EP39 : ทฤษฎีจำนวน การหารลงตัว จำนวนเฉพาะ และเศษเหลือ

🎯

EP39 • Foundation Mathematics

ทฤษฎีจำนวน การหารลงตัว จำนวนเฉพาะ และเศษเหลือ

ฝึกมองโครงสร้างของจำนวนเต็ม เพื่อแก้โจทย์ตัวประกอบ ห.ร.ม. ค.ร.น. และเศษจากการหารได้รวดเร็ว

เป้าหมาย

ใช้สัญลักษณ์การหารลงตัว แยกตัวประกอบเฉพาะ และคำนวณเศษแบบมอดูลาร์ได้

❓

1. ปัญหานำ

จำนวน 84 และ 126 มีตัวประกอบร่วมมากที่สุดเท่าใด

84=2²×3×7

126=2×3²×7

ห.ร.ม.=2×3×7=42

|

2. การหารลงตัว

a|b ⇔ b=ak สำหรับจำนวนเต็ม k

อ่านว่า “a หาร b ลงตัว” หรือ “a เป็นตัวประกอบของ b”

3|12 เพราะ 12=3×4

ระวังทิศทาง

3|12 ไม่ได้หมายถึง 12|3

×

3. ตัวประกอบและพหุคูณ

ตัวประกอบ คือจำนวนที่หารอีกจำนวนลงตัว
พหุคูณ คือผลคูณของจำนวนนั้นกับจำนวนเต็ม

ตัวประกอบของ 12: 1,2,3,4,6,12

พหุคูณของ 5: 5,10,15,20,...

🔢

4. จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะมีตัวประกอบบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง

2,3,5,7,11,13,...

จำนวนประกอบมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

ข้อควรจำ

1 ไม่เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

🧩

5. การแยกตัวประกอบเฉพาะ

เขียนจำนวนประกอบให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ

60=2²×3×5

84=2²×3×7

ใช้วิธีหารสั้นหรือต้นไม้ตัวประกอบได้

🔑

6. ห.ร.ม.

ห.ร.ม. คือ ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุด

12=2²×3

18=2×3²

ห.ร.ม.=2×3=6

เลือกตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกัน และใช้เลขชี้กำลังน้อยที่สุด

🕒

7. ค.ร.น.

ค.ร.น. คือ พหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด

12=2²×3

18=2×3²

ค.ร.น.=2²×3²=36

เลือกตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด และใช้เลขชี้กำลังมากที่สุด

⚖️

8. ความสัมพันธ์ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ห.ร.ม.(a,b)×ค.ร.น.(a,b)=ab

ใช้ตรวจคำตอบหรือหาอีกค่าหนึ่งเมื่อรู้หนึ่งค่า

ถ้า ห.ร.ม.=6 และ ab=216 ⇒ ค.ร.น.=36

✅

9. เกณฑ์การหารลงตัว

หาร 2 ลงตัว: หลักหน่วยเป็นเลขคู่
หาร 3 ลงตัว: ผลบวกเลขโดดหาร 3 ลงตัว
หาร 4 ลงตัว: สองหลักท้ายหาร 4 ลงตัว
หาร 5 ลงตัว: ลงท้าย 0 หรือ 5
หาร 9 ลงตัว: ผลบวกเลขโดดหาร 9 ลงตัว
หาร 10 ลงตัว: ลงท้าย 0
หาร 11 ลงตัว: ผลต่างของผลบวกเลขโดดสลับตำแหน่งหาร 11 ลงตัว

r

10. ขั้นตอนวิธีการหาร

a=bq+r

0≤r<b

a คือตัวตั้ง b คือตัวหาร q คือผลหาร และ r คือเศษ

17=5×3+2

mod

11. เลขคณิตมอดูลาร์

a≡b (mod n)

หมายถึง a และ b หารด้วย n แล้วเหลือเศษเท่ากัน หรือ n|(a−b)

23≡2 (mod 7)

35≡5 (mod 10)

⚡

12. เทคนิคหาเศษเร็ว

ลดฐานให้เหลือเศษเล็กก่อน
หาวงรอบของเลขยกกำลัง
แยกผลบวกและผลคูณแล้วค่อยหาเศษ
ใช้ค่าติดลบเมื่อสะดวก เช่น 4≡−1 (mod 5)

2⁵≡(−1)⁵≡−1≡2 (mod 3)

🧠

13. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

ห.ร.ม.(a,b)=1

เรียกว่า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

14 และ 25 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

ทั้งสองจำนวนไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ

✏️

14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

แยกตัวประกอบเฉพาะของ 180
ดูเฉลย
180=2²×3²×5
หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 24 และ 40
ดูเฉลย
ห.ร.ม.=8 และ ค.ร.น.=120
จำนวน 4,572 หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่
ดูเฉลย
4+5+7+2=18
หารด้วย 9 ลงตัว
หาเศษของ 7³ เมื่อหารด้วย 5
ดูเฉลย
7≡2 (mod 5), 2³=8≡3
เศษ 3
พิสูจน์ว่า ถ้า 6|a และ 6|b แล้ว 6|(a+b)
ดูเฉลย
ให้ a=6m และ b=6n
a+b=6(m+n)
จึง 6 หาร a+b ลงตัว

🎓

15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 สัญลักษณ์ a|b หมายถึงข้อใด A. a หาร b ลงตัว B. b หาร a ลงตัว C. a=b D. a เป็นจำนวนเฉพาะ

ดูคำอธิบาย

a|b หมายถึงมีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ b=ak

ตอบ A

ข้อ 2 ถ้า 3|12 ข้อใดถูกต้อง A. 12=3×4 B. 3=12×4 C. 12=3+4 D. 3 และ 12 เป็นจำนวนเฉพาะ

ดูคำอธิบาย

12 เขียนเป็น 3 คูณจำนวนเต็ม 4 ได้

ตอบ A

ข้อ 3 ข้อใดเป็นตัวประกอบของ 18 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

ดูคำอธิบาย

18÷6=3 ลงตัว

ตอบ C

ข้อ 4 ข้อใดเป็นพหุคูณของ 7 A. 20 B. 21 C. 25 D. 30

ดูคำอธิบาย

21=7×3

ตอบ B

ข้อ 5 จำนวนเฉพาะคือข้อใด A. 1 B. 2 C. 4 D. 9

ดูคำอธิบาย

2 มีตัวประกอบบวกเพียง 1 และ 2

ตอบ B

ข้อ 6 ข้อใดไม่เป็นจำนวนเฉพาะ A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

ดูคำอธิบาย

9=3×3

ตอบ D

ข้อ 7 จำนวน 1 มีลักษณะอย่างไร A. เป็นจำนวนเฉพาะ B. เป็นจำนวนประกอบ C. ไม่เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ D. เป็นจำนวนคู่

ดูคำอธิบาย

1 มีตัวประกอบบวกเพียงตัวเดียว

ตอบ C

ข้อ 8 จำนวนเฉพาะคู่มีเพียงจำนวนใด A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

ดูคำอธิบาย

2 เป็นจำนวนเฉพาะคู่เพียงจำนวนเดียว

ตอบ C

ข้อ 9 แยกตัวประกอบเฉพาะของ 12 ได้ข้อใด A. 2×6 B. 3×4 C. 2²×3 D. 2×3²

ดูคำอธิบาย

12=2×2×3=2²×3

ตอบ C

ข้อ 10 แยกตัวประกอบเฉพาะของ 60 ได้ข้อใด A. 2²×3×5 B. 2×3²×5 C. 2³×5 D. 3×4×5

ดูคำอธิบาย

60=2×2×3×5

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

ดูคำอธิบาย

ตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ 6

ตอบ C

ข้อ 12 ค.ร.น. ของ 12 และ 18 เท่ากับเท่าใด A. 24 B. 30 C. 36 D. 54

ดูคำอธิบาย

ค.ร.น.=36

ตอบ C

ข้อ 13 ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวก ความสัมพันธ์ใดถูกต้อง A. ห.ร.ม.×ค.ร.น.=a+b B. ห.ร.ม.×ค.ร.น.=ab C. ห.ร.ม.+ค.ร.น.=ab D. ห.ร.ม.=ค.ร.น. เสมอ

ดูคำอธิบาย

gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab

ตอบ B

ข้อ 14 ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 8 C. 12 D. 18

ดูคำอธิบาย

ตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ 12

ตอบ C

ข้อ 15 ค.ร.น. ของ 8 และ 12 เท่ากับเท่าใด A. 16 B. 20 C. 24 D. 48

ดูคำอธิบาย

พหุคูณร่วมน้อยที่สุดคือ 24

ตอบ C

ข้อ 16 จำนวนใดหารด้วย 2 ลงตัว A. 125 B. 246 C. 357 D. 469

ดูคำอธิบาย

หลักหน่วยเป็นเลขคู่

ตอบ B

ข้อ 17 จำนวนใดหารด้วย 3 ลงตัว A. 124 B. 231 C. 415 D. 502

ดูคำอธิบาย

2+3+1=6 ซึ่งหาร 3 ลงตัว

ตอบ B

ข้อ 18 จำนวนใดหารด้วย 9 ลงตัว A. 234 B. 351 C. 423 D. 729

ดูคำอธิบาย

7+2+9=18 หาร 9 ลงตัว

ตอบ D

ข้อ 19 จำนวนใดหารด้วย 5 ลงตัว A. 132 B. 245 C. 378 D. 491

ดูคำอธิบาย

ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5

ตอบ B

ข้อ 20 จำนวนใดหารด้วย 11 ลงตัว A. 121 B. 123 C. 125 D. 127

ดูคำอธิบาย

121=11²

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 17 หารด้วย 5 เหลือเศษเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

17=5×3+2

ตอบ B

ข้อ 22 23 ≡ ? (mod 7) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

23 หาร 7 เหลือเศษ 2

ตอบ B

ข้อ 23 ถ้า a≡b (mod n) หมายถึงข้อใด A. a+b หาร n ลงตัว B. a−b หาร n ลงตัว C. ab=n D. a=b เสมอ

ดูคำอธิบาย

นิยามสมภาคคือ n|(a−b)

ตอบ B

ข้อ 24 35 ≡ 5 (mod 10) ถูกหรือไม่ A. ถูก B. ผิด C. จริงเฉพาะ 35 เป็นจำนวนเฉพาะ D. สรุปไม่ได้

ดูคำอธิบาย

35−5=30 หาร 10 ลงตัว

ตอบ A

ข้อ 25 เศษของ 2⁵ เมื่อหารด้วย 3 เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

ดูคำอธิบาย

2≡−1 (mod 3), ดังนั้น 2⁵≡−1≡2

ตอบ C

ข้อ 26 เศษของ 3⁴ เมื่อหารด้วย 5 เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

ดูคำอธิบาย

3⁴=81 เหลือเศษ 1

ตอบ B

ข้อ 27 จำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เมื่อใด A. มีผลบวกเป็นจำนวนเฉพาะ B. ห.ร.ม. เท่ากับ 1 C. ค.ร.น. เท่ากับ 1 D. ทั้งคู่เป็นจำนวนคี่

ดูคำอธิบาย

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์มีตัวประกอบร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1

ตอบ B

ข้อ 28 ข้อใดเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ A. 8 และ 12 B. 9 และ 15 C. 14 และ 25 D. 21 และ 35

ดูคำอธิบาย

ห.ร.ม.(14,25)=1

ตอบ C

ข้อ 29 ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว n² หารด้วย 8 เหลือเศษเท่าใด A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

ดูคำอธิบาย

กำลังสองของจำนวนคี่สมภาคกับ 1 มอดูโล 8

ตอบ B

ข้อ 30 ถ้า 6|a และ 6|b ข้อใดต้องจริง A. 6|(a+b) B. 6|(a−b) เท่านั้น C. a=b D. a และ b เป็นจำนวนเฉพาะ

ดูคำอธิบาย

ผลบวกของจำนวนที่หารด้วย 6 ลงตัว ยังหารด้วย 6 ลงตัว

ตอบ A

📌

16. สรุป

a|b ⇔ b=ak

ห.ร.ม.×ค.ร.น.=ab

a=bq+r, 0≤r<b

a≡b (mod n) ⇔ n|(a−b)

จำนวนเฉพาะมีตัวประกอบบวก 2 ตัว
1 ไม่เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ
ห.ร.ม. ใช้เลขชี้กำลังน้อยที่สุด
ค.ร.น. ใช้เลขชี้กำลังมากที่สุด
การหาเศษเร็วใช้วงรอบและเลขคณิตมอดูลาร์

จำเป็นขั้นตอน

แยกตัวประกอบ → เลือก ห.ร.ม./ค.ร.น. → ใช้เกณฑ์หาร → ลดเศษ → ตรวจความสมเหตุสมผล

EP39 : ทฤษฎีจำนวน การหารลงตัว จำนวนเฉพาะ และเศษเหลือ

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ทฤษฎีจำนวน การหารลงตัว จำนวนเฉพาะ และเศษเหลือ

1. ปัญหานำ

2. การหารลงตัว

3. ตัวประกอบและพหุคูณ

4. จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

5. การแยกตัวประกอบเฉพาะ

6. ห.ร.ม.

7. ค.ร.น.

8. ความสัมพันธ์ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

9. เกณฑ์การหารลงตัว

10. ขั้นตอนวิธีการหาร

11. เลขคณิตมอดูลาร์

12. เทคนิคหาเศษเร็ว

13. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

16. สรุป