EP03: สมบัติของจำนวนจริงและเทคนิคจัดรูปคำนวณเร็ว

🎯

EP03 • Foundation Mathematics

สมบัติของจำนวนจริงและเทคนิคจัดรูปคำนวณเร็ว

เรียนรู้สมบัติปิด สลับที่ เปลี่ยนหมู่ แจกแจง เอกลักษณ์ และอินเวอร์ส พร้อมนำสมบัติเหล่านี้มาใช้ลดขั้นตอนและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ

เป้าหมาย

ระบุสมบัติของจำนวนจริงได้ เลือกใช้สมบัติให้เหมาะกับโจทย์ และจัดรูปการบวก ลบ คูณ หารให้คิดได้เร็วขึ้น

❓

ปัญหานำชวนคิด

พิจารณาการคำนวณต่อไปนี้

25 + 17 + 75

หากบวกตามลำดับจะได้ 42 + 75 แต่ถ้าสลับและจัดกลุ่มใหม่

(25 + 75) + 17 = 100 + 17 = 117

ลองคิดก่อน

เหตุใดเราจึงสลับ 17 กับ 75 ได้?
เหตุใดจึงเปลี่ยนวงเล็บได้?
การลบและการหารสามารถสลับที่ได้หรือไม่?
สมบัติใดช่วยให้ 7×99 คิดเป็น 7×(100−1) ได้?

🧭

1. สมบัติปิด

เมื่อนำจำนวนจริงสองจำนวนมาบวก ลบ หรือคูณกัน ผลลัพธ์ยังคงเป็นจำนวนจริง

a+b, a−b และ ab ยังเป็นจำนวนจริง

ข้อยกเว้นสำคัญ

การหารด้วยศูนย์นิยามไม่ได้ จึงไม่กล่าวว่าจำนวนจริงปิดภายใต้การหารทุกกรณี

🔄

2. สมบัติสลับที่

a+b=b+a

ab=ba

การบวกและการคูณสามารถสลับตำแหน่งได้ โดยค่าของผลลัพธ์ไม่เปลี่ยน

ใช้ไม่ได้กับการลบและการหาร

8−3 ≠ 3−8

8÷4 ≠ 4÷8

🧩

3. สมบัติเปลี่ยนหมู่

(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(bc)

เปลี่ยนตำแหน่งวงเล็บได้ในการบวกและการคูณ เพื่อจัดกลุ่มตัวเลขที่คำนวณง่ายเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง

4×25×7=(4×25)×7=100×7=700

เทคนิค

มองหาคู่ที่รวมกันได้ 10, 100 หรือ 1,000 ก่อน

📦

4. สมบัติแจกแจง

a(b+c)=ab+ac

a(b−c)=ab−ac

ตัวคูณด้านนอกต้องคูณทุกพจน์ภายในวงเล็บ

ตัวอย่าง

7×99=7(100−1)=700−7=693

25x+75=25(x+3)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

แจกแจงเพียงพจน์แรกแล้วลืมพจน์ถัดไป

0️⃣

5. สมบัติเอกลักษณ์

a+0=a

a×1=a

0 เป็นเอกลักษณ์การบวก และ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ เพราะเมื่อนำไปดำเนินการแล้วจำนวนเดิมไม่เปลี่ยน

↩️

6. สมบัติอินเวอร์ส

อินเวอร์สการบวก

a+(−a)=0

อินเวอร์สการคูณ

a×1/a=1 เมื่อ a≠0

จำง่าย

อินเวอร์สการบวกทำให้ได้ 0 อินเวอร์สการคูณทำให้ได้ 1

⚡

7. เทคนิคจัดรูปเพื่อคิดเลขเร็ว

เทคนิคที่ 1 จัดกลุ่มให้ได้จำนวนกลม

25+17+75=(25+75)+17=117

เทคนิคที่ 2 ชดเชย

48+19=48+20−1=67

เทคนิคที่ 3 แจกแจง

64×25=(16×4)×25=16×100=1600

เทคนิคที่ 4 ผลต่างกำลังสอง

98×102=(100−2)(100+2)=100²−2²=9996

เทคนิคที่ 5 กำลังสองสมบูรณ์

49²=(50−1)²=2500−100+1=2401

🧪

8. ตัวอย่างประกอบ

ตัวอย่างที่ 1: 36+28+64

(36+64)+28=100+28=128

ตัวอย่างที่ 2: 8×125×6

(8×125)×6=1000×6=6000

ตัวอย่างที่ 3: 9×47

(10−1)×47=470−47=423

ตัวอย่างที่ 4: 1001×999

(1000+1)(1000−1)=1000²−1²=999999

ตัวอย่างที่ 5: 103²

(100+3)²=10000+600+9=10609

✏️

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

จงหาค่า 35+18+65

ดูเฉลย

(35+65)+18=118

ตอบ 118
จงหาค่า 4×25×13

ดูเฉลย

(4×25)×13=100×13=1300

ตอบ 1300
จงหาค่า 6×98

ดูเฉลย

6(100−2)=600−12=588

ตอบ 588
จงหาค่า 51×49

ดูเฉลย

(50+1)(50−1)=50²−1=2499

ตอบ 2499
จงหาค่า 99²

ดูเฉลย

(100−1)²=10000−200+1=9801

ตอบ 9801

🎓

10. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ข้อใดแสดงสมบัติสลับที่ของการบวก A. a+b=b+a B. (a+b)+c=a+(b+c) C. a(b+c)=ab+ac D. a+0=a

ดูคำอธิบาย

สมบัติสลับที่ของการบวกคือ a+b=b+a

ตอบ A

ข้อ 2 ข้อใดแสดงสมบัติเปลี่ยนหมู่ของการคูณ A. ab=ba B. (ab)c=a(bc) C. a(b+c)=ab+ac D. a×1=a

ดูคำอธิบาย

สมบัติเปลี่ยนหมู่ของการคูณคือ (ab)c=a(bc)

ตอบ B

ข้อ 3 ข้อใดเป็นเอกลักษณ์การบวก A. 0 B. 1 C. −1 D. a

ดูคำอธิบาย

0 เป็นเอกลักษณ์การบวก เพราะ a+0=a

ตอบ A

ข้อ 4 ข้อใดเป็นเอกลักษณ์การคูณ A. 0 B. 1 C. −1 D. a

ดูคำอธิบาย

1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ เพราะ a×1=a

ตอบ B

ข้อ 5 อินเวอร์สการบวกของ 7 คือข้อใด A. 7 B. −7 C. 1/7 D. 0

ดูคำอธิบาย

7+(−7)=0

ตอบ B

ข้อ 6 อินเวอร์สการคูณของ 5 คือข้อใด A. −5 B. 0 C. 1/5 D. 5

ดูคำอธิบาย

5×1/5=1

ตอบ C

ข้อ 7 ข้อใดใช้สมบัติแจกแจง A. 3(4+2)=12+6 B. 3+4=4+3 C. (2+3)+4=2+(3+4) D. 8+0=8

ดูคำอธิบาย

3(4+2)=3×4+3×2

ตอบ A

ข้อ 8 ข้อใดไม่สามารถใช้สมบัติสลับที่ได้โดยตรง A. การบวก B. การคูณ C. การลบ D. ทั้ง A และ B

ดูคำอธิบาย

การลบไม่เป็นสมบัติสลับที่

ตอบ C

ข้อ 9 ข้อใดถูกต้อง A. 5−2=2−5 B. 8÷4=4÷8 C. 3+7=7+3 D. 6−0=0−6

ดูคำอธิบาย

การบวกสลับที่ได้

ตอบ C

ข้อ 10 ถ้า a เป็นจำนวนจริง แล้ว a+0 เท่ากับข้อใด A. 0 B. 1 C. a D. −a

ดูคำอธิบาย

ตามสมบัติเอกลักษณ์การบวก a+0=a

ตอบ C

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ค่าของ 25+17+75 ควรจัดกลุ่มอย่างไรให้คิดเร็ว A. (25+17)+75 B. 25+(17+75) C. (25+75)+17 D. ทุกแบบเท่ากัน แต่แบบ C เร็วที่สุด

ดูคำอธิบาย

ใช้เปลี่ยนหมู่และสลับที่ให้ 25+75=100

ตอบ D

ข้อ 12 ค่าของ 4×25×7 คิดเร็วได้ด้วยวิธีใด A. 4×(25×7) B. (4×25)×7 C. 25×(4×7) D. ทุกแบบ แต่ B เร็วที่สุด

ดูคำอธิบาย

(4×25)×7=100×7

ตอบ D

ข้อ 13 3(20−2) เท่ากับข้อใด A. 60−2 B. 60−6 C. 23 D. 54

ดูคำอธิบาย

ใช้สมบัติแจกแจง 3×20−3×2=60−6

ตอบ B

ข้อ 14 ถ้า a≠0 แล้ว a×1/a เท่ากับข้อใด A. 0 B. 1 C. a D. 1/a

ดูคำอธิบาย

เป็นสมบัติอินเวอร์สการคูณ

ตอบ B

ข้อ 15 ข้อใดแสดงว่าสมบัติปิดของการบวกเป็นจริง A. 2+3=5 ซึ่งยังเป็นจำนวนจริง B. 2÷0 ไม่มีค่า C. √2 เป็นอตรรกยะ D. 1 เป็นเอกลักษณ์

ดูคำอธิบาย

ผลบวกของจำนวนจริงยังเป็นจำนวนจริง

ตอบ A

ข้อ 16 ข้อใดไม่อยู่ภายใต้สมบัติปิดของจำนวนจริง A. การบวก B. การลบ C. การคูณ D. การหารด้วยศูนย์

ดูคำอธิบาย

การหารด้วยศูนย์นิยามไม่ได้

ตอบ D

ข้อ 17 7×99 คิดเร็วได้ด้วยข้อใด A. 7×(100−1) B. 700−7 C. 693 D. ถูกทุกข้อ

ดูคำอธิบาย

ใช้แจกแจง 7(100−1)=700−7=693

ตอบ D

ข้อ 18 48+19 คิดเร็วแบบชดเชยได้อย่างไร A. 48+20−1 B. 50+19−2 C. 67 D. ถูกทุกข้อ

ดูคำอธิบาย

ทุกวิธีให้ 67 และอาศัยการจัดรูป

ตอบ D

ข้อ 19 ข้อใดเป็นจริงเสมอสำหรับจำนวนจริง a,b A. a−b=b−a B. ab=ba C. a÷b=b÷a D. a²=b²

ดูคำอธิบาย

การคูณมีสมบัติสลับที่

ตอบ B

ข้อ 20 ถ้า x+(-x)=0 สมบัติที่ใช้คือข้อใด A. เอกลักษณ์ B. อินเวอร์สการบวก C. เปลี่ยนหมู่ D. ปิด

ดูคำอธิบาย

−x เป็นอินเวอร์สการบวกของ x

ตอบ B

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

ข้อ 21 ค่าของ 98×102 เท่ากับข้อใด A. 9996 B. 9998 C. 10000 D. 10004

ดูคำอธิบาย

(100−2)(100+2)=10000−4=9996

ตอบ A

ข้อ 22 ค่าของ 49² เท่ากับข้อใด A. 2301 B. 2401 C. 2499 D. 2501

ดูคำอธิบาย

(50−1)²=2500−100+1=2401

ตอบ B

ข้อ 23 ค่าของ 103² เท่ากับข้อใด A. 10409 B. 10509 C. 10609 D. 10709

ดูคำอธิบาย

(100+3)²=10000+600+9=10609

ตอบ C

ข้อ 24 ข้อใดจัดรูปได้ถูกต้อง A. a(b−c)=ab−ac B. a(b−c)=ab−c C. a(b−c)=a−bc D. a(b−c)=ab+ac

ดูคำอธิบาย

แจกแจง a คูณทุกพจน์ในวงเล็บ

ตอบ A

ข้อ 25 ถ้า 25x+75 เท่ากับข้อใด A. 25(x+3) B. 25(x+75) C. 5(x+15) D. x(25+75)

ดูคำอธิบาย

ดึง 25 เป็นตัวประกอบร่วม

ตอบ A

ข้อ 26 ค่าของ 999+275 คิดเร็วที่สุดด้วยข้อใด A. 1000+275−1 B. 999+300−25 C. 1274 D. ถูกทุกข้อ

ดูคำอธิบาย

ทุกวิธีให้ 1274 โดยใช้การชดเชย

ตอบ D

ข้อ 27 ข้อใดเป็นตัวอย่างที่สมบัติสลับที่ใช้ไม่ได้ A. 2+5=5+2 B. 3×4=4×3 C. 8−3≠3−8 D. 6×1=1×6

ดูคำอธิบาย

การลบไม่สลับที่

ตอบ C

ข้อ 28 ถ้า a(b+c)=ab+ac สมบัติใดเป็นหลัก A. ปิด B. แจกแจง C. สลับที่ D. เอกลักษณ์

ดูคำอธิบาย

เป็นนิยามของสมบัติแจกแจง

ตอบ B

ข้อ 29 ค่าของ 64×25 เท่ากับข้อใด A. 1200 B. 1400 C. 1500 D. 1600

ดูคำอธิบาย

64×25=(16×4)×25=16×100=1600

ตอบ D

ข้อ 30 ค่าของ 1001×999 เท่ากับข้อใด A. 998999 B. 999999 C. 1000000 D. 1000999

ดูคำอธิบาย

(1000+1)(1000−1)=1000²−1=999999

ตอบ B

📌

11. สรุปก่อนจบบท

a+b=b+a และ ab=ba

(a+b)+c=a+(b+c)

a(b+c)=ab+ac

a+0=a และ a×1=a

a+(−a)=0 และ a×1/a=1

ฉันระบุสมบัติปิด สลับที่ เปลี่ยนหมู่ และแจกแจงได้
ฉันรู้จักเอกลักษณ์การบวกและการคูณ
ฉันหาอินเวอร์สการบวกและการคูณได้
ฉันจัดกลุ่มตัวเลขเพื่อให้คำนวณเร็วขึ้นได้
ฉันใช้ผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์ช่วยคิดเลขได้

แนวคิดสำคัญที่สุด

สมบัติของจำนวนจริงไม่ใช่สูตรที่ต้องจำแยกกัน แต่เป็นเครื่องมือสำหรับจัดรูปโจทย์ให้คำนวณง่ายและเร็วขึ้น

EP03: สมบัติของจำนวนจริงและเทคนิคจัดรูปคำนวณเร็ว

เส้นทางสู่เป้าหมาย

สมบัติของจำนวนจริงและเทคนิคจัดรูปคำนวณเร็ว

ปัญหานำชวนคิด

1. สมบัติปิด

2. สมบัติสลับที่

3. สมบัติเปลี่ยนหมู่

ตัวอย่าง

4. สมบัติแจกแจง

ตัวอย่าง

5. สมบัติเอกลักษณ์

6. สมบัติอินเวอร์ส

อินเวอร์สการบวก

อินเวอร์สการคูณ

7. เทคนิคจัดรูปเพื่อคิดเลขเร็ว

เทคนิคที่ 1 จัดกลุ่มให้ได้จำนวนกลม

เทคนิคที่ 2 ชดเชย

เทคนิคที่ 3 แจกแจง

เทคนิคที่ 4 ผลต่างกำลังสอง

เทคนิคที่ 5 กำลังสองสมบูรณ์

8. ตัวอย่างประกอบ

ตัวอย่างที่ 1: 36+28+64

ตัวอย่างที่ 2: 8×125×6

ตัวอย่างที่ 3: 9×47

ตัวอย่างที่ 4: 1001×999

ตัวอย่างที่ 5: 103²

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

10. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

11. สรุปก่อนจบบท