EP52 : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและการแปลงเป็นลอการิทึม

🎯

EP52 • Foundation Mathematics

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและการแปลงเป็นลอการิทึม

เข้าใจว่าเอกซ์โพเนนเชียลกับลอการิทึมเป็นกระบวนการย้อนกัน แล้วเลือกวิธีแก้สมการได้เร็วทั้งแบบเทียบฐานและแบบใช้ log

เป้าหมาย

แปลงรูป aˣ=b เป็น x=logₐb ใช้สมบัติเลขยกกำลัง และแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลหลายรูปแบบได้

❓

1. ปัญหานำ

ถ้า 2ˣ=10 จะหาค่า x ได้อย่างไร เมื่อ 10 ไม่ใช่กำลังของ 2 ที่เห็นได้ทันที

2ˣ=10

x=log₂10

หรือใช้สูตรเปลี่ยนฐาน

x=log10/log2

aˣ

2. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

f(x)=aˣ

โดยมีเงื่อนไข

a>0 และ a≠1

ตัวแปร x อยู่ที่เลขชี้กำลัง จึงต่างจากพหุนาม เช่น x² หรือ 2x+1

⇄

3. ความสัมพันธ์สำคัญกับลอการิทึม

aˣ=b ⇔ logₐb=x

ตัวอย่าง

2⁵=32 ⇔ log₂32=5

วิธีจำ

ฐาน a คงเดิม ผลลัพธ์ b เข้าไปอยู่ใน log และเลขชี้กำลัง x กลายเป็นคำตอบ

0,−

4. ค่าพื้นฐานของเลขยกกำลัง

a⁰=1

a⁻ⁿ=1/aⁿ

aᵐ/ⁿ=ⁿ√(aᵐ)

ตัวอย่าง

2⁻³=1/8

8²/³=4

=

5. วิธีที่ 1 เทียบฐานเดียวกัน

ถ้าทั้งสองข้างเขียนเป็นฐานเดียวกันได้ ให้เทียบเลขชี้กำลัง

4ˣ=8

2²ˣ=2³

2x=3 ⇒ x=3/2

วิธีนี้เร็วที่สุดเมื่อมองฐานร่วมออก

log

6. วิธีที่ 2 แปลงตรงเป็นลอการิทึม

จาก

aˣ=b

เขียนได้ทันทีว่า

x=logₐb

ตัวอย่าง

3ˣ=20 ⇒ x=log₃20

ln

7. วิธีที่ 3 ใช้ log หรือ ln ทั้งสองข้าง

aˣ=b

log(aˣ)=log b

x log a=log b

x=log b/log a

จะใช้ ln แทน log ก็ได้

x=ln b/ln a

aᵘ=aᵛ

8. สมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง

เมื่อฐานเดียวกันและเป็นฐานที่ถูกต้อง

aᵘ=aᵛ ⇒ u=v

ตัวอย่าง

3²ˣ⁻¹=3³ ⇒ 2x−1=3 ⇒ x=2

จัดรูป

9. การจัดรูปก่อนเทียบฐาน

บางโจทย์ต้องใช้สมบัติเลขยกกำลังก่อน

2ˣ⁺¹=16

2ˣ⁺¹=2⁴

x+1=4 ⇒ x=3

หรือ

5ˣ=25√5=5²·5¹/²=5⁵/²

ดึงร่วม

10. สมการที่มีพจน์เอกซ์โพเนนเชียลซ้ำ

ดึงพจน์ร่วมออกก่อน

3ˣ+3ˣ⁺¹=108

3ˣ(1+3)=108

3ˣ=27 ⇒ x=3

ระวัง

3ˣ+3ˣ ไม่เท่ากับ 3²ˣ แต่เท่ากับ 2·3ˣ

u=aˣ

11. การแทนตัวแปร

ถ้ามี a²ˣ และ aˣ อยู่ในสมการเดียวกัน ให้แทน

u=aˣ

ตัวอย่าง

4ˣ−5·2ˣ+4=0

(2ˣ)²−5(2ˣ)+4=0

u²−5u+4=0

u=1 หรือ 4

แล้วค่อยกลับไปแก้ 2ˣ=1 หรือ 2ˣ=4

📈

12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

y=aˣ

โดเมนเป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
เรนจ์ y>0
ผ่านจุด (0,1)
มีเส้นกำกับแนวนอน y=0
a>1 กราฟเพิ่ม
0<a<1 กราฟลด

D,R

13. โดเมนและเรนจ์เมื่อเลื่อนกราฟ

y=aˣ+b

โดเมนยังเป็นจำนวนจริงทั้งหมด แต่เรนจ์เลื่อนขึ้นหรือลง

ถ้า aˣ>0 ⇒ aˣ+b>b

Range: y>b

ตัวอย่าง y=2ˣ−3 มีเรนจ์ y>−3

⇄log

14. ฟังก์ชันผกผันกับลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันกัน

y=aˣ ⇔ x=logₐy

โดเมนของ expo กลายเป็นเรนจ์ของ log
เรนจ์ของ expo กลายเป็นโดเมนของ log
กราฟสะท้อนกันผ่านเส้น y=x

ประยุกต์

15. แบบจำลองการเติบโตและการลด

A=A₀(1+r)ᵗ

ใช้กับดอกเบี้ย การเพิ่มจำนวนประชากร หรือการเพิ่มแบบร้อยละคงที่

A=A₀(1−r)ᵗ

ใช้กับค่าเสื่อมราคาและการลดลงแบบร้อยละคงที่

ถ้าต้องหาเวลา t มักต้องใช้ลอการิทึม

⚠️

16. จุดที่ต้องระวัง

ฐานต้องมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1
aˣ มีค่าเป็นบวกเสมอ จึงไม่มีวันเท่ากับ 0 หรือติดลบ
aᵘ+aᵛ ไม่สามารถรวมเลขชี้กำลังได้โดยตรง
คูณฐานเดียวกันจึงบวกเลขชี้กำลัง
เมื่อใช้ log ต้องระวังจำนวนภายใน log ต้องเป็นบวก
สมการที่แทน u=aˣ ต้องมี u>0

⚡

17. เทคนิคทำข้อสอบ

ลองเทียบฐานเดียวกันก่อน
ถ้าเทียบฐานไม่ได้ ให้แปลงเป็น log
ใช้ log ทั้งสองข้างเมื่อเลขชี้กำลังมีนิพจน์ซับซ้อน
จัดรูปเลขยกกำลังก่อนแก้สมการ
มี a²ˣ และ aˣ ให้แทน u=aˣ
ดึงพจน์เอกซ์โพเนนเชียลร่วมเมื่อมีการบวก
ตรวจว่าคำตอบทำให้พจน์เอกซ์โพเนนเชียลเป็นบวก

✏️

18. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

แก้สมการ 2ˣ=64

ดูเฉลย

64=2⁶
x=6
แก้สมการ 9ˣ=3

ดูเฉลย

9ˣ=(3²)ˣ=3²ˣ
2x=1
x=1/2
เขียนคำตอบของ 5ˣ=12 ในรูปลอการิทึม

ดูเฉลย

x=log₅12

หรือ x=log12/log5
แก้สมการ 2ˣ+2ˣ⁺¹=24

ดูเฉลย

2ˣ(1+2)=24

2ˣ=8
x=3
แก้สมการ 9ˣ−10·3ˣ+9=0

ดูเฉลย

ให้ u=3ˣ จะได้ 9ˣ=(3ˣ)²=u²

u²−10u+9=0

(u−1)(u−9)=0

u=1 หรือ 9

3ˣ=1 ⇒ x=0 และ 3ˣ=9 ⇒ x=2

x=0 หรือ x=2

🎓

19. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ข้อใดเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล A. y=2x+1 B. y=x² C. y=2ˣ D. y=log₂x

ดูคำอธิบาย

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง

ตอบ C

ข้อ 2 ฐาน a ของฟังก์ชัน y=aˣ ต้องมีเงื่อนไขใด A. a<0 B. a>0 และ a≠1 C. a=1 D. a เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น

ดูคำอธิบาย

ฐานต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1

ตอบ B

ข้อ 3 ค่าของ 2³ เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 8 C. 9 D. 16

ดูคำอธิบาย

2³=2×2×2=8

ตอบ B

ข้อ 4 ค่าของ 5⁰ เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. 5 D. 25

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1

ตอบ B

ข้อ 5 ค่าของ 2⁻³ เท่ากับเท่าใด A. −8 B. −1/8 C. 1/8 D. 8

ดูคำอธิบาย

เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ

ตอบ C

ข้อ 6 ถ้า 2ˣ=8 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

ดูคำอธิบาย

8=2³

ตอบ B

ข้อ 7 ถ้า 3ˣ=81 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 9 D. 27

ดูคำอธิบาย

81=3⁴

ตอบ B

ข้อ 8 ถ้า 5ˣ=1 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. −1 B. 0 C. 1 D. 5

ดูคำอธิบาย

5⁰=1

ตอบ B

ข้อ 9 ข้อความ 2ˣ=7 แปลงเป็นลอการิทึมได้ข้อใด A. x=log₂7 B. x=log₇2 C. 2=logₓ7 D. 7=log₂x

ดูคำอธิบาย

aˣ=b สมมูลกับ x=logₐb

ตอบ A

ข้อ 10 ข้อความ 3⁴=81 แปลงเป็นลอการิทึมได้ข้อใด A. log₄81=3 B. log₃81=4 C. log₈₁3=4 D. log₃4=81

ดูคำอธิบาย

ฐานคงเดิม ผลลัพธ์เข้าไปอยู่ใน log และเลขชี้กำลังเป็นคำตอบ

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ข้อความ log₂32=5 แปลงเป็นเลขยกกำลังได้ข้อใด A. 2⁵=32 B. 5²=32 C. 32²=5 D. 2³²=5

ดูคำอธิบาย

logₐb=c สมมูลกับ aᶜ=b

ตอบ A

ข้อ 12 ถ้า log₅x=3 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 15 B. 25 C. 125 D. 625

ดูคำอธิบาย

x=5³=125

ตอบ C

ข้อ 13 ถ้า logₓ16=4 และ x>0, x≠1 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

x⁴=16 จึง x=2

ตอบ A

ข้อ 14 ถ้า 4ˣ=8 เขียนฐานเดียวกันได้ข้อใด A. 2ˣ=2³ B. 2²ˣ=2³ C. 4²ˣ=8 D. 2ˣ=8²

ดูคำอธิบาย

4ˣ=(2²)ˣ=2²ˣ และ 8=2³

ตอบ B

ข้อ 15 จาก 4ˣ=8 ค่า x เท่ากับเท่าใด A. 1/2 B. 3/2 C. 2 D. 3

ดูคำอธิบาย

2x=3 จึง x=3/2

ตอบ B

ข้อ 16 ถ้า 9ˣ=27 ค่า x เท่ากับเท่าใด A. 1/2 B. 2/3 C. 3/2 D. 3

ดูคำอธิบาย

9=3² และ 27=3³ จึง 2x=3

ตอบ C

ข้อ 17 ถ้า 8ˣ=4 ค่า x เท่ากับเท่าใด A. 1/3 B. 2/3 C. 3/2 D. 2

ดูคำอธิบาย

8=2³ และ 4=2² จึง 3x=2

ตอบ B

ข้อ 18 ถ้า 2ˣ=10 และไม่สามารถเขียนฐานเดียวกันได้ง่าย ควรทำอย่างไร A. บวกฐาน B. ใช้ลอการิทึมทั้งสองข้าง C. ตัด x ทิ้ง D. ยกกำลังสองเสมอ

ดูคำอธิบาย

ใช้ log เพื่อดึงเลขชี้กำลังลงมา

ตอบ B

ข้อ 19 จาก 2ˣ=10 ค่า x เขียนได้ข้อใด A. log₂10 B. log₁₀2 C. 2log10 D. 10log2

ดูคำอธิบาย

แปลงตรงได้เป็น x=log₂10

ตอบ A

ข้อ 20 ถ้า eˣ=7 แล้ว x เท่ากับข้อใด A. log 7 B. ln 7 C. e log 7 D. 7e

ดูคำอธิบาย

ลอการิทึมฐาน e คือ ln

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สมการ 2ˣ⁺¹=16 มีคำตอบเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

ดูคำอธิบาย

16=2⁴ จึง x+1=4 และ x=3

ตอบ B

ข้อ 22 สมการ 3²ˣ⁻¹=27 มีคำตอบเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

27=3³ จึง 2x−1=3 และ x=2

ตอบ B

ข้อ 23 สมการ 5ˣ=25√5 มีคำตอบเท่าใด A. 2 B. 5/2 C. 3 D. 7/2

ดูคำอธิบาย

25√5=5²×5¹/²=5⁵/²

ตอบ B

ข้อ 24 สมการ 2ˣ+2ˣ=16 มีคำตอบเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

ดูคำอธิบาย

2·2ˣ=16 จึง 2ˣ=8 และ x=3

ตอบ B

ข้อ 25 สมการ 3ˣ+3ˣ⁺¹=108 มีคำตอบเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

ดูคำอธิบาย

3ˣ(1+3)=108 จึง 3ˣ=27 และ x=3

ตอบ B

ข้อ 26 สมการ 4ˣ−5·2ˣ+4=0 ควรแทนตัวแปรใด A. u=x² B. u=2ˣ C. u=log x D. u=4x

ดูคำอธิบาย

เพราะ 4ˣ=(2ˣ)²

ตอบ B

ข้อ 27 จาก 4ˣ−5·2ˣ+4=0 คำตอบคือข้อใด A. x=0 หรือ 1 B. x=0 หรือ 2 C. x=1 หรือ 2 D. x=2 หรือ 4

ดูคำอธิบาย

ให้ u=2ˣ ได้ u²−5u+4=0 จึง u=1 หรือ 4 และ x=0 หรือ 2

ตอบ B

ข้อ 28 โดเมนของ f(x)=2ˣ คือข้อใด A. x>0 B. x≥0 C. จำนวนจริงทุกจำนวน D. x≠0

ดูคำอธิบาย

แทน x เป็นจำนวนจริงใดก็ได้

ตอบ C

ข้อ 29 เรนจ์ของ f(x)=2ˣ คือข้อใด A. y≥0 B. y>0 C. จำนวนจริงทุกจำนวน D. y≠1

ดูคำอธิบาย

ค่าของเลขยกกำลังฐานบวกเป็นบวกเสมอและไม่เท่ากับ 0

ตอบ B

ข้อ 30 ถ้า 0<a<1 กราฟ y=aˣ มีลักษณะใด A. เพิ่มขึ้น B. ลดลง C. เป็นเส้นตรง D. เป็นค่าคงที่

ดูคำอธิบาย

ฐานระหว่าง 0 และ 1 ทำให้ฟังก์ชันลด

ตอบ B

📌

20. สรุป

ฟังก์ชัน expo: y=aˣ, a>0, a≠1

aˣ=b ⇔ logₐb=x

x=log b/log a=ln b/ln a

aᵘ=aᵛ ⇒ u=v

Domain ของ aˣ = ℝ

Range ของ aˣ = (0,∞)

เทียบฐานเดียวกันได้ให้เทียบเลขชี้กำลัง
เทียบฐานไม่ได้ให้ใช้ลอการิทึม
เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผัน
พจน์เอกซ์โพเนนเชียลมีค่าเป็นบวกเสมอ
สมการกำลังสองใน aˣ ใช้การแทนตัวแปร
ฐานมากกว่า 1 กราฟเพิ่ม ฐานระหว่าง 0 กับ 1 กราฟลด

จำเป็นขั้นตอน

จัดรูป → ลองเทียบฐาน → แปลงเป็น log เมื่อจำเป็น → แก้เลขชี้กำลัง → ตรวจเงื่อนไขและความสมเหตุสมผล

EP52 : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและการแปลงเป็นลอการิทึม

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและการแปลงเป็นลอการิทึม

1. ปัญหานำ

2. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

3. ความสัมพันธ์สำคัญกับลอการิทึม

4. ค่าพื้นฐานของเลขยกกำลัง

5. วิธีที่ 1 เทียบฐานเดียวกัน

6. วิธีที่ 2 แปลงตรงเป็นลอการิทึม

7. วิธีที่ 3 ใช้ log หรือ ln ทั้งสองข้าง

8. สมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง

9. การจัดรูปก่อนเทียบฐาน

10. สมการที่มีพจน์เอกซ์โพเนนเชียลซ้ำ

11. การแทนตัวแปร

12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

13. โดเมนและเรนจ์เมื่อเลื่อนกราฟ

14. ฟังก์ชันผกผันกับลอการิทึม

15. แบบจำลองการเติบโตและการลด

16. จุดที่ต้องระวัง

17. เทคนิคทำข้อสอบ

18. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

19. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

20. สรุป