EP28 : เรขาคณิตวิเคราะห์และสมการวงกลม

🎯

EP29 • Foundation Mathematics

เรขาคณิตวิเคราะห์และสมการวงกลม

เชื่อมความรู้เรื่องระยะทาง จุดกึ่งกลาง และสมการบนระนาบพิกัด เพื่อวิเคราะห์วงกลมอย่างเป็นระบบ

เป้าหมาย

อ่านศูนย์กลางและรัศมี เขียนสมการวงกลม ตรวจตำแหน่งของจุด และจัดสมการทั่วไปเป็นรูปมาตรฐานได้

❓

1. ปัญหานำ

วงกลมมีศูนย์กลางที่ (3,2) และรัศมี 4 หน่วย จะเขียนสมการได้อย่างไร

(x−h)²+(y−k)²=r²

(x−3)²+(y−2)²=16

⭕

2. ความหมายของวงกลมบนระนาบพิกัด

วงกลมคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน

ระยะจากจุด (x,y) ถึงศูนย์กลาง (h,k) เท่ากับ r

√[(x−h)²+(y−k)²]=r

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้สมการมาตรฐานของวงกลม

📌

3. สมการวงกลมรูปมาตรฐาน

(x−h)²+(y−k)²=r²

ศูนย์กลางคือ (h,k)
รัศมีคือ r

ระวังเครื่องหมาย

(x+3)² หมายถึง h=−3 และ (y−2)² หมายถึง k=2

🎯

4. วงกลมศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

เมื่อ h=0 และ k=0

x²+y²=r²

ตัวอย่าง x²+y²=25 มีศูนย์กลาง (0,0) และรัศมี 5

✍️

5. การเขียนสมการจากศูนย์กลางและรัศมี

อ่านศูนย์กลาง (h,k)
อ่านรัศมี r
แทนใน (x−h)²+(y−k)²=r²

ตัวอย่าง ศูนย์กลาง (−4,1) รัศมี 3

(x+4)²+(y−1)²=9

📍

6. ตำแหน่งของจุดเทียบกับวงกลม

แทนจุด (x,y) ลงในด้านซ้ายของสมการ

ผลลัพธ์ = r² → จุดอยู่บนวงกลม

ผลลัพธ์ < r² → จุดอยู่ภายในวงกลม

ผลลัพธ์ > r² → จุดอยู่ภายนอกวงกลม

↔️

7. ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง

เมื่อทราบปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง A และ B

ศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของ A และ B
รัศมีคือครึ่งหนึ่งของระยะ AB

ศูนย์กลาง=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

r=1/2√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

🧩

8. การจัดกำลังสองสมบูรณ์

สมการทั่วไปอาจอยู่ในรูป

x²+y²+Dx+Ey+F=0

จัดกลุ่มพจน์ x และ y แล้วทำกำลังสองสมบูรณ์

x²−6x=(x−3)²−9

y²−8y=(y−4)²−16

🔍

9. ตัวอย่างจัดรูปสมการวงกลม

กำหนด x²+y²−6x−8y=0

(x²−6x+9)+(y²−8y+16)=25

(x−3)²+(y−4)²=25

ศูนย์กลางคือ (3,4) และรัศมี 5

✂️

10. จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม

แทนสมการเส้นตรงลงในสมการวงกลม

ได้คำตอบ 2 จุด → เส้นตรงตัดวงกลม
ได้คำตอบ 1 จุด → เส้นตรงสัมผัสวงกลม
ไม่มีคำตอบจริง → เส้นตรงไม่ตัดวงกลม

ตัวอย่าง y=0 กับ x²+y²=16 ได้ x=±4

⚡

11. เทคนิคทำข้อสอบ

มองหารูป (x−h)²+(y−k)²=r²
อ่านเครื่องหมายของ h และ k แบบตรงข้ามในวงเล็บ
รัศมีต้องถอดรากจาก r²
ถ้าให้ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้หาจุดกึ่งกลางก่อน
สมการทั่วไปให้จัดกำลังสองสมบูรณ์
ตรวจคำตอบโดยแทนศูนย์กลางหรือจุดที่โจทย์กำหนด

✏️

12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

จงหาศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม (x−2)²+(y+5)²=49
ดูเฉลย
ศูนย์กลาง (2,−5) และรัศมี 7
เขียนสมการวงกลมศูนย์กลาง (−3,4) รัศมี 6
ดูเฉลย
(x+3)²+(y−4)²=36
จุด (3,4) อยู่บนวงกลม x²+y²=25 หรือไม่
ดูเฉลย
3²+4²=25
อยู่บนวงกลม
ปลายเส้นผ่านศูนย์กลางคือ (−2,1) และ (4,9) จงหาศูนย์กลาง
ดูเฉลย
ศูนย์กลาง=((−2+4)/2,(1+9)/2)=(1,5)
จัด x²+y²+2x−4y−20=0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน
ดูเฉลย
x²+2x+1+y²−4y+4=25
(x+1)²+(y−2)²=25

🎓

13. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 สมการวงกลมศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี r คือข้อใด A. x+y=r B. x²+y²=r² C. (x+y)²=r D. x²−y²=r²

ดูคำอธิบาย

วงกลมศูนย์กลาง (0,0) มีสมการ x²+y²=r²

ตอบ B

ข้อ 2 วงกลม x²+y²=25 มีรัศมีเท่าใด A. 5 B. 10 C. 25 D. √5

ดูคำอธิบาย

r²=25 จึง r=5

ตอบ A

ข้อ 3 วงกลม x²+y²=49 มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดใด A. (7,0) B. (0,7) C. (0,0) D. (7,7)

ดูคำอธิบาย

สมการไม่มีการเลื่อนแกน จึงมีศูนย์กลางที่ (0,0)

ตอบ C

ข้อ 4 สมการวงกลมศูนย์กลาง (h,k) รัศมี r คือข้อใด A. (x+h)²+(y+k)²=r B. (x−h)²+(y−k)²=r² C. x²+y²=h+k D. (x−r)²+(y−r)²=h²

ดูคำอธิบาย

รูปมาตรฐานคือ (x−h)²+(y−k)²=r²

ตอบ B

ข้อ 5 วงกลม (x−3)²+(y−2)²=16 มีศูนย์กลางเท่าใด A. (−3,−2) B. (3,2) C. (3,−2) D. (−3,2)

ดูคำอธิบาย

อ่านจาก (x−h)²+(y−k)² ได้ศูนย์กลาง (3,2)

ตอบ B

ข้อ 6 วงกลม (x−3)²+(y−2)²=16 มีรัศมีเท่าใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

r²=16 จึง r=4

ตอบ B

ข้อ 7 วงกลม (x+5)²+(y−1)²=9 มีศูนย์กลางเท่าใด A. (5,1) B. (−5,1) C. (−5,−1) D. (5,−1)

ดูคำอธิบาย

x+5=x−(−5) จึง h=−5 และ k=1

ตอบ B

ข้อ 8 วงกลม (x+2)²+(y+4)²=36 มีรัศมีเท่าใด A. 3 B. 6 C. 12 D. 36

ดูคำอธิบาย

r²=36 จึง r=6

ตอบ B

ข้อ 9 จุดใดอยู่บนวงกลม x²+y²=25 A. (3,4) B. (2,4) C. (1,5) D. (5,5)

ดูคำอธิบาย

3²+4²=9+16=25

ตอบ A

ข้อ 10 จุด (1,2) อยู่ตำแหน่งใดเมื่อเทียบกับวงกลม x²+y²=25 A. บนวงกลม B. ภายในวงกลม C. ภายนอกวงกลม D. บอกไม่ได้

ดูคำอธิบาย

1²+2²=5 ซึ่งน้อยกว่า 25 จึงอยู่ภายใน

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 จุด (6,0) อยู่ตำแหน่งใดเมื่อเทียบกับวงกลม x²+y²=25 A. บนวงกลม B. ภายในวงกลม C. ภายนอกวงกลม D. ที่ศูนย์กลาง

ดูคำอธิบาย

6²=36 มากกว่า 25 จึงอยู่ภายนอก

ตอบ C

ข้อ 12 วงกลมศูนย์กลาง (2,−3) รัศมี 5 มีสมการใด A. (x−2)²+(y+3)²=25 B. (x+2)²+(y−3)²=25 C. (x−2)²+(y−3)²=5 D. (x+2)²+(y+3)²=5

ดูคำอธิบาย

แทน h=2, k=−3 และ r=5

ตอบ A

ข้อ 13 วงกลมศูนย์กลาง (−4,1) รัศมี 3 มีสมการใด A. (x−4)²+(y+1)²=9 B. (x+4)²+(y−1)²=9 C. (x+4)²+(y+1)²=3 D. (x−4)²+(y−1)²=9

ดูคำอธิบาย

แทน h=−4, k=1 และ r=3

ตอบ B

ข้อ 14 ถ้าปลายเส้นผ่านศูนย์กลางคือ (−3,0) และ (3,0) ศูนย์กลางคือจุดใด A. (0,0) B. (3,0) C. (−3,0) D. (0,3)

ดูคำอธิบาย

ศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง

ตอบ A

ข้อ 15 จากข้อก่อน วงกลมมีรัศมีเท่าใด A. 3 B. 6 C. 9 D. √3

ดูคำอธิบาย

ระยะจากศูนย์กลาง (0,0) ถึง (3,0) เท่ากับ 3

ตอบ A

ข้อ 16 วงกลมมีปลายเส้นผ่านศูนย์กลางที่ (0,0) และ (6,8) ศูนย์กลางคือจุดใด A. (3,4) B. (6,8) C. (0,0) D. (3,8)

ดูคำอธิบาย

จุดกึ่งกลางคือ ((0+6)/2,(0+8)/2)=(3,4)

ตอบ A

ข้อ 17 จากข้อก่อน ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด A. 5 B. 10 C. 25 D. 100

ดูคำอธิบาย

ระยะระหว่าง (0,0) และ (6,8) คือ 10

ตอบ B

ข้อ 18 จากข้อก่อน รัศมีเท่าใด A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 20

ดูคำอธิบาย

รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ตอบ B

ข้อ 19 วงกลม x²+y²−6x−8y=0 มีศูนย์กลางเท่าใด A. (−3,−4) B. (3,4) C. (6,8) D. (−6,−8)

ดูคำอธิบาย

จัดกำลังสองสมบูรณ์ได้ (x−3)²+(y−4)²=25

ตอบ B

ข้อ 20 วงกลม x²+y²−6x−8y=0 มีรัศมีเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 25

ดูคำอธิบาย

จากรูปมาตรฐานได้ r²=25 จึง r=5

ตอบ C

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สมการ x²+y²+4x−6y−12=0 จัดรูปมาตรฐานได้ข้อใด A. (x+2)²+(y−3)²=25 B. (x−2)²+(y+3)²=25 C. (x+4)²+(y−6)²=12 D. (x+2)²+(y+3)²=12

ดูคำอธิบาย

จัดกำลังสองสมบูรณ์: (x+2)²+(y−3)²=25

ตอบ A

ข้อ 22 วงกลม x²+y²+4x−6y−12=0 มีศูนย์กลางเท่าใด A. (2,−3) B. (−2,3) C. (−4,6) D. (4,−6)

ดูคำอธิบาย

จากรูปมาตรฐาน ศูนย์กลางคือ (−2,3)

ตอบ B

ข้อ 23 วงกลม x²+y²+4x−6y−12=0 มีรัศมีเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 12

ดูคำอธิบาย

รูปมาตรฐานมี r²=25 จึง r=5

ตอบ C

ข้อ 24 เส้นตรง y=0 ตัดวงกลม x²+y²=16 ที่จุดใด A. (0,±4) B. (±4,0) C. (±2,0) D. (0,±2)

ดูคำอธิบาย

แทน y=0 ได้ x²=16 จึง x=±4

ตอบ B

ข้อ 25 เส้นตรง x=0 ตัดวงกลม x²+y²=9 ที่จุดใด A. (±3,0) B. (0,±3) C. (±9,0) D. (0,±9)

ดูคำอธิบาย

แทน x=0 ได้ y²=9 จึง y=±3

ตอบ B

ข้อ 26 เส้นตรง y=5 สัมผัสวงกลม x²+y²=25 ที่จุดใด A. (0,5) B. (5,0) C. (0,−5) D. (5,5)

ดูคำอธิบาย

แทน y=5 ได้ x²+25=25 จึง x=0 มีจุดตัดเพียงจุดเดียว

ตอบ A

ข้อ 27 ระยะจากศูนย์กลางวงกลม (2,1) ถึงจุด (5,5) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ดูคำอธิบาย

ระยะ=√[(5−2)²+(5−1)²]=√25=5

ตอบ C

ข้อ 28 วงกลมศูนย์กลาง (2,1) ผ่านจุด (5,5) มีสมการใด A. (x−2)²+(y−1)²=25 B. (x+2)²+(y+1)²=25 C. (x−5)²+(y−5)²=25 D. (x−2)²+(y−1)²=5

ดูคำอธิบาย

รัศมีคือ 5 จึง r²=25

ตอบ A

ข้อ 29 วงกลมศูนย์กลาง (−1,2) สัมผัสแกน x มีรัศมีเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. √5

ดูคำอธิบาย

ระยะจากศูนย์กลางถึงแกน x เท่ากับ |2|=2

ตอบ B

ข้อ 30 วงกลมศูนย์กลาง (−1,2) สัมผัสแกน x มีสมการใด A. (x+1)²+(y−2)²=4 B. (x−1)²+(y+2)²=4 C. (x+1)²+(y−2)²=2 D. (x−1)²+(y−2)²=4

ดูคำอธิบาย

ศูนย์กลาง (−1,2) และรัศมี 2 จึง r²=4

ตอบ A

📌

14. สรุป

(x−h)²+(y−k)²=r²

ศูนย์กลาง=(h,k)

รัศมี=r

ศูนย์กลางจากเส้นผ่านศูนย์กลาง = จุดกึ่งกลาง

รัศมี = ครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง

เครื่องหมายในวงเล็บตรงข้ามกับพิกัดศูนย์กลาง
ค่าด้านขวาคือ r² ไม่ใช่ r
แทนจุดเพื่อตรวจว่าอยู่ภายใน บน หรือภายนอกวงกลม
สมการทั่วไปต้องจัดกำลังสองสมบูรณ์
เส้นสัมผัสมีจุดร่วมกับวงกลมเพียงจุดเดียว

จำเป็นขั้นตอน

จัดรูปมาตรฐาน → อ่านศูนย์กลาง → ถอดรากหารัศมี → ตรวจจุดหรือเส้นตรง → สรุปคำตอบ

EP28 : เรขาคณิตวิเคราะห์และสมการวงกลม

เส้นทางสู่เป้าหมาย

เรขาคณิตวิเคราะห์และสมการวงกลม

1. ปัญหานำ

2. ความหมายของวงกลมบนระนาบพิกัด

3. สมการวงกลมรูปมาตรฐาน

4. วงกลมศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

5. การเขียนสมการจากศูนย์กลางและรัศมี

6. ตำแหน่งของจุดเทียบกับวงกลม

7. ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง

8. การจัดกำลังสองสมบูรณ์

9. ตัวอย่างจัดรูปสมการวงกลม

10. จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม

11. เทคนิคทำข้อสอบ

12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

13. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

14. สรุป