EP04 : ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมเทคนิคแยกตัวประกอบเร็ว

🎯

EP04 • Foundation Mathematics

ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมเทคนิคแยกตัวประกอบเร็ว

ทบทวนตัวประกอบ พหุคูณ และจำนวนเฉพาะ ก่อนฝึกหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมนำไปใช้กับโจทย์แบ่งของ เหตุการณ์ซ้ำ และโจทย์แข่งขัน

เป้าหมาย

แยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ได้อย่างถูกต้อง และเลือกใช้ให้ตรงกับสถานการณ์ของโจทย์

❓

ปัญหานำชวนคิด

โจทย์ที่ 1

เชือกเส้นหนึ่งยาว 24 เมตร อีกเส้นยาว 36 เมตร ต้องการตัดให้เป็นท่อนยาวเท่ากันและยาวที่สุด แต่ละท่อนควรยาวกี่เมตร

โจทย์ที่ 2

ไฟดวงหนึ่งกระพริบทุก 12 วินาที อีกดวงกระพริบทุก 18 วินาที จะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งในอีกกี่วินาที

ลองคิดก่อน

โจทย์ใดควรใช้ ห.ร.ม.?
โจทย์ใดควรใช้ ค.ร.น.?
คำว่า “มากที่สุด” กับ “พร้อมกันอีกครั้ง” บอกอะไรเรา?

🧭

1. ตัวประกอบและพหุคูณ

ตัวประกอบ

ตัวประกอบของจำนวนหนึ่ง คือจำนวนที่นำไปหารจำนวนนั้นแล้วลงตัว

ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12

พหุคูณ

พหุคูณของจำนวนหนึ่ง เกิดจากการนำจำนวนนั้นไปคูณด้วยจำนวนนับ

พหุคูณของ 6 คือ 6, 12, 18, 24, 30, ...

จำง่าย

ตัวประกอบใช้ “หาร” ส่วนพหุคูณใช้ “คูณ”

🔢

2. จำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบ

จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มากกว่า 1 และมีตัวหารบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ

36 = 2×18 = 2×2×9 = 2²×3²

60 = 2²×3×5

ข้อควรจำ

1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
2 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียวที่เป็นเลขคู่

🧩

3. ห.ร.ม. คืออะไร

ห.ร.ม. ย่อมาจาก “ตัวหารร่วมมาก” หมายถึงตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุด

ห.ร.ม. = เลือกเฉพาะจำนวนเฉพาะที่ซ้ำกัน และใช้เลขชี้กำลังน้อยที่สุด

ตัวอย่าง

24 = 2³×3

36 = 2²×3²

ห.ร.ม.(24,36)=2²×3=12

🔁

4. ค.ร.น. คืออะไร

ค.ร.น. ย่อมาจาก “ตัวคูณร่วมน้อย” หมายถึงพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด

ค.ร.น. = เลือกจำนวนเฉพาะทุกตัวที่ปรากฏ และใช้เลขชี้กำลังมากที่สุด

ตัวอย่าง

24 = 2³×3

36 = 2²×3²

ค.ร.น.(24,36)=2³×3²=72

⚖️

5. เปรียบเทียบ ห.ร.ม. กับ ค.ร.น.

ห.ร.ม. → ตัวที่ซ้ำกัน → กำลังน้อยสุด

ค.ร.น. → เอาทุกตัว → กำลังมากสุด

เลือกใช้จากคำสำคัญ

แบ่งเท่า ๆ กัน มากที่สุด ยาวที่สุด → ห.ร.ม.
พร้อมกันอีกครั้ง ซ้ำตรงกัน น้อยที่สุดที่หารลงตัว → ค.ร.น.

📐

6. สูตรลัดของจำนวนสองจำนวน

ห.ร.ม. × ค.ร.น. = จำนวนที่ 1 × จำนวนที่ 2

ตัวอย่าง

จำนวนสองจำนวนคือ 12 และ 18

ห.ร.ม. = 6

ค.ร.น. = (12×18)÷6 = 36

ข้อควรระวัง

สูตรนี้ใช้โดยตรงกับจำนวนสองจำนวน

🧪

7. กลับมาแก้ปัญหานำ

โจทย์เชือก

ห.ร.ม.(24,36)=12

ดังนั้นตัดเชือกได้ท่อนละ 12 เมตร

โจทย์ไฟกระพริบ

ค.ร.น.(12,18)=36

ดังนั้นไฟจะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งใน 36 วินาที

⚡

8. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น

หารเป็นส่วนเท่า ๆ กัน → ห.ร.ม.

เหตุการณ์เกิดพร้อมกัน → ค.ร.น.

ห.ร.ม. เลือกกำลังน้อย

ค.ร.น. เลือกกำลังมาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สลับการใช้ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ลืมจำนวนเฉพาะบางตัวตอนหา ค.ร.น.
เลือกเลขชี้กำลังมากสุดตอนหา ห.ร.ม.
ใช้สูตรผลคูณกับจำนวนมากกว่าสองจำนวนโดยตรง

✏️

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 30

ดูเฉลย

18=2×3², 30=2×3×5

ห.ร.ม.=2×3=6

ตอบ 6
จงหา ค.ร.น. ของ 9 และ 12

ดูเฉลย

9=3², 12=2²×3

ค.ร.น.=2²×3²=36

ตอบ 36
ระฆังดังทุก 10 นาทีและ 15 นาที จะดังพร้อมกันอีกในกี่นาที

ดูเฉลย

ค.ร.น.(10,15)=30

ตอบ 30 นาที
ริบบิ้นยาว 42 และ 56 เซนติเมตร ต้องตัดให้ยาวเท่ากันและยาวที่สุด ท่อนละกี่เซนติเมตร

ดูเฉลย

ห.ร.ม.(42,56)=14

ตอบ 14 เซนติเมตร
ถ้า ห.ร.ม. ของ 16 และ 24 เท่ากับ 8 จงหา ค.ร.น.

ดูเฉลย

ค.ร.น.=(16×24)÷8=48

ตอบ 48

🎓

10. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ตัวประกอบของ 12 ข้อใดถูกต้อง A. 1, 2, 3, 4, 6, 12 B. 1, 2, 6, 12 C. 2, 3, 4, 6 D. 1, 3, 6, 9

ดูคำอธิบาย

ตัวประกอบของ 12 คือจำนวนที่หาร 12 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12

ตอบ A

ข้อ 2 ข้อใดเป็นจำนวนเฉพาะ A. 1 B. 2 C. 4 D. 9

ดูคำอธิบาย

2 มีตัวหารบวกเพียง 1 และ 2

ตอบ B

ข้อ 3 18 แยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ตรงกับข้อใด A. 2×9 B. 3×6 C. 2×3² D. 2²×3

ดูคำอธิบาย

18 = 2×9 = 2×3²

ตอบ C

ข้อ 4 ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 24

ดูคำอธิบาย

ตัวประกอบร่วมของ 8 และ 12 คือ 1, 2, 4 ดังนั้น ห.ร.ม. = 4

ตอบ B

ข้อ 5 ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 6 C. 12 D. 24

ดูคำอธิบาย

พหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 4 และ 6 คือ 12

ตอบ C

ข้อ 6 ข้อใดเหมาะกับการใช้ ห.ร.ม. A. หาจังหวะที่เกิดพร้อมกัน B. แบ่งของเป็นกลุ่มเท่า ๆ กันมากที่สุด C. หาคาบเวลาที่ซ้ำกัน D. หาพหุคูณร่วม

ดูคำอธิบาย

โจทย์แบ่งของเท่า ๆ กันมากที่สุดมักใช้ ห.ร.ม.

ตอบ B

ข้อ 7 ข้อใดเหมาะกับการใช้ ค.ร.น. A. แบ่งริบบิ้นให้ยาวเท่ากัน B. แบ่งนักเรียนเป็นกลุ่มใหญ่ที่สุด C. หาว่าเหตุการณ์จะเกิดพร้อมกันอีกเมื่อใด D. หาตัวประกอบร่วม

ดูคำอธิบาย

เหตุการณ์ที่เกิดซ้ำและต้องการเวลาพร้อมกันใช้ ค.ร.น.

ตอบ C

ข้อ 8 ห.ร.ม. ของ 15 และ 25 เท่ากับเท่าใด A. 5 B. 10 C. 15 D. 75

ดูคำอธิบาย

ตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ 5

ตอบ A

ข้อ 9 ค.ร.น. ของ 8 และ 10 เท่ากับเท่าใด A. 20 B. 40 C. 80 D. 16

ดูคำอธิบาย

8=2³ และ 10=2×5 จึงได้ ค.ร.น.=2³×5=40

ตอบ B

ข้อ 10 ข้อใดกล่าวถูกต้อง A. ห.ร.ม. ใช้เลขชี้กำลังมากสุด B. ค.ร.น. ใช้เฉพาะตัวที่ซ้ำ C. ห.ร.ม. ใช้เลขชี้กำลังน้อยสุดของตัวที่ซ้ำ D. ค.ร.น. มีค่าน้อยกว่าห.ร.ม.เสมอ

ดูคำอธิบาย

ห.ร.ม. เลือกเฉพาะจำนวนเฉพาะที่ซ้ำกันและใช้เลขชี้กำลังน้อยสุด

ตอบ C

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 12 C. 18 D. 72

ดูคำอธิบาย

24=2³×3 และ 36=2²×3² เลือกกำลังน้อยสุดได้ 2²×3=12

ตอบ B

ข้อ 12 ค.ร.น. ของ 12 และ 18 เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 18 C. 24 D. 36

ดูคำอธิบาย

12=2²×3 และ 18=2×3² เลือกกำลังมากสุดได้ 2²×3²=36

ตอบ D

ข้อ 13 ห.ร.ม. ของ 18, 24 และ 30 เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 3 C. 6 D. 12

ดูคำอธิบาย

18=2×3², 24=2³×3, 30=2×3×5 จึงได้ 2×3=6

ตอบ C

ข้อ 14 ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 12 เท่ากับเท่าใด A. 12 B. 18 C. 24 D. 48

ดูคำอธิบาย

6=2×3, 8=2³, 12=2²×3 จึงได้ 2³×3=24

ตอบ C

ข้อ 15 ถ้า ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 เท่ากับ 6 แล้ว ค.ร.น. เท่ากับเท่าใด A. 24 B. 30 C. 36 D. 48

ดูคำอธิบาย

ค.ร.น.=(12×18)÷6=36

ตอบ C

ข้อ 16 เชือกยาว 24 เมตร และ 36 เมตร ต้องการตัดเป็นท่อนยาวเท่ากันและยาวที่สุด แต่ละท่อนยาวกี่เมตร A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

ดูคำอธิบาย

ใช้ ห.ร.ม.(24,36)=12

ตอบ B

ข้อ 17 ระฆังใบหนึ่งดังทุก 8 นาที อีกใบดังทุก 12 นาที จะดังพร้อมกันอีกในกี่นาที A. 4 B. 12 C. 20 D. 24

ดูคำอธิบาย

ใช้ ค.ร.น.(8,12)=24

ตอบ D

ข้อ 18 ห.ร.ม. ของ 48 และ 60 เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 12 C. 24 D. 120

ดูคำอธิบาย

48=2⁴×3 และ 60=2²×3×5 จึงได้ 2²×3=12

ตอบ B

ข้อ 19 ค.ร.น. ของ 15 และ 20 เท่ากับเท่าใด A. 5 B. 20 C. 40 D. 60

ดูคำอธิบาย

15=3×5 และ 20=2²×5 จึงได้ 2²×3×5=60

ตอบ D

ข้อ 20 จำนวนสองจำนวนมี ห.ร.ม. เท่ากับ 4 และ ค.ร.น. เท่ากับ 60 ถ้าจำนวนหนึ่งคือ 12 อีกจำนวนคือเท่าใด A. 15 B. 20 C. 24 D. 30

ดูคำอธิบาย

อีกจำนวน=(4×60)÷12=20

ตอบ B

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

ข้อ 21 ค.ร.น. ของ 18, 24 และ 30 เท่ากับเท่าใด A. 120 B. 180 C. 240 D. 360

ดูคำอธิบาย

18=2×3², 24=2³×3, 30=2×3×5 จึงได้ 2³×3²×5=360

ตอบ D

ข้อ 22 ห.ร.ม. ของ 72, 108 และ 180 เท่ากับเท่าใด A. 12 B. 18 C. 36 D. 72

ดูคำอธิบาย

72=2³×3², 108=2²×3³, 180=2²×3²×5 จึงได้ 2²×3²=36

ตอบ C

ข้อ 23 ไฟสามดวงกระพริบทุก 12, 15 และ 18 วินาที จะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งในกี่วินาที A. 90 B. 120 C. 150 D. 180

ดูคำอธิบาย

ค.ร.น.(12,15,18)=180

ตอบ D

ข้อ 24 มีลูกบอลสีแดง 48 ลูก และสีน้ำเงิน 60 ลูก ต้องแบ่งเป็นถุงเท่า ๆ กันโดยแต่ละถุงมีจำนวนสีแดงและสีน้ำเงินเท่ากันมากที่สุด จะแบ่งได้กี่ถุง A. 6 B. 12 C. 24 D. 30

ดูคำอธิบาย

จำนวนถุงมากที่สุดคือ ห.ร.ม.(48,60)=12

ตอบ B

ข้อ 25 จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 8, 12 และ 15 ลงตัวคือข้อใด A. 60 B. 90 C. 120 D. 240

ดูคำอธิบาย

ค.ร.น.(8,12,15)=2³×3×5=120

ตอบ C

ข้อ 26 หาก a และ b เป็นจำนวนบวก และ ห.ร.ม.(a,b)=1 เรียกว่าอย่างไร A. จำนวนคู่ B. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ C. จำนวนประกอบ D. พหุคูณร่วม

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

ตอบ B

ข้อ 27 ถ้า ห.ร.ม.(a,b)=6 และ ค.ร.น.(a,b)=180 แล้ว ab เท่ากับเท่าใด A. 30 B. 186 C. 1080 D. 2160

ดูคำอธิบาย

ab=ห.ร.ม.×ค.ร.น.=6×180=1080

ตอบ C

ข้อ 28 จำนวนสองจำนวนคือ 24 และ x มี ห.ร.ม. เท่ากับ 8 และ ค.ร.น. เท่ากับ 72 ค่า x เท่ากับข้อใด A. 18 B. 24 C. 32 D. 36

ดูคำอธิบาย

x=(8×72)÷24=24

ตอบ B

ข้อ 29 จำนวนน้อยที่สุดที่เมื่อนำไปหารด้วย 6, 8 และ 10 แล้วลงตัวคือข้อใด A. 60 B. 120 C. 180 D. 240

ดูคำอธิบาย

ค.ร.น.(6,8,10)=2³×3×5=120

ตอบ B

ข้อ 30 นักเรียน 84 คน และครู 36 คน ต้องจัดเป็นกลุ่มที่มีจำนวนนักเรียนเท่ากันและจำนวนครูเท่ากัน โดยมีจำนวนกลุ่มมากที่สุด จะได้กี่กลุ่ม A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

ดูคำอธิบาย

จำนวนกลุ่มมากที่สุดคือ ห.ร.ม.(84,36)=12

ตอบ B

📌

11. สรุปก่อนจบบท

ห.ร.ม. → ตัวที่ซ้ำกัน และใช้กำลังน้อยสุด

ค.ร.น. → เอาทุกตัว และใช้กำลังมากสุด

ห.ร.ม. × ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนสองจำนวน

ฉันแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้
ฉันหา ห.ร.ม. ของหลายจำนวนได้
ฉันหา ค.ร.น. ของหลายจำนวนได้
ฉันแยกได้ว่าโจทย์ใดควรใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น.
ฉันใช้สูตรลัดกับจำนวนสองจำนวนได้

แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อโจทย์พูดถึงการแบ่งให้เท่ากันมากที่สุด ให้นึกถึง ห.ร.ม. แต่ถ้าพูดถึงเหตุการณ์ที่กลับมาเกิดพร้อมกันอีกครั้ง ให้นึกถึง ค.ร.น.

EP04 : ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมเทคนิคแยกตัวประกอบเร็ว

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมเทคนิคแยกตัวประกอบเร็ว

ปัญหานำชวนคิด

โจทย์ที่ 1

โจทย์ที่ 2

1. ตัวประกอบและพหุคูณ

ตัวประกอบ

พหุคูณ

2. จำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ

3. ห.ร.ม. คืออะไร

ตัวอย่าง

4. ค.ร.น. คืออะไร

ตัวอย่าง

5. เปรียบเทียบ ห.ร.ม. กับ ค.ร.น.

6. สูตรลัดของจำนวนสองจำนวน

ตัวอย่าง

7. กลับมาแก้ปัญหานำ

โจทย์เชือก

โจทย์ไฟกระพริบ

8. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

10. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอนที่ 1 ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ตอนที่ 2 ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ตอนที่ 3 ระดับยากขึ้น ข้อ 21–30

11. สรุปก่อนจบบท