EP29 : เวกเตอร์เบื้องต้นบนระนาบ

🎯

EP30 • Foundation Mathematics

เวกเตอร์เบื้องต้นบนระนาบ

เรียนรู้การแทนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง พร้อมเชื่อมโยงกับพิกัด ระยะทาง แรง และการกระจัด

เป้าหมาย

เขียนเวกเตอร์จากสองจุด หาขนาด บวก–ลบเวกเตอร์ หาเวกเตอร์หน่วย และตรวจเวกเตอร์ขนานหรือตั้งฉากได้

❓

1. ปัญหานำ

ทหารเดินไปทางตะวันออก 6 เมตร แล้วเดินไปทางเหนือ 8 เมตร ระยะทางรวมเท่ากับ 14 เมตร แต่การกระจัดจากจุดเริ่มต้นมีขนาดเท่าใด

การกระจัด=(6,8)

ขนาด=√(6²+8²)=10 เมตร

จุดสำคัญ

ระยะทางเป็นสเกลาร์ แต่การกระจัดเป็นเวกเตอร์

➡️

2. เวกเตอร์และสเกลาร์

สเกลาร์ มีเพียงขนาด เช่น มวล เวลา ระยะทาง และอุณหภูมิ
เวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง และการกระจัด

เวกเตอร์บนระนาบเขียนได้เป็น v=(a,b)

a แทนการเปลี่ยนแปลงตามแกน x และ b แทนการเปลี่ยนแปลงตามแกน y

📍

3. เวกเตอร์จากสองจุด

ถ้า A(x₁,y₁) และ B(x₂,y₂)

AB=(x₂−x₁,y₂−y₁)

ตัวอย่าง A(1,2), B(4,6)

AB=(4−1,6−2)=(3,4)

จำง่าย

ปลายลบต้น คือเวกเตอร์จากจุดต้นไปจุดปลาย

📏

4. ขนาดของเวกเตอร์

ถ้า v=(a,b)

|v|=√(a²+b²)

สูตรนี้มาจากทฤษฎีพีทาโกรัส

|(3,4)|=√(9+16)=5

➕

5. การบวกและลบเวกเตอร์

ให้ u=(a,b) และ v=(c,d)

u+v=(a+c,b+d)

u−v=(a−c,b−d)

บวกหรือลบองค์ประกอบที่อยู่ตำแหน่งเดียวกัน

✖️

6. การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนจริง

ให้ k เป็นจำนวนจริง และ v=(a,b)

kv=(ka,kb)

k>0 ทิศทางเดิม
k<0 ทิศทางตรงข้าม
|k| ทำให้ขนาดเพิ่มหรือลดตามสัดส่วน

−2(3,−1)=(−6,2)

🔄

7. เวกเตอร์ศูนย์และเวกเตอร์ตรงข้าม

เวกเตอร์ศูนย์=(0,0)

ถ้า v=(a,b) แล้ว −v=(−a,−b)

เวกเตอร์ตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

1️⃣

8. เวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1

เวกเตอร์หน่วยในทิศของ v = v/|v|

ตัวอย่าง v=(3,4), |v|=5

v/|v|=(3/5,4/5)

•

9. ดอตโปรดักต์

ถ้า u=(a,b) และ v=(c,d)

u·v=ac+bd

ตัวอย่าง (1,2)·(3,4)=3+8=11

ประโยชน์

ใช้ตรวจว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ตั้งฉากกันหรือไม่

⊥

10. เวกเตอร์ตั้งฉากและขนาน

u ตั้งฉาก v เมื่อ u·v=0

u ขนาน v เมื่อ u=kv สำหรับจำนวนจริง k

k>0 ขนานทิศเดียวกัน
k<0 ขนานทิศตรงข้าม

🧭

11. การประยุกต์กับแรงและการเคลื่อนที่

แรงหรือการกระจัดหลายทิศทางสามารถนำมาบวกกันเป็นเวกเตอร์ลัพธ์

แรงลัพธ์=แรงที่ 1+แรงที่ 2

ถ้าแรง 3 นิวตันไปทางตะวันออก และ 4 นิวตันไปทางเหนือ

แรงลัพธ์=(3,4) และมีขนาด 5 นิวตัน

⚡

12. เทคนิคทำข้อสอบ

เวกเตอร์จาก A ไป B ให้ใช้ B−A
หาขนาดให้ใช้พีทาโกรัส
บวกและลบทีละองค์ประกอบ
คูณจำนวนจริงให้คูณทุกองค์ประกอบ
เวกเตอร์หน่วยให้หารด้วยขนาด
ตั้งฉากให้ตรวจดอตโปรดักต์เท่ากับ 0
ขนานให้ตรวจว่าเป็นจำนวนเท่าของกันและกันหรือไม่

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

จงหาเวกเตอร์จาก A(−1,2) ไป B(5,10)
ดูเฉลย
AB=(5−(−1),10−2)=(6,8)
จงหาขนาดของเวกเตอร์ (8,15)
ดูเฉลย
√(8²+15²)=√289=17
กำหนด u=(2,−3), v=(4,5) จงหา 2u−v
ดูเฉลย
2u=(4,−6)
2u−v=(0,−11)
จงหาเวกเตอร์หน่วยในทิศของ (5,12)
ดูเฉลย
ขนาดเท่ากับ 13
เวกเตอร์หน่วย=(5/13,12/13)
ตรวจว่า u=(2,3) และ v=(−3,2) ตั้งฉากกันหรือไม่
ดูเฉลย
u·v=2(−3)+3(2)=0
ตั้งฉากกัน

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 เวกเตอร์คือปริมาณที่มีอะไร A. ขนาดอย่างเดียว B. ทิศทางอย่างเดียว C. ทั้งขนาดและทิศทาง D. ไม่มีทั้งขนาดและทิศทาง

ดูคำอธิบาย

เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

ตอบ C

ข้อ 2 ข้อใดเป็นปริมาณเวกเตอร์ A. มวล B. เวลา C. อุณหภูมิ D. การกระจัด

ดูคำอธิบาย

การกระจัดมีทั้งขนาดและทิศทาง

ตอบ D

ข้อ 3 ข้อใดเป็นปริมาณสเกลาร์ A. แรง B. ความเร็วเชิงเวกเตอร์ C. ระยะทาง D. ความเร่ง

ดูคำอธิบาย

ระยะทางมีเพียงขนาด ไม่มีทิศทาง

ตอบ C

ข้อ 4 เวกเตอร์จาก A(1,2) ไป B(4,6) คือข้อใด A. (3,4) B. (5,8) C. (−3,−4) D. (4,6)

ดูคำอธิบาย

เวกเตอร์ AB=(4−1,6−2)=(3,4)

ตอบ A

ข้อ 5 เวกเตอร์จาก P(−2,1) ไป Q(3,5) คือข้อใด A. (1,4) B. (5,4) C. (−5,−4) D. (5,6)

ดูคำอธิบาย

PQ=(3−(−2),5−1)=(5,4)

ตอบ B

ข้อ 6 ขนาดของเวกเตอร์ (3,4) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ดูคำอธิบาย

|v|=√(3²+4²)=5

ตอบ C

ข้อ 7 ขนาดของเวกเตอร์ (5,12) เท่ากับเท่าใด A. 7 B. 13 C. 17 D. 60

ดูคำอธิบาย

|v|=√(25+144)=13

ตอบ B

ข้อ 8 เวกเตอร์ศูนย์คือข้อใด A. (0,0) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,1)

ดูคำอธิบาย

เวกเตอร์ศูนย์มีทุกองค์ประกอบเป็น 0

ตอบ A

ข้อ 9 เวกเตอร์ตรงข้ามของ (2,−3) คือข้อใด A. (−2,3) B. (2,3) C. (−2,−3) D. (3,−2)

ดูคำอธิบาย

เปลี่ยนเครื่องหมายทุกองค์ประกอบ

ตอบ A

ข้อ 10 ถ้า u=(2,3) และ v=(4,1) แล้ว u+v เท่ากับเท่าใด A. (6,4) B. (2,2) C. (8,3) D. (−2,2)

ดูคำอธิบาย

บวกองค์ประกอบตำแหน่งเดียวกัน ได้ (2+4,3+1)=(6,4)

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ถ้า u=(5,7) และ v=(2,3) แล้ว u−v เท่ากับเท่าใด A. (3,4) B. (7,10) C. (−3,−4) D. (3,10)

ดูคำอธิบาย

ลบองค์ประกอบตำแหน่งเดียวกัน ได้ (3,4)

ตอบ A

ข้อ 12 ถ้า u=(−1,4) และ v=(3,−2) แล้ว u+v เท่ากับเท่าใด A. (2,2) B. (−4,6) C. (4,−6) D. (2,6)

ดูคำอธิบาย

u+v=(−1+3,4−2)=(2,2)

ตอบ A

ข้อ 13 ถ้า u=(3,−5) แล้ว 2u เท่ากับเท่าใด A. (5,−3) B. (6,−10) C. (6,−5) D. (3,−10)

ดูคำอธิบาย

คูณทุกองค์ประกอบด้วย 2

ตอบ B

ข้อ 14 ถ้า v=(−2,4) แล้ว −3v เท่ากับเท่าใด A. (6,−12) B. (−6,12) C. (−5,1) D. (6,12)

ดูคำอธิบาย

−3(−2,4)=(6,−12)

ตอบ A

ข้อ 15 ถ้า u=(1,2) และ v=(3,4) แล้ว 2u+v เท่ากับเท่าใด A. (5,8) B. (4,6) C. (7,10) D. (2,8)

ดูคำอธิบาย

2u=(2,4) แล้วบวก v ได้ (5,8)

ตอบ A

ข้อ 16 เวกเตอร์หน่วยมีขนาดเท่าใด A. 0 B. 1 C. 2 D. ขึ้นอยู่กับทิศทาง

ดูคำอธิบาย

เวกเตอร์หน่วยมีขนาดเท่ากับ 1

ตอบ B

ข้อ 17 เวกเตอร์หน่วยในทิศของ (3,4) คือข้อใด A. (3,4) B. (3/4,4/3) C. (3/5,4/5) D. (5/3,5/4)

ดูคำอธิบาย

หารเวกเตอร์ด้วยขนาด 5

ตอบ C

ข้อ 18 ถ้า v=(6,8) เวกเตอร์หน่วยในทิศเดียวกันคือข้อใด A. (3/5,4/5) B. (6/5,8/5) C. (3,4) D. (6,8)

ดูคำอธิบาย

ขนาดของ v คือ 10 จึงได้ (6/10,8/10)=(3/5,4/5)

ตอบ A

ข้อ 19 ดอตโปรดักต์ของ (1,2) และ (3,4) เท่ากับเท่าใด A. 10 B. 11 C. 14 D. 24

ดูคำอธิบาย

(1)(3)+(2)(4)=3+8=11

ตอบ B

ข้อ 20 ดอตโปรดักต์ของ (2,−1) และ (3,5) เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 5 C. 6 D. 11

ดูคำอธิบาย

2×3+(−1)×5=6−5=1

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 เวกเตอร์สองเวกเตอร์ตั้งฉากกันเมื่อดอตโปรดักต์มีค่าเท่าใด A. −1 B. 0 C. 1 D. เท่ากับผลคูณขนาด

ดูคำอธิบาย

เวกเตอร์ตั้งฉากกันมีดอตโปรดักต์เท่ากับ 0

ตอบ B

ข้อ 22 เวกเตอร์ (1,2) ตั้งฉากกับข้อใด A. (2,1) B. (−2,1) C. (1,−2) D. (2,−1)

ดูคำอธิบาย

(1)(−2)+(2)(1)=0

ตอบ B

ข้อ 23 เวกเตอร์ (2,3) และ (4,6) มีความสัมพันธ์อย่างไร A. ตั้งฉาก B. ขนานทิศเดียวกัน C. ขนานทิศตรงข้าม D. ไม่มีความสัมพันธ์

ดูคำอธิบาย

(4,6)=2(2,3) จึงขนานและทิศเดียวกัน

ตอบ B

ข้อ 24 เวกเตอร์ (3,−2) และ (−6,4) มีความสัมพันธ์อย่างไร A. ตั้งฉาก B. ขนานทิศเดียวกัน C. ขนานทิศตรงข้าม D. เท่ากัน

ดูคำอธิบาย

(−6,4)=−2(3,−2) จึงขนานแต่ทิศตรงข้าม

ตอบ C

ข้อ 25 แรง 3 นิวตันไปทางตะวันออก และ 4 นิวตันไปทางเหนือ มีแรงลัพธ์เท่าใด A. 1 B. 5 C. 7 D. 12

ดูคำอธิบาย

แรงตั้งฉากกัน จึงใช้พีทาโกรัส √(3²+4²)=5

ตอบ B

ข้อ 26 เดินไปทางตะวันออก 6 เมตร แล้วไปทางเหนือ 8 เมตร การกระจัดมีขนาดเท่าใด A. 2 B. 10 C. 14 D. 48

ดูคำอธิบาย

การกระจัด=√(6²+8²)=10

ตอบ B

ข้อ 27 เวกเตอร์จาก A(2,−1) ไป B(8,7) มีขนาดเท่าใด A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

ดูคำอธิบาย

AB=(6,8) และมีขนาด 10

ตอบ B

ข้อ 28 ถ้า u=(2,1), v=(−1,3) แล้ว u−2v เท่ากับเท่าใด A. (0,7) B. (4,−5) C. (3,−2) D. (−4,5)

ดูคำอธิบาย

2v=(−2,6) ดังนั้น u−2v=(2−(−2),1−6)=(4,−5)

ตอบ B

ข้อ 29 ถ้า |v|=5 และ v=(x,4) โดย x>0 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

ดูคำอธิบาย

x²+4²=25 จึง x²=9 และ x=3

ตอบ B

ข้อ 30 ถ้า u=(a,2) และ v=(3,−6) ตั้งฉากกัน แล้ว a เท่ากับเท่าใด A. −4 B. −2 C. 2 D. 4

ดูคำอธิบาย

ดอตโปรดักต์ 3a+2(−6)=0 จึง 3a=12 และ a=4

ตอบ D

📌

15. สรุป

AB=(x₂−x₁,y₂−y₁)

|v|=√(a²+b²)

u+v=(a+c,b+d)

kv=(ka,kb)

เวกเตอร์หน่วย=v/|v|

u·v=ac+bd

เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง
เวกเตอร์จากต้นไปปลายใช้ปลายลบต้น
เวกเตอร์ตรงข้ามมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม
ดอตโปรดักต์เป็น 0 แสดงว่าตั้งฉากกัน
เวกเตอร์ที่เป็นจำนวนเท่าของกันและกันจะขนานกัน

จำเป็นขั้นตอน

เขียนองค์ประกอบ → ดำเนินการทีละแกน → หาขนาดเมื่อจำเป็น → ตรวจทิศทาง → สรุปคำตอบ

EP29 : เวกเตอร์เบื้องต้นบนระนาบ

เส้นทางสู่เป้าหมาย

เวกเตอร์เบื้องต้นบนระนาบ

1. ปัญหานำ

2. เวกเตอร์และสเกลาร์

3. เวกเตอร์จากสองจุด

4. ขนาดของเวกเตอร์

5. การบวกและลบเวกเตอร์

6. การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนจริง

7. เวกเตอร์ศูนย์และเวกเตอร์ตรงข้าม

8. เวกเตอร์หน่วย

9. ดอตโปรดักต์

10. เวกเตอร์ตั้งฉากและขนาน

11. การประยุกต์กับแรงและการเคลื่อนที่

12. เทคนิคทำข้อสอบ

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

15. สรุป