EP53 : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

🎯

EP53 • Foundation Mathematics

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เชื่อมพิกัด สมการ และรูปเรขาคณิต เพื่ออ่านตำแหน่ง ระยะทาง แนวเส้นตรง และลักษณะของวงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

เป้าหมาย

ใช้สูตรพิกัด แปลงสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน และอ่านศูนย์กลาง จุดยอด โฟกัส รัศมี และทิศทางของกราฟได้

❓

1. ปัญหานำ

สมการ (x−2)²+(y+3)²=16 บอกข้อมูลของวงกลมอะไรได้บ้าง

ศูนย์กลาง=(2,−3)

รัศมี=4

เพียงจัดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ก็อ่านข้อมูลสำคัญได้ทันที

📍

2. ระบบพิกัดฉาก

จุดหนึ่งเขียนเป็น (x,y)

x บอกตำแหน่งซ้าย–ขวา
y บอกตำแหน่งล่าง–บน
จุดกำเนิดคือ (0,0)

เทคนิค

อ่านพิกัด x ก่อน y เสมอ

d

3. สูตรระยะทาง

d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

มาจากทฤษฎีพีทาโกรัส

(0,0) ถึง (3,4) ⇒ d=5

M

4. จุดกึ่งกลาง

M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

คือการเฉลี่ยพิกัด x และพิกัด y แยกกัน

m

5. ความชัน

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

m>0 เส้นเอียงขึ้น
m<0 เส้นเอียงลง
m=0 เส้นแนวนอน
เส้นแนวตั้งความชันไม่กำหนด

เส้น

6. สมการเส้นตรง

y=mx+b

y−y₁=m(x−x₁)

Ax+By+C=0

เลือกใช้รูปที่ตรงกับข้อมูลโจทย์

∥⊥

7. เส้นขนานและตั้งฉาก

ขนาน: m₁=m₂

ตั้งฉาก: m₁m₂=−1

กรณีเส้นตั้งกับเส้นนอนตั้งฉากกันโดยตรง

○

8. วงกลม

(x−h)²+(y−k)²=r²

ศูนย์กลาง (h,k)
รัศมี r

ถ้าอยู่ในรูปทั่วไป ให้ทำกำลังสองสมบูรณ์

□²

9. ทำกำลังสองสมบูรณ์

x²−6x=(x−3)²−9

y²+4y=(y+2)²−4

ใช้เปลี่ยนสมการวงกลมหรือภาคตัดกรวยจากรูปทั่วไปไปเป็นรูปมาตรฐาน

พารา

10. พาราโบลา

y²=4ax

x²=4ay

y²=4ax เปิดขวาเมื่อ a>0 และเปิดซ้ายเมื่อ a<0
x²=4ay เปิดขึ้นเมื่อ a>0 และเปิดลงเมื่อ a<0
โฟกัสของ y²=4ax คือ (a,0)
โฟกัสของ x²=4ay คือ (0,a)

V

11. พาราโบลาแบบเลื่อนจุดยอด

(y−k)²=4a(x−h)

(x−h)²=4a(y−k)

จุดยอดคือ (h,k) และทิศเปิดดูจากเครื่องหมายของ a

วงรี

12. วงรี

x²/a²+y²/b²=1, a>b>0

c²=a²−b²

ตัวส่วนใหญ่ใต้ x² ⇒ แกนเอกแนวนอน
ตัวส่วนใหญ่ใต้ y² ⇒ แกนเอกแนวตั้ง
แกนเอกยาว 2a
แกนโทยาว 2b

H

13. ไฮเพอร์โบลา

x²/a²−y²/b²=1

y²/a²−x²/b²=1

c²=a²+b²

พจน์ที่เป็นบวกบอกทิศทางการเปิด

asym

14. เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา

x²/a²−y²/b²=1 ⇒ y=±(b/a)x

y²/a²−x²/b²=1 ⇒ y=±(a/b)x

ถ้าศูนย์กลางเลื่อนไป (h,k) ให้เขียน y−k และ x−h

จำแนก

15. เทคนิคจำแนกภาคตัดกรวย

x² และ y² เครื่องหมายเหมือนกัน สัมประสิทธิ์เท่ากัน ⇒ วงกลม
x² และ y² เครื่องหมายเหมือนกัน สัมประสิทธิ์ต่างกัน ⇒ วงรี
มีเพียงตัวแปรหนึ่งยกกำลังสอง ⇒ พาราโบลา
x² และ y² เครื่องหมายต่างกัน ⇒ ไฮเพอร์โบลา

ระวัง

ถ้ามีพจน์ xy อาจมีการหมุนแกน ต้องวิเคราะห์เพิ่มเติม

⚡

16. เทคนิคทำข้อสอบ

จัดสมการให้เป็นรูปมาตรฐานก่อน
วงพจน์กำลังสองของ x และ y
ดูเครื่องหมายเพื่อจำแนกกราฟ
อ่านจุดศูนย์กลางหรือจุดยอดจากเครื่องหมายตรงข้ามในวงเล็บ
ค่ารัศมีหรือแกนต้องถอดรากจากตัวส่วนหรือข้างขวา
วงรีใช้ c²=a²−b²
ไฮเพอร์โบลาใช้ c²=a²+b²

✏️

17. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

หาระยะทางระหว่าง (−1,2) และ (3,5)

ดูเฉลย

d=√[(3+1)²+(5−2)²]=√(16+9)
ตอบ 5
หาสมการเส้นตรงผ่าน (2,1) และมีความชัน −3

ดูเฉลย

y−1=−3(x−2)
y=−3x+7
หาศูนย์กลางและรัศมีของ x²+y²−4x+6y−12=0

ดูเฉลย

(x−2)²+(y+3)²=25

ศูนย์กลาง (2,−3), รัศมี 5
พาราโบลา y²=12x มีโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์อะไร

ดูเฉลย

4a=12 ⇒ a=3

โฟกัส (3,0), เส้นไดเรกตริกซ์ x=−3
วงรี x²/36+y²/20=1 มีโฟกัสที่ใด

ดูเฉลย

a²=36, b²=20

c²=36−20=16 ⇒ c=4

โฟกัส (±4,0)

🎓

18. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ระยะทางระหว่างจุด (0,0) และ (3,4) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ดูคำอธิบาย

ใช้สูตรระยะทาง √[(3−0)²+(4−0)²]=5

ตอบ C

ข้อ 2 จุดกึ่งกลางของ (2,4) และ (6,8) คือข้อใด A. (3,5) B. (4,6) C. (5,7) D. (8,12)

ดูคำอธิบาย

เฉลี่ยพิกัด x และ y ได้ (4,6)

ตอบ B

ข้อ 3 ความชันของเส้นผ่าน (1,2) และ (3,6) เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

m=(6−2)/(3−1)=2

ตอบ B

ข้อ 4 เส้นตรงแนวนอนมีความชันเท่าใด A. 0 B. 1 C. −1 D. ไม่กำหนด

ดูคำอธิบาย

ค่า y คงที่จึง Δy=0

ตอบ A

ข้อ 5 เส้นตรงแนวตั้งมีความชันอย่างไร A. 0 B. 1 C. −1 D. ไม่กำหนด

ดูคำอธิบาย

Δx=0 ทำให้หารด้วยศูนย์ไม่ได้

ตอบ D

ข้อ 6 สมการเส้นตรงรูปความชัน–จุดตัดคือข้อใด A. y=mx+b B. x=my+b C. ax²+by²=1 D. y−y₁=m(x−x₁) เท่านั้น

ดูคำอธิบาย

รูปมาตรฐานคือ y=mx+b

ตอบ A

ข้อ 7 สมการเส้นตรงผ่านจุด (1,3) และมีความชัน 2 คือข้อใด A. y=2x+1 B. y=2x−1 C. y=x+2 D. y=3x−2

ดูคำอธิบาย

ใช้ y−3=2(x−1) ได้ y=2x+1

ตอบ A

ข้อ 8 เส้นตรงสองเส้นขนานกันมีความสัมพันธ์ของความชันอย่างไร A. m₁=m₂ B. m₁m₂=−1 C. m₁+m₂=0 D. m₁=1/m₂

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

ตอบ A

ข้อ 9 เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันมีความสัมพันธ์อย่างไร A. m₁=m₂ B. m₁m₂=−1 C. m₁+m₂=1 D. m₁m₂=1

ดูคำอธิบาย

เมื่อความชันทั้งสองกำหนดได้ ผลคูณเท่ากับ −1

ตอบ B

ข้อ 10 ระยะจากจุด (x₁,y₁) ถึงเส้น Ax+By+C=0 ใช้ตัวส่วนข้อใด A. A+B B. A²+B² C. √(A²+B²) D. |A+B|

ดูคำอธิบาย

สูตรระยะใช้ √(A²+B²)

ตอบ C

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 สมการวงกลมศูนย์กลาง (h,k) รัศมี r คือข้อใด A. (x−h)²+(y−k)²=r² B. (x+h)²+(y+k)²=r C. x²−y²=r² D. y²=4ax

ดูคำอธิบาย

สมการมาตรฐานของวงกลม

ตอบ A

ข้อ 12 วงกลม (x−2)²+(y+3)²=16 มีศูนย์กลางข้อใด A. (2,3) B. (−2,3) C. (2,−3) D. (−2,−3)

ดูคำอธิบาย

เทียบกับ (x−h)²+(y−k)²=r²

ตอบ C

ข้อ 13 วงกลมข้อก่อนมีรัศมีเท่าใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

r²=16 จึง r=4

ตอบ B

ข้อ 14 สมการ x²+y²=25 มีศูนย์กลางและรัศมีข้อใด A. (0,0),5 B. (0,0),25 C. (5,5),5 D. (−5,−5),25

ดูคำอธิบาย

ศูนย์กลางอยู่จุดกำเนิดและ r=5

ตอบ A

ข้อ 15 สมการ x²+y²−6x+4y−3=0 จัดรูปวงกลมได้ข้อใด A. (x−3)²+(y+2)²=16 B. (x+3)²+(y−2)²=16 C. (x−3)²+(y−2)²=4 D. (x+3)²+(y+2)²=4

ดูคำอธิบาย

ทำกำลังสองสมบูรณ์ได้ (x−3)²+(y+2)²=16

ตอบ A

ข้อ 16 พาราโบลา y²=4ax เปิดไปทิศใดเมื่อ a>0 A. ขวา B. ซ้าย C. บน D. ล่าง

ดูคำอธิบาย

แกนสมมาตรตามแกน x และเปิดขวา

ตอบ A

ข้อ 17 พาราโบลา x²=4ay เปิดไปทิศใดเมื่อ a>0 A. ขวา B. ซ้าย C. บน D. ล่าง

ดูคำอธิบาย

แกนสมมาตรตามแกน y และเปิดขึ้น

ตอบ C

ข้อ 18 พาราโบลา y²=8x มีโฟกัสข้อใด A. (2,0) B. (0,2) C. (4,0) D. (0,4)

ดูคำอธิบาย

4a=8 จึง a=2

ตอบ A

ข้อ 19 พาราโบลา x²=−12y มีโฟกัสข้อใด A. (0,−3) B. (−3,0) C. (0,3) D. (3,0)

ดูคำอธิบาย

4a=−12 จึง a=−3

ตอบ A

ข้อ 20 กราฟ y=(x−2)²+1 มีจุดยอดข้อใด A. (−2,1) B. (2,−1) C. (2,1) D. (1,2)

ดูคำอธิบาย

รูป y=(x−h)²+k มีจุดยอด (h,k)

ตอบ C

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สมการวงรีแนวนอนศูนย์กลางจุดกำเนิดคือข้อใดเมื่อ a>b>0 A. x²/a²+y²/b²=1 B. x²/a²−y²/b²=1 C. y²=4ax D. x²+y²=a²

ดูคำอธิบาย

วงรีใช้ผลบวกและแกนเอกตามตัวส่วนใหญ่

ตอบ A

ข้อ 22 วงรี x²/25+y²/9=1 มีแกนเอกยาวเท่าใด A. 5 B. 10 C. 18 D. 25

ดูคำอธิบาย

a=5 จึงแกนเอกยาว 2a=10

ตอบ B

ข้อ 23 วงรี x²/25+y²/9=1 มี c เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

ดูคำอธิบาย

c²=a²−b²=25−9=16

ตอบ C

ข้อ 24 โฟกัสของวงรี x²/25+y²/9=1 คือข้อใด A. (±3,0) B. (±4,0) C. (0,±4) D. (0,±5)

ดูคำอธิบาย

แกนเอกแนวนอนและ c=4

ตอบ B

ข้อ 25 สมการไฮเพอร์โบลาแนวนอนศูนย์กลางจุดกำเนิดคือข้อใด A. x²/a²+y²/b²=1 B. x²/a²−y²/b²=1 C. y²/b²−x²/a²=1 เสมอ D. xy=1 เท่านั้น

ดูคำอธิบาย

พจน์ x เป็นบวกจึงเปิดซ้าย–ขวา

ตอบ B

ข้อ 26 ไฮเพอร์โบลา x²/9−y²/16=1 มีจุดยอดข้อใด A. (±3,0) B. (0,±3) C. (±4,0) D. (0,±4)

ดูคำอธิบาย

a²=9 จึง a=3

ตอบ A

ข้อ 27 เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา x²/9−y²/16=1 คือข้อใด A. y=±3x/4 B. y=±4x/3 C. y=±x D. x=±4y/3

ดูคำอธิบาย

เส้นกำกับ y=±(b/a)x=±4x/3

ตอบ B

ข้อ 28 ภาคตัดกรวยชนิดใดมีผลบวกของระยะถึงโฟกัสสองจุดคงที่ A. วงกลม B. พาราโบลา C. วงรี D. ไฮเพอร์โบลา

ดูคำอธิบาย

เป็นนิยามของวงรี

ตอบ C

ข้อ 29 ภาคตัดกรวยชนิดใดมีผลต่างสัมบูรณ์ของระยะถึงโฟกัสสองจุดคงที่ A. วงกลม B. พาราโบลา C. วงรี D. ไฮเพอร์โบลา

ดูคำอธิบาย

เป็นนิยามของไฮเพอร์โบลา

ตอบ D

ข้อ 30 หลักสำคัญในการจำแนกสมการกำลังสอง Ax²+Bxy+Cy²+...=0 คือข้อใด A. ดูเฉพาะค่าคงที่ B. ดูสัมประสิทธิ์ของ x²,y² และพจน์ xy C. ดูเฉพาะจุดตัดแกน D. แทน x=0 เท่านั้น

ดูคำอธิบาย

เครื่องหมายและความสัมพันธ์ของพจน์กำลังสองช่วยจำแนกภาคตัดกรวย

ตอบ B

📌

19. สรุป

d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

(x−h)²+(y−k)²=r²

พาราโบลา: y²=4ax หรือ x²=4ay

วงรี: c²=a²−b²

ไฮเพอร์โบลา: c²=a²+b²

ระยะทางมาจากพีทาโกรัส
เส้นขนานความชันเท่ากัน
เส้นตั้งฉากมีผลคูณความชัน −1
วงกลมอ่านศูนย์กลางและรัศมีจากรูปมาตรฐาน
พาราโบลามีตัวแปรยกกำลังสองเพียงหนึ่งตัว
วงรีใช้ผลบวก ไฮเพอร์โบลาใช้ผลต่าง

จำเป็นขั้นตอน

จัดรูป → จำแนกกราฟ → อ่านศูนย์กลางหรือจุดยอด → หา a,b,c,r → ตรวจทิศทางและองค์ประกอบสำคัญ

EP53 : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เส้นทางสู่เป้าหมาย

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

1. ปัญหานำ

2. ระบบพิกัดฉาก

3. สูตรระยะทาง

4. จุดกึ่งกลาง

5. ความชัน

6. สมการเส้นตรง

7. เส้นขนานและตั้งฉาก

8. วงกลม

9. ทำกำลังสองสมบูรณ์

10. พาราโบลา

11. พาราโบลาแบบเลื่อนจุดยอด

12. วงรี

13. ไฮเพอร์โบลา

14. เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา

15. เทคนิคจำแนกภาคตัดกรวย

16. เทคนิคทำข้อสอบ

17. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

18. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

19. สรุป