EP51 : โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน (Domain & Range)
สรุปเทคนิคหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันแบบรวดเร็ว พร้อมกรณีที่ข้อสอบชอบออก เช่น รากที่สอง เศษส่วน ลอการิทึม ฟังก์ชันประกอบ และการอ่านจากกราฟ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
ฝึกหาค่า x ที่ใช้ได้ และค่าของ y ที่ฟังก์ชันสร้างได้ พร้อมสรุปกรณีทั่วไปและจุดที่ข้อสอบชอบหลอก
หาโดเมนและเรนจ์จากสูตรได้เร็ว ตรวจเงื่อนไขซ้อน และหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเรื่องราก ตัวส่วน และลอการิทึม
1. ปัญหานำ
ทำไม f(x)=x² แทน x ได้ทุกจำนวนจริง แต่ f(x)=√(x−3) แทน x=2 ไม่ได้
2. โดเมนคืออะไร
โดเมนคือเซตของค่าตัวแปรต้น x ที่แทนในฟังก์ชันแล้วสูตรยังมีความหมาย
ให้เริ่มจากจำนวนจริงทั้งหมด แล้วตัดค่าที่ทำให้สูตรใช้ไม่ได้ออก
3. เรนจ์คืออะไร
เรนจ์คือเซตของผลลัพธ์ y ที่ฟังก์ชันสามารถสร้างได้
การหาเรนจ์มักดูจากค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด รูปกราฟ หรือแก้สมการย้อนจาก y ไปหา x
4. ฟังก์ชันทั่วไปที่โดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด
- พหุนาม เช่น x²+3x−1
- เส้นตรง เช่น 2x+5
- ค่าสัมบูรณ์ เช่น |x−2|
- ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เช่น 2ˣ
5. กรณีมีตัวส่วน
ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์
ถ้าตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ ต้องตัดค่าที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด
6. กรณีมีรากที่สองหรือรากคู่
จำนวนภายในรากคู่ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง √(9−x)
7. รากที่สองอยู่ในตัวส่วน
ต้องผ่านสองเงื่อนไขพร้อมกัน
- อยู่ในราก จึงต้องไม่ติดลบ
- อยู่ในตัวส่วน จึงห้ามเท่ากับศูนย์
8. กรณีมีลอการิทึม
จำนวนภายในลอการิทึมต้องมากกว่า 0
ตัวอย่าง log(5−x)
ลอการิทึมของศูนย์ไม่มีความหมาย
9. กรณีมีเศษส่วนอยู่ในราก
ต้องแก้อสมการเศษส่วน และตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
จุดวิกฤตคือ x=−2 และ x=1 จากตารางเครื่องหมายได้
10. เงื่อนไขหลายชั้น
ต้องตรวจจากชั้นนอกเข้าไป และรวมทุกเงื่อนไข
รากกำหนดให้ log x≥0
นอกจากนี้ log x มีเงื่อนไข x>0 ซึ่งถูกรวมอยู่ใน x≥1 แล้ว
11. เรนจ์ของกำลังสองและค่าสัมบูรณ์
ถ้ามีการเลื่อนกราฟ
12. เรนจ์ของรากที่สอง
ถ้ามีค่าคงที่บวกหรือลบภายนอก ต้องเลื่อนเรนจ์ตาม
13. เรนจ์ของฟังก์ชันเศษส่วนพื้นฐาน
เส้น y=b เป็นเส้นกำกับแนวนอนที่กราฟเข้าใกล้แต่ไม่แตะ
14. วงกลมและครึ่งวงกลม
ฟังก์ชัน y=√(r²−x²) เป็นครึ่งวงกลมด้านบน
ตัวอย่าง y=√(16−x²)
15. โดเมนของฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ (f∘g)(x)=f(g(x)) ต้องมี
- x อยู่ในโดเมนของ g
- ค่า g(x) ต้องอยู่ในโดเมนของ f
16. จุดที่ต้องระวังเป็นพิเศษ
- √A ใช้ A≥0 แต่ 1/√A ใช้ A>0
- log A ใช้ A>0 ไม่ใช่ A≥0
- ย่อเศษส่วนแล้วค่าที่ทำให้ตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์ยังต้องตัดทิ้ง
- โดเมนของฟังก์ชันประกอบไม่ได้ดูแค่สูตรสุดท้ายอย่างผิวเผิน
- เรนจ์ของพาราโบลาต้องดูจุดยอดและทิศเปิด
- เรนจ์ของ 1/(x−a)+b ห้ามเท่ากับ b
17. เทคนิคทำข้อสอบ
- เริ่มจากโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด
- วงตัวส่วน รากคู่ และ log
- เขียนเงื่อนไขแต่ละส่วนแยกกัน
- หาจุดวิกฤตแล้วใช้ตารางเครื่องหมายเมื่อมีเศษส่วน
- หาเรนจ์จากค่าต่ำสุด–สูงสุด รูปกราฟ หรือแก้กลับเป็น x
- ตรวจว่าปลายช่วงรวมได้หรือไม่
- ตอบเป็นอสมการหรือสัญกรณ์ช่วงให้ครบ
18. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
หาโดเมนของ f(x)=√(2x+1)
ดูเฉลย
2x+1≥0
x≥−1/2
หาโดเมนของ f(x)=(x+1)/(x−4)
ดูเฉลย
x−4≠0
x≠4
หาโดเมนของ f(x)=log(x+6)
ดูเฉลย
x+6>0
x>−6
หาเรนจ์ของ f(x)=(x−3)²+2
ดูเฉลย
(x−3)²≥0
y≥2
หาโดเมนและเรนจ์ของ f(x)=√(16−x²)
ดูเฉลย
16−x²≥0 ⇒ −4≤x≤4
ค่ารากอยู่ตั้งแต่ 0 ถึง 4
Domain=[−4,4], Range=[0,4]
19. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
20. สรุป
- โดเมนคือค่า x ที่ใช้ได้
- เรนจ์คือค่า y ที่เกิดขึ้นได้
- เงื่อนไขหลายชั้นต้องตรวจพร้อมกัน
- เรนจ์ของพาราโบลาดูจากจุดยอด
- เรนจ์ของรากหลักไม่ติดลบ
- ฟังก์ชันประกอบต้องตรวจทั้ง g และ f
เริ่มจาก ℝ → ตัดค่าต้องห้าม → รวมเงื่อนไข → หา y ต่ำสุดหรือสูงสุด → เขียนคำตอบเป็นช่วง