

ตัวอย่างที่ 1: เปรียบเทียบ −4 และ −1

−4 อยู่ทางซ้ายของ −1 บนเส้นจำนวน

−4 < −1

ตัวอย่างที่ 2: หาจำนวนตรงข้ามของ −12

จำนวนตรงข้ามของ −12 คือ 12

ตัวอย่างที่ 3: หาค่า |−15|

|−15| = 15

ตัวอย่างที่ 4: หาระยะห่างระหว่าง −6 และ 4

|4 − (−6)| = |10| = 10

ตัวอย่างที่ 5: ถ้า |x| = 7 แล้ว x เป็นเท่าใด

x = −7 หรือ x = 7

✏️

8. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

เรียง −3, 2, 0 และ −7 จากน้อยไปมาก

ดูเฉลย

−7 < −3 < 0 < 2
จำนวนตรงข้ามของ 14 คืออะไร

ดูเฉลย

ตอบ −14
จงหาค่า |−21|

ดูเฉลย

|−21| = 21
ระยะห่างระหว่าง −4 และ 8 เท่ากับเท่าใด

ดูเฉลย

|8 − (−4)| = 12

ตอบ 12 หน่วย
ถ้า |x| = 5 แล้ว x เป็นค่าใดได้บ้าง

ดูเฉลย

x = −5 หรือ x = 5

🎓

9. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 บนเส้นจำนวน จำนวนใดอยู่ทางขวาของ 2 A. −3 B. 0 C. 1 D. 5

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่อยู่ทางขวามีค่ามากกว่า 2 ดังนั้น 5 ถูกต้อง

ตอบ D

ข้อ 2 ข้อใดมีค่าน้อยที่สุด A. −7 B. −2 C. 0 D. 3

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่อยู่ซ้ายสุดบนเส้นจำนวนมีค่าน้อยที่สุด คือ −7

ตอบ A

ข้อ 3 จำนวนตรงข้ามของ 6 คือข้อใด A. −6 B. 0 C. 1/6 D. 6

ดูคำอธิบาย

จำนวนตรงข้ามมีระยะจาก 0 เท่ากันแต่คนละด้าน จึงเป็น −6

ตอบ A

ข้อ 4 จำนวนตรงข้ามของ −9 คือข้อใด A. −9 B. 0 C. 9 D. 1/9

ดูคำอธิบาย

จำนวนตรงข้ามของ −9 คือ 9

ตอบ C

ข้อ 5 |−8| มีค่าเท่าใด A. −8 B. 0 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

ค่าสัมบูรณ์คือระยะจาก 0 จึงมีค่า 8

ตอบ C

ข้อ 6 |5| มีค่าเท่าใด A. −5 B. 0 C. 5 D. 10

ดูคำอธิบาย

5 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 5 หน่วย

ตอบ C

ข้อ 7 ระยะห่างระหว่าง 0 กับ 7 เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 7 C. −7 D. 14

ดูคำอธิบาย

ระยะห่างจาก 0 ถึง 7 เท่ากับ 7 หน่วย

ตอบ B

ข้อ 8 ข้อใดถูกต้อง A. −4 > −1 B. −2 < −5 C. 0 > −3 D. −6 > 2

ดูคำอธิบาย

0 อยู่ทางขวาของ −3 จึงมีค่ามากกว่า

ตอบ C

ข้อ 9 จำนวนใดอยู่ระหว่าง −2 และ 2 A. −4 B. −3 C. 0 D. 5

ดูคำอธิบาย

0 อยู่ระหว่าง −2 และ 2

ตอบ C

ข้อ 10 ค่า |0| เท่ากับข้อใด A. −1 B. 0 C. 1 D. กำหนดไม่ได้

ดูคำอธิบาย

0 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 0 หน่วย

ตอบ B

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ระยะห่างระหว่าง −3 กับ 5 เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 5 C. 8 D. −8

ดูคำอธิบาย

|5−(−3)| = |8| = 8

ตอบ C

ข้อ 12 ข้อใดเรียงจากน้อยไปมากได้ถูกต้อง A. −5, −2, 0, 3 B. −2, −5, 0, 3 C. 0, −2, −5, 3 D. 3, 0, −2, −5

ดูคำอธิบาย

เรียงตามตำแหน่งจากซ้ายไปขวาบนเส้นจำนวน

ตอบ A

ข้อ 13 ถ้า x = −7 แล้ว |x| เท่ากับเท่าใด A. −7 B. 0 C. 7 D. 14

ดูคำอธิบาย

|−7| = 7

ตอบ C

ข้อ 14 ข้อใดมีค่าเท่ากับ |−4| A. −4 B. 4 C. −8 D. 8

ดูคำอธิบาย

|−4| = 4

ตอบ B

ข้อ 15 จำนวนใดอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 6 หน่วย A. 6 เท่านั้น B. −6 เท่านั้น C. −6 และ 6 D. 0 และ 6

ดูคำอธิบาย

จุดที่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 6 มีสองจุดคือ −6 และ 6

ตอบ C

ข้อ 16 ถ้า |x| = 9 แล้ว x เป็นค่าใดได้บ้าง A. 9 เท่านั้น B. −9 เท่านั้น C. −9 หรือ 9 D. 0 หรือ 9

ดูคำอธิบาย

ค่าสัมบูรณ์ 9 เกิดได้จาก x = −9 หรือ 9

ตอบ C

ข้อ 17 ระยะห่างระหว่าง −8 กับ −3 เท่ากับเท่าใด A. 5 B. −5 C. 11 D. −11

ดูคำอธิบาย

|−3−(−8)| = |5| = 5

ตอบ A

ข้อ 18 ข้อใดมีค่ามากที่สุด A. −10 B. −1 C. −0.5 D. −3

ดูคำอธิบาย

−0.5 อยู่ใกล้ 0 ที่สุด จึงมากที่สุด

ตอบ C

ข้อ 19 ถ้า a < b บนเส้นจำนวน ข้อใดถูกต้อง A. a อยู่ขวาของ b B. a อยู่ซ้ายของ b C. a และ b อยู่จุดเดียวกัน D. สรุปไม่ได้

ดูคำอธิบาย

ค่าที่น้อยกว่าจะอยู่ทางซ้าย

ตอบ B

ข้อ 20 ค่า |3−8| เท่ากับข้อใด A. −5 B. 5 C. 11 D. 24

ดูคำอธิบาย

|3−8| = |−5| = 5

ตอบ B

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

ข้อ 21 ระยะห่างระหว่าง x และ 4 เขียนได้ตรงกับข้อใด A. x−4 B. 4−x C. |x−4| D. |x+4|

ดูคำอธิบาย

ระยะห่างต้องไม่ติดลบ จึงใช้ |x−4|

ตอบ C

ข้อ 22 ถ้า |x−2| = 5 แล้ว x เป็นค่าใดได้บ้าง A. 7 เท่านั้น B. −3 เท่านั้น C. −3 หรือ 7 D. 2 หรือ 5

ดูคำอธิบาย

x−2 = 5 หรือ x−2 = −5 จึงได้ x = 7 หรือ −3

ตอบ C

ข้อ 23 ข้อใดมีค่าเท่ากับระยะห่างระหว่าง −4 กับ 9 A. |−4+9| B. |−4−9| C. |9−(−4)| D. ทั้ง B และ C

ดูคำอธิบาย

|−4−9| = 13 และ |9−(−4)| = 13

ตอบ D

ข้อ 24 ถ้า |x| < 3 ข้อใดเป็นค่าที่เป็นไปได้ของ x A. −4 B. −3 C. 2 D. 5

ดูคำอธิบาย

|2| = 2 ซึ่งน้อยกว่า 3

ตอบ C

ข้อ 25 ถ้า |x| = 0 แล้ว x เท่ากับข้อใด A. −1 B. 0 C. 1 D. มีสองคำตอบ

ดูคำอธิบาย

มีเพียง 0 เท่านั้นที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 0

ตอบ B

ข้อ 26 จุดกึ่งกลางระหว่าง −6 และ 4 คือข้อใด A. −2 B. −1 C. 0 D. 1

ดูคำอธิบาย

จุดกึ่งกลาง = (−6+4)/2 = −1

ตอบ B

ข้อ 27 ถ้าจุด A อยู่ที่ −5 และจุด B อยู่ที่ 7 ระยะ AB เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 7 C. 12 D. −12

ดูคำอธิบาย

|7−(−5)| = 12

ตอบ C

ข้อ 28 ข้อใดมีค่ามากที่สุด A. |−9| B. |7| C. |−6|+1 D. |−3|×2

ดูคำอธิบาย

ได้ค่า 9, 7, 7 และ 6 ตามลำดับ

ตอบ A

ข้อ 29 ถ้า |x+1| = 4 แล้วผลบวกของคำตอบทั้งหมดเท่ากับเท่าใด A. −2 B. −1 C. 0 D. 2

ดูคำอธิบาย

x = 3 หรือ −5 ผลบวกเท่ากับ −2

ตอบ A

ข้อ 30 จำนวนเต็ม x ที่ทำให้ |x| ≤ 2 มีทั้งหมดกี่จำนวน A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

ดูคำอธิบาย

ได้ x = −2, −1, 0, 1, 2 รวม 5 จำนวน

ตอบ C

📌

10. สรุปก่อนจบบท

ขวามากกว่า ซ้ายน้อยกว่า

จำนวนตรงข้ามของ a คือ −a

|a| = ระยะห่างจาก a ถึง 0

ระยะห่างระหว่าง a และ b = |a − b|

ฉันเรียงลำดับจำนวนบวกและจำนวนลบได้
ฉันหาจำนวนตรงข้ามของจำนวนที่กำหนดได้
ฉันเข้าใจว่าค่าสัมบูรณ์คือระยะทาง
ฉันหาระยะห่างระหว่างสองจำนวนได้
ฉันแก้โจทย์พื้นฐานที่มี |x| ได้

แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อสับสนเรื่องจำนวนบวก–ลบ ให้กลับไปวาดเส้นจำนวนเสมอ เพราะตำแหน่งบนเส้นจำนวนช่วยให้เห็นทั้งการเปรียบเทียบ จำนวนตรงข้าม ค่าสัมบูรณ์ และระยะห่างในภาพเดียว

EP02 : เส้นจำนวน จำนวนตรงข้าม และค่าสัมบูรณ์

เส้นทางสู่เป้าหมาย

เส้นจำนวน จำนวนตรงข้าม และค่าสัมบูรณ์

ปัญหานำชวนคิด

1. เส้นจำนวนคืออะไร

2. การเปรียบเทียบจำนวนบวกและจำนวนลบ

3. จำนวนตรงข้าม

4. ค่าสัมบูรณ์

5. ระยะห่างระหว่างสองจำนวน

ตัวอย่าง

6. เทคนิคคิดเร็วบนเส้นจำนวน

7. ตัวอย่างประกอบ

ตัวอย่างที่ 1: เปรียบเทียบ −4 และ −1

ตัวอย่างที่ 2: หาจำนวนตรงข้ามของ −12

ตัวอย่างที่ 3: หาค่า |−15|

ตัวอย่างที่ 4: หาระยะห่างระหว่าง −6 และ 4

ตัวอย่างที่ 5: ถ้า |x| = 7 แล้ว x เป็นเท่าใด

8. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

9. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

10. สรุปก่อนจบบท