EP38 : การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และเทคนิคการพิสูจน์
เรียนรู้การพิสูจน์ตรง การพิสูจน์โดยบทแย้ง การพิสูจน์โดยขัดแย้ง การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ และการใช้จำนวนคู่ จำนวนคี่ และการหารลงตัว พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และเทคนิคการพิสูจน์
ฝึกแสดงเหตุผลอย่างเป็นขั้นตอน เพื่อยืนยันว่าข้อความหนึ่งเป็นจริงสำหรับทุกกรณีที่กำหนด
เลือกวิธีพิสูจน์ได้เหมาะสม และเขียนการพิสูจน์โดยใช้คำนิยาม สมบัติ และตรรกศาสตร์อย่างชัดเจน
1. ปัญหานำ
จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่
เนื่องจาก a+b เป็นจำนวนเต็ม ผลลัพธ์จึงอยู่ในรูป 2k และเป็นจำนวนคู่
2. การพิสูจน์คืออะไร
การพิสูจน์คือการแสดงเหตุผลที่ทำให้มั่นใจว่าข้อความเป็นจริง โดยทุกขั้นต้องตรวจสอบได้
- เริ่มจากสมมติฐานหรือนิยาม
- ใช้สมบัติที่ยอมรับแล้ว
- จัดรูปอย่างเป็นลำดับ
- จบที่ข้อความที่ต้องการพิสูจน์
การทดลองแทนค่าไม่กี่ค่าเป็นเพียงหลักฐานประกอบ แต่ยังไม่ใช่การพิสูจน์ข้อความสากล
3. โครงสร้างการเขียนพิสูจน์
- กำหนด: ระบุสิ่งที่โจทย์ให้
- ต้องการพิสูจน์: เขียนเป้าหมายให้ชัด
- เริ่มพิสูจน์: ใช้นิยามหรือสมมติฐาน
- จัดรูป: แสดงขั้นตอนพร้อมเหตุผล
- สรุป: เชื่อมกลับไปยังเป้าหมาย
4. นิยามที่ใช้บ่อย
เมื่อพิสูจน์เรื่องคู่–คี่หรือการหารลงตัว ให้เริ่มจากคำนิยามเหล่านี้
5. การพิสูจน์ตรง
เริ่มจากสมมติฐาน แล้วจัดรูปจนได้ข้อสรุป
ตัวอย่าง ให้ a และ b เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น a+b เป็นจำนวนคู่
6. การพิสูจน์โดยบทแย้ง
เหมาะเมื่อการพิสูจน์จาก ¬Q ไปหา ¬P ทำได้ง่ายกว่าการเดินตรงจาก P ไป Q
ตัวอย่าง ต้องการพิสูจน์ว่า ถ้า n² เป็นจำนวนคู่ แล้ว n เป็นจำนวนคู่
7. การพิสูจน์โดยขัดแย้ง
- สมมตินิเสธของสิ่งที่ต้องการพิสูจน์
- ใช้สมมติฐานและนิยามต่อไป
- แสดงว่าเกิดข้อความขัดแย้ง เช่น A และ ¬A
- สรุปว่าสมมติฐานที่เพิ่มเข้ามาผิด
ข้อความที่ต้องพิสูจน์ว่า “เป็นไปไม่ได้”, “ไม่มี”, หรือ “เป็นอตรรกยะ”
8. ตัวอย่างแนวคิดพิสูจน์ √2 เป็นอตรรกยะ
สมมติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ และเขียนได้เป็น a/b ในรูปอย่างต่ำ
จึงได้ a เป็นจำนวนคู่ และเมื่อนำกลับไปแทนจะได้ b เป็นจำนวนคู่ด้วย
แสดงว่า a และ b มีตัวประกอบร่วม 2 ขัดกับการกำหนดว่า a/b เป็นรูปอย่างต่ำ
9. การอุปนัยทางคณิตศาสตร์
ใช้พิสูจน์ข้อความ P(n) สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกค่า
- กรณีฐาน: พิสูจน์ P(1)
- สมมติฐานอุปนัย: สมมติ P(k) จริง
- ขั้นอุปนัย: พิสูจน์ว่า P(k+1) จริง
- สรุป: P(n) จริงสำหรับทุก n
10. ตัวอย่างอุปนัย
พิสูจน์ว่า
กรณีฐาน n=1
สมมติว่าเป็นจริงเมื่อ n=k
เมื่อ n=k+1
11. เลือกวิธีพิสูจน์อย่างไร
| ลักษณะโจทย์ | วิธีที่เหมาะ |
|---|---|
| จัดรูปจากนิยามได้โดยตรง | พิสูจน์ตรง |
| เป็นข้อความ P→Q และ ¬Q จัดการง่าย | บทแย้ง |
| ต้องแสดงว่าเป็นไปไม่ได้ | ขัดแย้ง |
| สูตรหรือข้อความขึ้นกับ n | อุปนัย |
12. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- ทดลองแทนค่าแล้วสรุปว่าเป็นจริงทุกค่า
- ใช้สิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นเหตุ
- ข้ามขั้นสำคัญโดยไม่อธิบาย
- ใช้บทกลับแทนบทแย้ง
- อุปนัยแต่ไม่ตรวจกรณีฐาน
- สมมติฐานอุปนัยแล้วไม่ใช้ในขั้น k+1
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- วงคำว่า คู่ คี่ หารลงตัว หรือทุก n
- แปลงคู่เป็น 2k และคี่เป็น 2k+1
- ถ้าเป็น P→Q ให้ลองดูบทแย้ง
- ถ้ามีคำว่าเป็นไปไม่ได้ ให้คิดขัดแย้ง
- สูตรที่มี n ให้ตรวจฐานและขั้น k→k+1
- หาตัวอย่างโต้แย้งเมื่อสงสัยว่าข้อความสากลเป็นเท็จ
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนเต็มเป็นจำนวนคู่
ดูเฉลย
ให้จำนวนคู่เป็น 2k และจำนวนเต็มอีกจำนวนเป็น m
ผลคูณ=(2k)m=2(km)
เนื่องจาก km เป็นจำนวนเต็ม ผลคูณจึงเป็นจำนวนคู่
พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนคี่สองจำนวนเป็นจำนวนคี่
ดูเฉลย
(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1
=2(2ab+a+b)+1
จึงเป็นจำนวนคี่
พิสูจน์โดยบทแย้งว่า ถ้า n² เป็นจำนวนคู่ แล้ว n เป็นจำนวนคู่
ดูเฉลย
พิสูจน์บทแย้ง: ถ้า n เป็นคี่ ให้ n=2k+1
n²=(2k+1)²=2(2k²+2k)+1
จึง n² เป็นคี่ ดังนั้นบทแย้งจริง และข้อความเดิมจริง
หาตัวอย่างโต้แย้งของข้อความ “จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเป็นจำนวนคี่”
ดูเฉลย
2 เป็นจำนวนเฉพาะแต่เป็นจำนวนคู่
พิสูจน์ด้วยอุปนัยว่า 1+3+5+...+(2n−1)=n²
ดูเฉลย
ฐาน n=1: 1=1²
สมมติ 1+3+...+(2k−1)=k²
เมื่อ k+1: k²+[2(k+1)−1]=k²+2k+1=(k+1)²
จึงจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- พิสูจน์ตรงเริ่มจากสมมติฐาน
- บทแย้งเหมาะเมื่อ ¬Q→¬P ง่ายกว่า
- ขัดแย้งเริ่มจากสมมตินิเสธ
- อุปนัยใช้กับข้อความที่ขึ้นกับ n
- ตัวอย่างโต้แย้งหนึ่งค่าล้มข้อความสากลได้
อ่านเป้าหมาย → เลือกวิธี → ใช้นิยาม → แสดงเหตุผลทีละขั้น → สรุปกลับสู่ข้อความที่ต้องพิสูจน์