EP25 : ทฤษฎีพีทาโกรัส ระยะทาง และการประยุกต์

🎯

EP26 • Foundation Mathematics

ทฤษฎีพีทาโกรัส ระยะทาง และการประยุกต์

ใช้ความสัมพันธ์ของด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อหาระยะที่มองไม่เห็น เช่น เส้นทแยงมุม ความสูง และระยะระหว่างจุด

เป้าหมาย

หาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรวจสอบชุดพีทาโกรัส และประยุกต์กับพิกัดฉากได้

❓

1. ปัญหานำ

บันไดยาว 10 เมตร พาดกำแพง โดยปลายล่างห่างกำแพง 6 เมตร ปลายบนสูงจากพื้นเท่าใด

6²+h²=10²

h²=100−36=64

h=8 เมตร

△

2. ส่วนประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านประกอบมุมฉาก คือด้านสองด้านที่สร้างมุม 90°
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่ยาวที่สุด
ด้านตรงข้ามมุมฉากมักแทนด้วย c

ระวัง

ต้องระบุด้านตรงข้ามมุมฉากให้ถูกก่อนใช้สูตร

²

3. ทฤษฎีพีทาโกรัส

a²+b²=c²

a และ b เป็นด้านประกอบมุมฉาก ส่วน c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

3²+4²=9+16=25=5²

จึงได้สามเหลี่ยมมุมฉากด้าน 3, 4 และ 5

🔍

4. การหาด้านที่ไม่ทราบค่า

ถ้าหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

c=√(a²+b²)

ถ้าหาด้านประกอบมุมฉาก

a=√(c²−b²)

จำง่าย

หาด้านยาวที่สุดใช้บวก หาด้านสั้นใช้ลบ

🧠

5. ชุดพีทาโกรัสที่ควรจำ

3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
8, 15, 17
9, 40, 41

ถ้าคูณทุกด้านด้วยจำนวนเดียวกัน ยังเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่น 6,8,10

▭

6. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก

d=√(l²+w²)

สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว s

d=s√2

📍

7. ระยะทางระหว่างสองจุด

จุด (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) สร้างระยะในแนวนอนและแนวตั้ง

d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

ตัวอย่าง (1,2) ถึง (4,6)

d=√(3²+4²)=5

➗

8. จุดกึ่งกลาง

M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

ตัวอย่าง จุด (2,4) และ (6,8)

M=(4,6)

จำง่าย

จุดกึ่งกลางคือการหาค่าเฉลี่ยของพิกัด x และ y แยกกัน

📐

9. การจำแนกชนิดของสามเหลี่ยม

ให้ c เป็นด้านที่ยาวที่สุด

a²+b²=c² → สามเหลี่ยมมุมฉาก

a²+b²>c² → สามเหลี่ยมมุมแหลม

a²+b²<c² → สามเหลี่ยมมุมป้าน

⚡

10. เทคนิคทำข้อสอบ

วาดสามเหลี่ยมมุมฉากจากสถานการณ์
กำหนดด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น c
เขียนสูตรก่อนแทนค่า
ถ้าตัวเลขคล้าย 3-4-5 หรือ 5-12-13 ให้ใช้ชุดจำ
โจทย์พิกัดให้หาผลต่าง x และ y ก่อน
ตรวจว่าคำตอบเป็นความยาวบวกและสมเหตุสมผล

✏️

11. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 9 และ 12 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดูเฉลย
c=√(9²+12²)=√225=15
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก 17 และอีกด้านยาว 8 จงหาด้านที่เหลือ
ดูเฉลย
√(17²−8²)=√225=15
สี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 15 กว้าง 8 จงหาเส้นทแยงมุม
ดูเฉลย
√(15²+8²)=17
หาระยะทางระหว่างจุด (−1,2) และ (5,10)
ดูเฉลย
ผลต่างพิกัดคือ 6 และ 8
d=√(6²+8²)=10
ด้าน 10, 24 และ 26 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
ดูเฉลย
10²+24²=100+576=676=26²
เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

🎓

12. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าใด A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

ดูคำอธิบาย

ใช้ a²+b²=c² ได้ 3²+4²=25 ดังนั้น c=5

ตอบ B

ข้อ 2 ข้อใดเป็นสมการของทฤษฎีพีทาโกรัส A. a+b=c B. a²+b²=c² C. a²−b²=c² D. 2a+2b=c

ดูคำอธิบาย

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²

ตอบ B

ข้อ 3 ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร A. ฐาน B. ความสูง C. ด้านตรงข้ามมุมฉาก D. เส้นมัธยฐาน

ดูคำอธิบาย

ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด

ตอบ C

ข้อ 4 สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก 13 และอีกด้านหนึ่งยาว 5 ด้านที่เหลือยาวเท่าใด A. 8 B. 10 C. 12 D. 18

ดูคำอธิบาย

b²=13²−5²=169−25=144 จึง b=12

ตอบ C

ข้อ 5 ชุดใดเป็นพีทาโกรัสทริเปิล A. 2,3,4 B. 3,4,5 C. 4,5,6 D. 5,6,7

ดูคำอธิบาย

3²+4²=5²

ตอบ B

ข้อ 6 ชุดใดไม่เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก A. 5,12,13 B. 6,8,10 C. 7,24,25 D. 4,5,7

ดูคำอธิบาย

4²+5²=41 ไม่เท่ากับ 7²

ตอบ D

ข้อ 7 สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 มีพื้นที่เท่าใด A. 14 B. 24 C. 48 D. 80

ดูคำอธิบาย

พื้นที่=1/2×6×8=24

ตอบ B

ข้อ 8 สี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 12 กว้าง 5 เส้นทแยงมุมยาวเท่าใด A. 7 B. 13 C. 17 D. 60

ดูคำอธิบาย

d=√(12²+5²)=√169=13

ตอบ B

ข้อ 9 สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 10 เส้นทแยงมุมยาวเท่าใด A. 10 B. 10√2 C. 20 D. 20√2

ดูคำอธิบาย

d=√(10²+10²)=10√2

ตอบ B

ข้อ 10 ถ้าด้านประกอบมุมฉากทั้งสองยาวเท่ากันด้านละ x ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าใด A. x B. 2x C. x√2 D. x²

ดูคำอธิบาย

c=√(x²+x²)=x√2

ตอบ C

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 บันไดยาว 10 เมตร พาดกำแพงโดยปลายล่างห่างกำแพง 6 เมตร ปลายบนสูงจากพื้นเท่าใด A. 4 B. 6 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

สูง=√(10²−6²)=√64=8

ตอบ C

ข้อ 12 เสาธงสูง 12 เมตร มีเชือกยึดจากยอดเสาถึงพื้นห่างโคนเสา 5 เมตร เชือกยาวเท่าใด A. 7 B. 13 C. 17 D. 60

ดูคำอธิบาย

เชือก=√(12²+5²)=13

ตอบ B

ข้อ 13 ระยะทางระหว่างจุด (0,0) และ (3,4) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ดูคำอธิบาย

d=√[(3−0)²+(4−0)²]=5

ตอบ C

ข้อ 14 ระยะทางระหว่างจุด (1,2) และ (4,6) เท่ากับเท่าใด A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

ดูคำอธิบาย

ผลต่างพิกัดคือ 3 และ 4 จึงระยะทาง 5

ตอบ B

ข้อ 15 สูตรระยะทางระหว่างจุด (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) คือข้อใด A. |x₂−x₁|+|y₂−y₁| B. √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²] C. (x₁+x₂)/2 D. x₁y₂−x₂y₁

ดูคำอธิบาย

สูตรระยะทางได้จากทฤษฎีพีทาโกรัส

ตอบ B

ข้อ 16 ระยะทางระหว่างจุด (−2,1) และ (4,1) เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

ดูคำอธิบาย

พิกัด y เท่ากัน ระยะทางคือ |4−(−2)|=6

ตอบ C

ข้อ 17 ระยะทางระหว่างจุด (3,−1) และ (3,5) เท่ากับเท่าใด A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

ดูคำอธิบาย

พิกัด x เท่ากัน ระยะทางคือ |5−(−1)|=6

ตอบ C

ข้อ 18 จุดกึ่งกลางระหว่าง (2,4) และ (6,8) คือข้อใด A. (4,6) B. (8,12) C. (2,2) D. (3,4)

ดูคำอธิบาย

จุดกึ่งกลาง=((2+6)/2,(4+8)/2)=(4,6)

ตอบ A

ข้อ 19 สูตรจุดกึ่งกลางคือข้อใด A. ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) B. (x₂−x₁,y₂−y₁) C. (x₁x₂,y₁y₂) D. (x₁+y₁,x₂+y₂)

ดูคำอธิบาย

เฉลี่ยพิกัด x และพิกัด y แยกกัน

ตอบ A

ข้อ 20 จุดกึ่งกลางของ (−4,2) และ (6,8) คือข้อใด A. (1,5) B. (2,5) C. (1,6) D. (5,1)

ดูคำอธิบาย

((-4+6)/2,(2+8)/2)=(1,5)

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สามเหลี่ยมมีด้านยาว 7,24,25 เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด A. มุมแหลม B. มุมฉาก C. มุมป้าน D. ด้านเท่า

ดูคำอธิบาย

7²+24²=25²

ตอบ B

ข้อ 22 สามเหลี่ยมมีด้านยาว 6,8,11 เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด A. มุมแหลม B. มุมฉาก C. มุมป้าน D. สร้างไม่ได้

ดูคำอธิบาย

6²+8²=100 น้อยกว่า 11²=121 จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

ตอบ C

ข้อ 23 สามเหลี่ยมมีด้านยาว 6,8,9 เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด A. มุมแหลม B. มุมฉาก C. มุมป้าน D. สร้างไม่ได้

ดูคำอธิบาย

6²+8²=100 มากกว่า 9²=81 จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

ตอบ A

ข้อ 24 ถ้า c เป็นด้านยาวที่สุด และ a²+b²>c² สามเหลี่ยมเป็นชนิดใด A. มุมแหลม B. มุมฉาก C. มุมป้าน D. ด้านเท่าเสมอ

ดูคำอธิบาย

ผลรวมกำลังสองของสองด้านมากกว่า c² แสดงว่าเป็นมุมแหลม

ตอบ A

ข้อ 25 ถ้า c เป็นด้านยาวที่สุด และ a²+b²<c² สามเหลี่ยมเป็นชนิดใด A. มุมแหลม B. มุมฉาก C. มุมป้าน D. สร้างไม่ได้เสมอ

ดูคำอธิบาย

ผลรวมกำลังสองของสองด้านน้อยกว่า c² แสดงว่าเป็นมุมป้าน

ตอบ C

ข้อ 26 สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเส้นทแยงมุม 17 และกว้าง 8 ความยาวเท่าใด A. 9 B. 12 C. 15 D. 25

ดูคำอธิบาย

l=√(17²−8²)=√225=15

ตอบ C

ข้อ 27 สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีเส้นทแยงมุม 8√2 ด้านยาวเท่าใด A. 4 B. 8 C. 8√2 D. 16

ดูคำอธิบาย

d=s√2 ดังนั้น s=8

ตอบ B

ข้อ 28 ระยะทางจากจุด (−1,−2) ถึง (2,2) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ดูคำอธิบาย

ผลต่างพิกัดคือ 3 และ 4 จึงระยะทาง 5

ตอบ C

ข้อ 29 จุด A(0,0), B(6,0), C(6,8) ความยาว AC เท่ากับเท่าใด A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

ดูคำอธิบาย

AC=√(6²+8²)=10

ตอบ B

ข้อ 30 รูปสี่เหลี่ยมมีด้านตรงข้ามยาว 9 และ 12 โดยทำมุมฉากกัน เส้นทแยงมุมยาวเท่าใด A. 15 B. 18 C. 21 D. 108

ดูคำอธิบาย

d=√(9²+12²)=√225=15

ตอบ A

📌

13. สรุป

a²+b²=c²

c=√(a²+b²)

a=√(c²−b²)

ระยะทาง d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

จุดกึ่งกลาง M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

c คือด้านตรงข้ามมุมฉากและยาวที่สุด
ชุด 3-4-5, 5-12-13 และ 8-15-17 ควรจำ
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมใช้พีทาโกรัส
สูตรระยะทางเกิดจากพีทาโกรัส
เปรียบเทียบ a²+b² กับ c² เพื่อจำแนกชนิดสามเหลี่ยม

จำเป็นขั้นตอน

วาดรูป → หา c → เลือกบวกหรือลบ → ถอดราก → ตรวจความสมเหตุสมผล

EP25 : ทฤษฎีพีทาโกรัส ระยะทาง และการประยุกต์

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ทฤษฎีพีทาโกรัส ระยะทาง และการประยุกต์

1. ปัญหานำ

2. ส่วนประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. ทฤษฎีพีทาโกรัส

4. การหาด้านที่ไม่ทราบค่า

5. ชุดพีทาโกรัสที่ควรจำ

6. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม

7. ระยะทางระหว่างสองจุด

8. จุดกึ่งกลาง

9. การจำแนกชนิดของสามเหลี่ยม

10. เทคนิคทำข้อสอบ

11. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

12. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

13. สรุป