EP37 : ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ และการปฏิเสธข้อความ
เรียนรู้ประโยคเปิด เซตคำตอบ ตัวบ่งปริมาณทุกค่าและมีอยู่ การปฏิเสธตัวบ่งปริมาณ ตัวอย่างโต้แย้ง และลำดับของตัวบ่งปริมาณ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ และการปฏิเสธข้อความ
เรียนรู้ข้อความที่มีตัวแปร แล้วเปลี่ยนให้เป็นประพจน์ด้วยคำว่า “ทุกค่า” หรือ “มีอย่างน้อยหนึ่งค่า”
แยกประโยคเปิด หาเซตคำตอบ อ่านตัวบ่งปริมาณ และเขียนนิเสธของข้อความเชิงปริมาณได้ถูกต้อง
1. ปัญหานำ
ข้อความ “x+2=7” เป็นจริงหรือเท็จ
ยังตอบไม่ได้จนกว่าจะทราบค่า x จึงเรียกว่า ประโยคเปิด
2. ประโยคเปิด
ประโยคเปิดคือข้อความที่มีตัวแปร และยังไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ทันที
เมื่อแทนค่า x ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์
ประพจน์มีค่าความจริงแน่นอน แต่ประโยคเปิดขึ้นอยู่กับค่าตัวแปร
3. เซตคำตอบ
เซตคำตอบคือเซตของค่าตัวแปรที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง
ต้องพิจารณาเอกภพสัมพัทธ์ด้วย เช่น จำนวนเต็มหรือจำนวนจริง
4. ตัวบ่งปริมาณสากล
อ่านว่า “สำหรับทุก x ประพจน์ P(x) เป็นจริง”
ข้อความนี้จริง เพราะกำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนไม่ติดลบ
5. ตัวบ่งปริมาณมีอยู่
อ่านว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง x ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง”
ข้อความนี้จริง เพราะ x=2 หรือ x=−2
6. นิเสธของ “ทุกค่า”
นิเสธของ “ทุกคนผ่าน” คือ “มีอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ผ่าน”
ไม่ใช่ทุกคน = มีบางคนไม่
7. นิเสธของ “มีบางค่า”
นิเสธของ “มีนักเรียนบางคนมาสาย” คือ “ไม่มีนักเรียนคนใดมาสาย”
ไม่มีสักคน = ทุกคนไม่
8. ตัวอย่างโต้แย้ง
ข้อความสากลจะเป็นเท็จทันที หากพบตัวอย่างเพียงหนึ่งค่าที่ทำให้ข้อความไม่จริง
จึงสรุปว่าข้อความเดิมเป็นเท็จ
9. วิธีพิสูจน์ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ
- พิสูจน์ ∀x P(x): เลือก x ใด ๆ แล้วแสดงว่า P(x) จริง
- พิสูจน์ ∃x P(x): แสดงตัวอย่างอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทำให้จริง
- หักล้าง ∀x P(x): หาตัวอย่างโต้แย้งหนึ่งค่า
- หักล้าง ∃x P(x): แสดงว่าไม่มีค่าใดทำให้จริง
10. ลำดับของตัวบ่งปริมาณ
จริงในจำนวนจริง เพราะทุก x เลือก y=x+1 ได้
เท็จ เพราะไม่มีจำนวนจริงตัวเดียวที่มากกว่าทุกจำนวนจริง
การสลับลำดับ ∀ และ ∃ อาจเปลี่ยนค่าความจริง
11. การปฏิเสธหลายตัวบ่งปริมาณ
เมื่อปฏิเสธ ให้สลับตัวบ่งปริมาณทีละตัวและปฏิเสธประพจน์ด้านใน
12. แปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์
“จำนวนคู่ทุกจำนวนหารด้วย 2 ลงตัว”
“มีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ 9”
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- ระบุเอกภพสัมพัทธ์ก่อน
- แยกว่าข้อความใช้ “ทุก” หรือ “มีบาง”
- นิเสธแล้วต้องสลับ ∀ กับ ∃
- ปฏิเสธประพจน์ด้านในให้ครบ
- ข้อความสากลเท็จ ใช้ตัวอย่างโต้แย้งเพียงหนึ่งค่า
- ข้อความมีอยู่จริง ใช้ตัวอย่างเพียงหนึ่งค่าพิสูจน์ได้
- ระวังลำดับของตัวบ่งปริมาณหลายตัว
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
จงหาเซตคำตอบของ x²=16 ในจำนวนจริง
ดูเฉลย
{−4,4}
จงเขียนนิเสธของ “นักเรียนทุกคนส่งงาน”
ดูเฉลย
มีนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ส่งงาน
จงเขียนนิเสธของ “มีจำนวนเต็มบางจำนวนที่มากกว่า 100”
ดูเฉลย
จำนวนเต็มทุกจำนวนไม่มากกว่า 100
ข้อความ “จำนวนจริงทุกจำนวนมีค่ากำลังสองเป็นบวก” จริงหรือเท็จ
ดูเฉลย
x=0 ทำให้ x²=0 ซึ่งไม่เป็นบวก
เท็จ
นิเสธของ ∀x∃y, x+y=0 คือข้อใด
ดูเฉลย
∃x∀y, x+y≠0
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- ประโยคเปิดยังไม่มีค่าความจริงจนกว่าจะกำหนดตัวแปร
- เซตคำตอบคือค่าที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง
- ข้อความทุกค่าเท็จได้ด้วยตัวอย่างโต้แย้งหนึ่งค่า
- ข้อความมีอยู่จริงพิสูจน์ได้ด้วยตัวอย่างหนึ่งค่า
- ลำดับของ ∀ และ ∃ เปลี่ยนความหมายได้
กำหนดเอกภพ → ระบุตัวบ่งปริมาณ → ตรวจค่าความจริง → สลับตัวบ่งเมื่อปฏิเสธ → ตรวจด้วยตัวอย่าง