EP27 : ความชัน สมการเส้นตรง และกราฟเชิงเส้น

🎯

EP28 • Foundation Mathematics

ความชัน สมการเส้นตรง และกราฟเชิงเส้น

ฝึกอ่านทิศทางของเส้นตรง เขียนสมการจากข้อมูล และวิเคราะห์เส้นขนานกับเส้นตั้งฉาก

เป้าหมาย

หาความชัน เขียนสมการเส้นตรง หาจุดตัดแกน และตรวจความสัมพันธ์ของเส้นตรงสองเส้นได้

❓

1. ปัญหานำ

เส้นตรงผ่านจุด (1,2) และ (3,6) มีความชันและสมการเป็นอย่างไร

m=(6−2)/(3−1)=4/2=2

y−2=2(x−1)

y=2x

📈

2. ความหมายของความชัน

ความชันบอกว่าเมื่อ x เปลี่ยนไป 1 หน่วย ค่า y เปลี่ยนไปกี่หน่วย

m=การเปลี่ยนแปลงของ y / การเปลี่ยนแปลงของ x

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

m>0 เส้นลาดขึ้นจากซ้ายไปขวา
m<0 เส้นลาดลงจากซ้ายไปขวา
m=0 เป็นเส้นแนวนอน
ความชันไม่กำหนด เป็นเส้นแนวตั้ง

🧮

3. การหาความชันจากสองจุด

กำหนดจุด (x₁,y₁) และ (x₂,y₂)

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

ตัวอย่าง จุด (0,−2) และ (4,6)

m=(6+2)/(4−0)=8/4=2

ระวัง

ลำดับการลบของตัวเศษและตัวส่วนต้องตรงกัน

✍️

4. สมการรูป y=mx+b

y=mx+b

m คือความชัน
b คือจุดตัดแกน y

ตัวอย่าง y=3x−5 มีความชัน 3 และตัดแกน y ที่ (0,−5)

📍

5. สมการแบบจุด–ความชัน

ถ้ารู้ความชัน m และจุด (x₁,y₁)

y−y₁=m(x−x₁)

ตัวอย่าง ความชัน 3 ผ่านจุด (2,5)

y−5=3(x−2)

y=3x−1

🔢

6. การเขียนสมการจากสองจุด

หาความชันจากสองจุด
เลือกจุดใดจุดหนึ่งแทนในสูตรจุด–ความชัน
จัดรูปเป็น y=mx+b

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

y−y₁=m(x−x₁)

✖️

7. จุดตัดแกน x และแกน y

หาจุดตัดแกน x ให้แทน y=0
หาจุดตัดแกน y ให้แทน x=0

ตัวอย่าง y=2x−6

จุดตัดแกน x: 0=2x−6 ⇒ x=3 ⇒ (3,0)

จุดตัดแกน y: x=0 ⇒ y=−6 ⇒ (0,−6)

∥

8. เส้นตรงขนาน

เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

ตัวอย่าง y=2x+1 และ y=2x−5 ขนานกัน เพราะมีความชันเท่ากับ 2

จำง่าย

ขนาน = ความชันเหมือนกัน แต่จุดตัดแกน y ต่างกัน

⊥

9. เส้นตรงตั้งฉาก

m₁m₂=−1

หรือความชันของอีกเส้นคือค่ากลับและเปลี่ยนเครื่องหมาย

m=3 ⇒ ความชันตั้งฉาก=−1/3

m=−2 ⇒ ความชันตั้งฉาก=1/2

↕️

10. เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง

y=k เป็นเส้นแนวนอน และมีความชัน 0

x=k เป็นเส้นแนวตั้ง และความชันไม่กำหนด

ตัวอย่าง y=4 ผ่านทุกจุดที่มีพิกัด y เท่ากับ 4 ส่วน x=−2 ผ่านทุกจุดที่มีพิกัด x เท่ากับ −2

⚡

11. เทคนิคทำข้อสอบ

ถ้าให้สองจุด ให้หาความชันก่อน
ถ้าอยู่ในรูป y=mx+b ให้อ่าน m และ b ได้ทันที
หาจุดตัดแกน x ให้ y=0
หาจุดตัดแกน y ให้ x=0
เส้นขนานใช้ความชันเดิม
เส้นตั้งฉากกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตรวจเสมอ

หลังได้สมการ ให้นำจุดที่โจทย์กำหนดกลับไปแทนเพื่อตรวจคำตอบ

✏️

12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

หาความชันของเส้นตรงผ่านจุด (−1,2) และ (3,10)
ดูเฉลย
m=(10−2)/(3+1)=8/4=2
เขียนสมการเส้นตรงที่มีความชัน 4 และตัดแกน y ที่ −3
ดูเฉลย
y=4x−3
เขียนสมการเส้นตรงผ่านจุด (2,7) และมีความชัน −2
ดูเฉลย
y−7=−2(x−2)
y=−2x+11
เส้นตรง y=3x+5 มีจุดตัดแกน x เท่าใด
ดูเฉลย
ให้ y=0 ได้ 0=3x+5
x=−5/3 จุดตัดคือ (−5/3,0)
เขียนสมการเส้นตรงผ่านจุด (1,4) และตั้งฉากกับ y=2x−3
ดูเฉลย
ความชันใหม่=−1/2
y−4=−1/2(x−1)
y=−1/2x+9/2

🎓

13. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ความชันของเส้นตรงคำนวณจากสูตรใด A. (x₂−x₁)/(y₂−y₁) B. (y₂−y₁)/(x₂−x₁) C. x₁+x₂ D. y₁+y₂

ดูคำอธิบาย

ความชัน m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

ตอบ B

ข้อ 2 เส้นตรงผ่านจุด (0,0) และ (2,4) มีความชันเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

m=(4−0)/(2−0)=2

ตอบ B

ข้อ 3 เส้นตรงผ่านจุด (1,3) และ (5,3) มีความชันเท่าใด A. 0 B. 1 C. 3 D. ไม่กำหนด

ดูคำอธิบาย

ค่า y เท่ากัน เป็นเส้นแนวนอน จึงมีความชัน 0

ตอบ A

ข้อ 4 เส้นตรงผ่านจุด (2,1) และ (2,7) มีความชันเป็นอย่างไร A. 0 B. 1 C. 6 D. ไม่กำหนด

ดูคำอธิบาย

ค่า x เท่ากัน ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 จึงเป็นเส้นแนวตั้งและความชันไม่กำหนด

ตอบ D

ข้อ 5 ในสมการ y=mx+b ตัว m หมายถึงอะไร A. จุดตัดแกน x B. จุดตัดแกน y C. ความชัน D. ระยะทาง

ดูคำอธิบาย

m คือความชันของเส้นตรง

ตอบ C

ข้อ 6 ในสมการ y=mx+b ตัว b หมายถึงอะไร A. จุดตัดแกน y B. จุดตัดแกน x C. ความชัน D. จุดกึ่งกลาง

ดูคำอธิบาย

b คือค่าของ y เมื่อ x=0 หรือจุดตัดแกน y

ตอบ A

ข้อ 7 สมการ y=3x+2 มีความชันเท่าใด A. 2 B. 3 C. 5 D. −3

ดูคำอธิบาย

สัมประสิทธิ์ของ x คือความชัน

ตอบ B

ข้อ 8 สมการ y=−2x+5 ตัดแกน y ที่จุดใด A. (−2,0) B. (0,−2) C. (5,0) D. (0,5)

ดูคำอธิบาย

เมื่อ x=0 จะได้ y=5

ตอบ D

ข้อ 9 เส้นตรงที่มีความชันเป็นบวกมีลักษณะอย่างไร A. ลาดลงจากซ้ายไปขวา B. ลาดขึ้นจากซ้ายไปขวา C. แนวนอน D. แนวตั้ง

ดูคำอธิบาย

เมื่อ x เพิ่ม y เพิ่ม เส้นจึงลาดขึ้น

ตอบ B

ข้อ 10 เส้นตรงที่มีความชันเป็นลบมีลักษณะอย่างไร A. ลาดลงจากซ้ายไปขวา B. ลาดขึ้นจากซ้ายไปขวา C. แนวนอน D. แนวตั้ง

ดูคำอธิบาย

เมื่อ x เพิ่ม y ลด เส้นจึงลาดลง

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 สมการเส้นตรงที่มีความชัน 2 และตัดแกน y ที่ 3 คือข้อใด A. y=2x+3 B. y=3x+2 C. y=2x−3 D. y=x+5

ดูคำอธิบาย

แทน m=2 และ b=3 ใน y=mx+b

ตอบ A

ข้อ 12 จุดใดอยู่บนเส้นตรง y=2x+1 A. (1,1) B. (1,2) C. (1,3) D. (2,3)

ดูคำอธิบาย

เมื่อ x=1 จะได้ y=3

ตอบ C

ข้อ 13 เมื่อ x=3 ในสมการ y=4x−5 ค่า y เท่ากับเท่าใด A. 7 B. 12 C. 17 D. −7

ดูคำอธิบาย

y=4(3)−5=7

ตอบ A

ข้อ 14 เมื่อ y=9 ในสมการ y=2x+1 ค่า x เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

ดูคำอธิบาย

9=2x+1 ได้ 2x=8 จึง x=4

ตอบ B

ข้อ 15 เส้นตรงผ่านจุด (0,4) และมีความชัน −1 มีสมการใด A. y=x+4 B. y=−x+4 C. y=4x−1 D. y=−4x+1

ดูคำอธิบาย

ใช้ y=mx+b ได้ y=−x+4

ตอบ B

ข้อ 16 สมการ x=5 แทนเส้นตรงชนิดใด A. แนวนอน B. แนวตั้ง C. ผ่านจุดกำเนิด D. ความชัน 5

ดูคำอธิบาย

x คงที่เป็นเส้นแนวตั้ง

ตอบ B

ข้อ 17 สมการ y=−3 แทนเส้นตรงชนิดใด A. แนวนอน B. แนวตั้ง C. ลาดขึ้น D. ผ่านจุดกำเนิด

ดูคำอธิบาย

y คงที่เป็นเส้นแนวนอน

ตอบ A

ข้อ 18 เส้นตรงผ่านจุด (2,5) และมีความชัน 3 เขียนแบบจุด-ความชันได้อย่างไร A. y−5=3(x−2) B. y+5=3(x+2) C. y−2=3(x−5) D. y=3x+5

ดูคำอธิบาย

ใช้สูตร y−y₁=m(x−x₁)

ตอบ A

ข้อ 19 เส้นตรงผ่านจุด (1,2) และ (3,6) มีสมการใด A. y=x+1 B. y=2x C. y=3x−1 D. y=2x+2

ดูคำอธิบาย

ความชัน=(6−2)/(3−1)=2 และแทนจุดได้ b=0

ตอบ B

ข้อ 20 เส้นตรงผ่านจุด (0,−2) และ (4,6) มีความชันเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

m=(6−(−2))/(4−0)=8/4=2

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 เส้นตรงสองเส้นขนานกันมีความสัมพันธ์ของความชันอย่างไร A. ผลคูณเท่ากับ −1 B. เท่ากัน C. รวมกันเป็น 0 D. ไม่มีความสัมพันธ์

ดูคำอธิบาย

เส้นตรงขนานมีความชันเท่ากัน

ตอบ B

ข้อ 22 เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันมีความสัมพันธ์ของความชันอย่างไร A. m₁=m₂ B. m₁+m₂=1 C. m₁m₂=−1 D. m₁m₂=1

ดูคำอธิบาย

สำหรับเส้นที่ไม่เป็นแนวตั้ง ผลคูณความชันเท่ากับ −1

ตอบ C

ข้อ 23 เส้นตรง y=2x+1 ขนานกับเส้นใด A. y=2x−5 B. y=−2x+1 C. y=1/2x+3 D. y=−1/2x+2

ดูคำอธิบาย

เส้นขนานต้องมีความชันเท่ากันคือ 2

ตอบ A

ข้อ 24 เส้นตรง y=3x−4 ตั้งฉากกับเส้นใด A. y=3x+1 B. y=−3x+2 C. y=1/3x+5 D. y=−1/3x+5

ดูคำอธิบาย

ความชันตั้งฉากกับ 3 คือ −1/3

ตอบ D

ข้อ 25 เส้นตรง 2x+y=6 เขียนในรูป y=mx+b ได้อย่างไร A. y=2x+6 B. y=−2x+6 C. y=2x−6 D. y=−x+3

ดูคำอธิบาย

ย้าย 2x ไปอีกข้างได้ y=−2x+6

ตอบ B

ข้อ 26 สมการ 3x−2y=8 มีความชันเท่าใด A. −3/2 B. 2/3 C. 3/2 D. −2/3

ดูคำอธิบาย

จัดรูป −2y=−3x+8 จึง y=3/2x−4

ตอบ C

ข้อ 27 จุดตัดแกน x ของเส้นตรง y=2x−6 คือจุดใด A. (0,−6) B. (3,0) C. (−3,0) D. (0,3)

ดูคำอธิบาย

ให้ y=0 จะได้ 0=2x−6 จึง x=3

ตอบ B

ข้อ 28 จุดตัดแกน y ของสมการ 3x+2y=12 คือจุดใด A. (4,0) B. (0,4) C. (6,0) D. (0,6)

ดูคำอธิบาย

ให้ x=0 จะได้ 2y=12 จึง y=6

ตอบ D

ข้อ 29 สมการเส้นตรงผ่านจุด (2,3) และขนานกับ y=4x−1 คือข้อใด A. y=4x−5 B. y=−4x+11 C. y=1/4x+5/2 D. y=4x+5

ดูคำอธิบาย

ใช้ความชัน 4 และแทนจุด 3=8+b ได้ b=−5

ตอบ A

ข้อ 30 สมการเส้นตรงผ่านจุด (2,3) และตั้งฉากกับ y=2x+1 คือข้อใด A. y=2x−1 B. y=−2x+7 C. y=−1/2x+4 D. y=1/2x+2

ดูคำอธิบาย

ความชันตั้งฉากคือ −1/2 และแทนจุดได้ 3=−1+ b จึง b=4

ตอบ C

📌

14. สรุป

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

y=mx+b

y−y₁=m(x−x₁)

เส้นขนาน: m₁=m₂

เส้นตั้งฉาก: m₁m₂=−1

m บอกความชันของเส้นตรง
b คือจุดตัดแกน y
จุดตัดแกน x ให้แทน y=0
จุดตัดแกน y ให้แทน x=0
y=k เป็นเส้นแนวนอน และ x=k เป็นเส้นแนวตั้ง

จำเป็นขั้นตอน

หาความชัน → เลือกรูปสมการ → แทนจุด → จัดรูป → ตรวจคำตอบ

EP27 : ความชัน สมการเส้นตรง และกราฟเชิงเส้น

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ความชัน สมการเส้นตรง และกราฟเชิงเส้น

1. ปัญหานำ

2. ความหมายของความชัน

3. การหาความชันจากสองจุด

4. สมการรูป y=mx+b

5. สมการแบบจุด–ความชัน

6. การเขียนสมการจากสองจุด

7. จุดตัดแกน x และแกน y

8. เส้นตรงขนาน

9. เส้นตรงตั้งฉาก

10. เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง

11. เทคนิคทำข้อสอบ

12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

13. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

14. สรุป