EP30 : เมทริกซ์เบื้องต้นและดีเทอร์มิแนนต์
เรียนรู้ขนาดและสมาชิกของเมทริกซ์ การบวก ลบ คูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ผกผัน และการเชื่อมโยงกับระบบสมการ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
เมทริกซ์เบื้องต้นและดีเทอร์มิแนนต์
เรียนรู้การจัดข้อมูลเป็นแถวและหลัก พร้อมใช้เมทริกซ์คำนวณอย่างเป็นระบบและเชื่อมโยงกับระบบสมการ
อ่านขนาดและตำแหน่งสมาชิก บวก–ลบ–คูณเมทริกซ์ หา det และตรวจว่าเมทริกซ์มีผกผันหรือไม่
1. ปัญหานำ
กำหนด A=[1234] และ B=[2015] จงหา AB
2. ความหมายและขนาดของเมทริกซ์
เมทริกซ์คือการจัดจำนวนเป็นแถวและหลัก
ตัวอย่าง [123456] มี 2 แถว 3 หลัก จึงมีขนาด 2×3
ขนาดเมทริกซ์เขียน “แถวก่อน หลักทีหลัง”
3. ตำแหน่งสมาชิก
ตัวอย่าง A=[2579]
- a₁₂=5
- a₂₁=7
ตัวห้อยตัวแรกบอกแถว ตัวที่สองบอกหลัก
4. การบวกและลบเมทริกซ์
ทำได้เมื่อเมทริกซ์มีขนาดเท่ากัน และบวกหรือลบสมาชิกตำแหน่งเดียวกัน
ถ้าขนาดต่างกัน จะบวกหรือลบกันไม่ได้
5. การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
ให้นำจำนวนจริงไปคูณสมาชิกทุกตัว
ตัวอย่าง 3[1−240]=[3−6120]
6. เงื่อนไขการคูณเมทริกซ์
ถ้า A มีขนาด m×n และ B มีขนาด n×p จะคูณ AB ได้
มิติด้านในต้องเท่ากัน แล้วใช้มิติด้านนอกเป็นขนาดคำตอบ
7. วิธีคูณเมทริกซ์
ใช้ “แถวคูณหลัก” แล้วบวกผลคูณ
โดยทั่วไป AB อาจไม่เท่ากับ BA
8. เมทริกซ์ศูนย์และเมทริกซ์เอกลักษณ์
- A+O=A
- AI=IA=A
9. เมทริกซ์ทรานสโพส
ทรานสโพสเกิดจากการสลับแถวเป็นหลัก
ตัวอย่าง [123456]ᵀ=[142536]
10. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2
กำหนด A=[abcd]
ตัวอย่าง det([1234])=1×4−2×3=−2
det เป็นตัวบอกว่าเมทริกซ์มีผกผันหรือไม่
11. เมทริกซ์ผกผัน
ถ้า A มีตัวเลขเฉพาะแนวทแยง เช่น 2 และ 3 ให้กลับค่าเป็น 1/2 และ 1/3 ส่วนตำแหน่งที่เป็น 0 ยังคงเป็น 0
เมทริกซ์ A จะมีผกผันเมื่อ det(A)≠0
ถ้า det(A)=0 จะหารด้วยศูนย์ไม่ได้ จึงไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
12. เมทริกซ์กับระบบสมการ
ระบบสมการสามารถเขียนในรูป AX=B
ถ้า A มีผกผัน จะได้
แนวคิดนี้ช่วยแก้ระบบสมการหลายตัวแปรอย่างเป็นระบบ
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- ตรวจขนาดก่อนบวก ลบ หรือคูณ
- การบวกและลบต้องมีขนาดเท่ากัน
- การคูณต้องให้มิติด้านในเท่ากัน
- คูณแบบแถวคูณหลัก
- หา det ให้ใช้ ad−bc
- ตรวจ det ก่อนหาเมทริกซ์ผกผัน
- หลังหา A⁻¹ ลองตรวจด้วย AA⁻¹=I
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
กำหนด A=[21−34] และ B=[5−210] จงหา A+B
ดูเฉลย
A+B=[7−1−24]
กำหนด A=[1234] จงหา 3A
ดูเฉลย
3A=[36912]
กำหนด A=[1201] และ B=[3124] จงหา AB
ดูเฉลย
AB=[7924]
จงหา det([4123])
ดูเฉลย
det=4×3−1×2=10
จงหาเมทริกซ์ผกผันของ [2111]
ดูเฉลย
det=2×1−1×1=1
A⁻¹=[1−1−12]
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- ตำแหน่ง aᵢⱼ คือแถว i หลัก j
- เมทริกซ์เอกลักษณ์ทำหน้าที่เหมือนเลข 1
- การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่สลับที่
- det(A)=0 หมายถึง A ไม่มีผกผัน
- เมทริกซ์ใช้เขียนและแก้ระบบสมการได้
ตรวจขนาด → เลือกการดำเนินการ → คำนวณตามตำแหน่ง → หา det เมื่อจำเป็น → ตรวจคำตอบ