EP36 : ประพจน์สมมูล ตารางค่าความจริง และสัจจนิรันดร์
เรียนรู้การตรวจประพจน์สมมูลด้วยตารางค่าความจริง กฎเดอมอร์แกน กฎการแจกแจง สัจจนิรันดร์ ข้อขัดแย้ง และเทคนิคจัดรูปประพจน์ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ประพจน์สมมูล ตารางค่าความจริง และสัจจนิรันดร์
ฝึกเขียนประพจน์ใหม่ให้รูปต่างออกไป แต่ยังคงค่าความจริงเหมือนเดิมทุกกรณี
ตรวจความสมมูล จัดรูปประพจน์ และจำแนกสัจจนิรันดร์ ข้อขัดแย้ง และประพจน์ที่จริงบางกรณีได้
1. ปัญหานำ
ข้อความสองแบบต่อไปนี้มีความหมายทางตรรกศาสตร์เหมือนกันหรือไม่
แทนด้วย P→Q และ ¬P∨Q ซึ่งมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี จึงสมมูลกัน
2. ความหมายของประพจน์สมมูล
ประพจน์สองประพจน์สมมูลกัน เมื่อมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี
ต้องตรวจครบทุกแถวของตารางค่าความจริง ไม่ใช่ตรงกันเพียงบางกรณี
3. ตรวจสมมูลด้วยตารางค่าความจริง
| P | Q | P→Q | ¬P∨Q |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
สองคอลัมน์สุดท้ายเหมือนกันทุกแถว จึงได้
4. กฎปฏิเสธสองครั้ง
การปฏิเสธข้อความเดิมสองครั้ง จะกลับมาเป็นข้อความเดิม
5. กฎของเดอมอร์แกน
กระจายเครื่องหมายไม่เข้าไป แล้วสลับ AND กับ OR
6. กฎของประพจน์เชิงเงื่อนไข
ประพจน์เดิมสมมูลกับบทแย้ง แต่ไม่จำเป็นต้องสมมูลกับบทกลับ
7. กฎของ “ก็ต่อเมื่อ”
ต้องเป็นจริงทั้งทางไปและทางกลับ
อีกมุมหนึ่งคือทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน
8. กฎเอกลักษณ์และกฎครอบงำ
9. กฎซ้ำและกฎส่วนเติมเต็ม
10. กฎสลับที่และจัดหมู่
11. กฎแจกแจง
รูปของกฎแจกแจงในตรรกศาสตร์คล้ายพีชคณิต แต่ต้องรักษาตัวเชื่อมให้ถูกต้อง
12. สัจจนิรันดร์
สัจจนิรันดร์คือประพจน์ที่เป็นจริงทุกกรณี
ตารางค่าความจริงจะมี T ทุกแถว
13. ข้อขัดแย้งและจริงบางกรณี
ข้อขัดแย้ง เท็จทุกกรณี
ประพจน์ที่จริงบางกรณี มีทั้ง T และ F ในคอลัมน์สุดท้าย
14. เทคนิคจัดรูปเร็ว
- กำจัด → ก่อน โดยเปลี่ยน P→Q เป็น ¬P∨Q
- กระจายเครื่องหมาย ¬ ด้วยกฎเดอมอร์แกน
- ตัด ¬¬ ให้เหลือประพจน์เดิม
- ใช้ P∨¬P=T และ P∧¬P=F
- ใช้กฎเอกลักษณ์ลดรูป T และ F
- หากไม่มั่นใจ ให้สร้างตารางค่าความจริงตรวจสอบ
15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
จัดรูป ¬(P∧Q)
ดูเฉลย
¬P∨¬Q
จัดรูป ¬(P→Q)
ดูเฉลย
P→Q≡¬P∨Q
ปฏิเสธแล้วได้ ¬(¬P∨Q)
P∧¬Q
ตรวจว่า P∨¬P เป็นสัจจนิรันดร์หรือไม่
ดูเฉลย
ไม่ว่า P จะจริงหรือเท็จ อย่างน้อยหนึ่งใน P หรือ ¬P ต้องจริง
เป็นสัจจนิรันดร์
ลดรูป P∧(P∨Q)
ดูเฉลย
P ตามกฎดูดกลืน
ตรวจว่า (P→Q)↔(¬Q→¬P) เป็นสัจจนิรันดร์หรือไม่
ดูเฉลย
P→Q สมมูลกับบทแย้ง ¬Q→¬P
จึงเป็นสัจจนิรันดร์
16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
17. สรุป
- สมมูลต้องมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี
- คอลัมน์สุดท้ายเป็น T ทุกแถว คือสัจจนิรันดร์
- คอลัมน์สุดท้ายเป็น F ทุกแถว คือข้อขัดแย้ง
- กำจัด implication ก่อนช่วยให้จัดรูปง่ายขึ้น
- ตารางค่าความจริงเป็นวิธีตรวจคำตอบที่แน่นอนที่สุด
กำจัด → → กระจาย ¬ → ใช้กฎสมมูล → ลดรูป T/F → ตรวจด้วยตารางค่าความจริง