EP41 : ลำดับและอนุกรม เลขคณิต–เรขาคณิต

🎯

EP41 • Foundation Mathematics

ลำดับและอนุกรม เลขคณิต–เรขาคณิต

ฝึกมองรูปแบบของจำนวน หาพจน์ถัดไป พจน์ที่ n และผลบวกของหลายพจน์อย่างเป็นระบบ

เป้าหมาย

แยกลำดับเลขคณิตกับเรขาคณิต ใช้สูตรพจน์ทั่วไป และแก้โจทย์อนุกรมได้

❓

1. ปัญหานำ

เงินเดือนเริ่มต้น 15,000 บาท และเพิ่มปีละ 1,000 บาท ปีที่ 6 จะได้เงินเดือนเท่าใด

a₁=15,000, d=1,000

a₆=a₁+(6−1)d

a₆=20,000 บาท

🔢

2. ลำดับคืออะไร

ลำดับคือการเรียงจำนวนตามตำแหน่ง

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ

a₁ คือพจน์แรก
aₙ คือพจน์ที่ n
สูตรพจน์ทั่วไปช่วยหาพจน์ใดก็ได้โดยไม่ต้องเขียนทุกพจน์

➕

3. ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตมีผลต่างของพจน์ติดกันคงที่

d=aₙ−aₙ₋₁

ตัวอย่าง 3,7,11,15,... มี d=4

aₙ

4. พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

aₙ=a₁+(n−1)d

ตัวอย่าง a₁=5, d=3

a₁₀=5+9(3)=32

Σ

5. ผลบวกอนุกรมเลขคณิต

Sₙ=n/2(a₁+aₙ)

Sₙ=n/2[2a₁+(n−1)d]

เลือกใช้สูตรตามข้อมูลที่โจทย์ให้

✍️

6. ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

หาผลบวก 2+5+8+...+29

a₁=2, d=3

29=2+(n−1)3 ⇒ n=10

S₁₀=10/2(2+29)=155

✖️

7. ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนของพจน์ติดกันคงที่

r=aₙ/aₙ₋₁

ตัวอย่าง 2,6,18,54,... มี r=3

rⁿ

8. พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

aₙ=a₁rⁿ⁻¹

ตัวอย่าง a₁=3, r=2

a₆=3×2⁵=96

Σr

9. ผลบวกอนุกรมเรขาคณิต

Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r), r≠1

หรือใช้รูป

Sₙ=a₁(rⁿ−1)/(r−1)

เลือกใช้รูปที่ทำให้คำนวณง่าย

∞

10. อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

หาผลบวกได้เมื่อ

|r|<1

S∞=a₁/(1−r)

ตัวอย่าง 1+1/2+1/4+...=2

↔️

11. การแทรกพจน์

เลขคณิต: แบ่งช่วงให้เท่ากัน

d=(พจน์ท้าย−พจน์แรก)/(จำนวนช่วง)

เรขาคณิต: หา r จากกำลังของจำนวนช่วง

พจน์ท้าย=พจน์แรก×r^(จำนวนช่วง)

⚡

12. เทคนิคทำข้อสอบ

หาผลต่างก่อน ถ้าคงที่เป็นเลขคณิต
หาอัตราส่วนก่อน ถ้าคงที่เป็นเรขาคณิต
โจทย์ถามพจน์ที่ n ใช้ aₙ
โจทย์ถามผลรวมใช้ Sₙ
อนุกรมอนันต์ต้องตรวจ |r|<1
ถ้าหา n ไม่ได้ ให้ตั้งสมการจากพจน์ท้าย

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

ลำดับ 7,11,15,... จงหาพจน์ที่ 20

ดูเฉลย

a₂₀=7+19(4)
ตอบ 83
หาผลบวก 4+7+10+...+31

ดูเฉลย

31=4+(n−1)3 ⇒ n=10
S₁₀=10/2(4+31)
ตอบ 175
ลำดับ 5,15,45,... จงหาพจน์ที่ 7

ดูเฉลย

a₇=5×3⁶
ตอบ 3,645
หาผลบวก 2+6+18+54

ดูเฉลย

S₄=2(1−3⁴)/(1−3)
ตอบ 80
หาผลบวกอนันต์ 8+4+2+1+...

ดูเฉลย

a₁=8, r=1/2
S∞=8/(1−1/2)
ตอบ 16

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ลำดับ 2, 5, 8, 11, ... มีผลต่างร่วมเท่าใด A. 2 B. 3 C. 5 D. 8

ดูคำอธิบาย

ผลต่างของพจน์ติดกันคือ 3

ตอบ B

ข้อ 2 สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือข้อใด A. aₙ=a₁+(n−1)d B. aₙ=a₁rⁿ C. Sₙ=na₁ D. aₙ=a₁+n

ดูคำอธิบาย

ลำดับเลขคณิตใช้ aₙ=a₁+(n−1)d

ตอบ A

ข้อ 3 ลำดับ 4, 7, 10, 13, ... พจน์ที่ 5 เท่ากับเท่าใด A. 13 B. 16 C. 19 D. 22

ดูคำอธิบาย

a₅=4+4(3)=16

ตอบ B

ข้อ 4 ลำดับเลขคณิตมี a₁=6 และ d=4 แล้ว a₈ เท่ากับเท่าใด A. 30 B. 34 C. 38 D. 42

ดูคำอธิบาย

a₈=6+7(4)=34

ตอบ B

ข้อ 5 ลำดับ 20, 17, 14, 11, ... มี d เท่ากับเท่าใด A. −3 B. 3 C. −6 D. 6

ดูคำอธิบาย

แต่ละพจน์ลดลง 3

ตอบ A

ข้อ 6 สูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือข้อใด A. Sₙ=n/2[2a₁+(n−1)d] B. Sₙ=a₁rⁿ C. Sₙ=a₁/(1−r) D. Sₙ=nd

ดูคำอธิบาย

สูตรผลบวกอนุกรมเลขคณิต

ตอบ A

ข้อ 7 ผลบวก 1+2+3+...+10 เท่ากับเท่าใด A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

ดูคำอธิบาย

S₁₀=10(11)/2=55

ตอบ C

ข้อ 8 ผลบวก 5+8+11+14 เท่ากับเท่าใด A. 32 B. 36 C. 38 D. 42

ดูคำอธิบาย

รวมตรงได้ 38

ตอบ C

ข้อ 9 ลำดับเลขคณิต 3, 7, 11, ... มีพจน์ที่ 10 เท่ากับเท่าใด A. 35 B. 39 C. 43 D. 47

ดูคำอธิบาย

a₁₀=3+9(4)=39

ตอบ B

ข้อ 10 ถ้า a₅=18 และ d=3 แล้ว a₁ เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

18=a₁+4(3) จึง a₁=6

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... มีอัตราส่วนร่วมเท่าใด A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

ดูคำอธิบาย

หารพจน์ถัดไปด้วยพจน์ก่อนหน้าได้ 3

ตอบ B

ข้อ 12 สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือข้อใด A. aₙ=a₁+(n−1)d B. aₙ=a₁rⁿ⁻¹ C. Sₙ=n(a₁+aₙ) D. aₙ=nr

ดูคำอธิบาย

ลำดับเรขาคณิตใช้ aₙ=a₁rⁿ⁻¹

ตอบ B

ข้อ 13 ลำดับ 3, 6, 12, 24, ... พจน์ที่ 6 เท่ากับเท่าใด A. 48 B. 72 C. 96 D. 192

ดูคำอธิบาย

a₆=3×2⁵=96

ตอบ C

ข้อ 14 ลำดับเรขาคณิตมี a₁=5 และ r=2 แล้ว a₄ เท่ากับเท่าใด A. 20 B. 30 C. 40 D. 80

ดูคำอธิบาย

a₄=5×2³=40

ตอบ C

ข้อ 15 ลำดับ 81, 27, 9, 3, ... มี r เท่ากับเท่าใด A. 1/2 B. 1/3 C. 3 D. −3

ดูคำอธิบาย

27÷81=1/3

ตอบ B

ข้อ 16 สูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตเมื่อ r≠1 คือข้อใด A. Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r) B. Sₙ=n/2(a₁+aₙ) C. Sₙ=a₁/(1−r) D. Sₙ=nr

ดูคำอธิบาย

สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตจำกัด

ตอบ A

ข้อ 17 ผลบวก 1+2+4+8 เท่ากับเท่าใด A. 12 B. 14 C. 15 D. 16

ดูคำอธิบาย

รวมได้ 15

ตอบ C

ข้อ 18 ผลบวก 3+6+12+24 เท่ากับเท่าใด A. 42 B. 45 C. 48 D. 54

ดูคำอธิบาย

รวมได้ 45

ตอบ B

ข้อ 19 ลำดับเรขาคณิต 2, 10, 50, ... มีพจน์ที่ 5 เท่ากับเท่าใด A. 250 B. 625 C. 1,250 D. 2,500

ดูคำอธิบาย

a₅=2×5⁴=1,250

ตอบ C

ข้อ 20 ถ้า a₃=20 และ r=2 แล้ว a₁ เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 5 C. 10 D. 20

ดูคำอธิบาย

20=a₁×2² จึง a₁=5

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 อนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะหาผลบวกได้เมื่อใด A. r>1 B. |r|<1 C. r=1 D. r เป็นจำนวนเต็ม

ดูคำอธิบาย

ต้องมีค่าสัมบูรณ์ของ r น้อยกว่า 1

ตอบ B

ข้อ 22 สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คือข้อใด A. S∞=a₁/(1−r) B. S∞=a₁r C. S∞=n/2(a₁+aₙ) D. S∞=a₁(1−rⁿ)/(1−r)

ดูคำอธิบาย

ใช้เมื่อ |r|<1

ตอบ A

ข้อ 23 ผลบวกอนันต์ 1+1/2+1/4+... เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 3/2 C. 2 D. 4

ดูคำอธิบาย

S∞=1/(1−1/2)=2

ตอบ C

ข้อ 24 ผลบวกอนันต์ 6+3+3/2+... เท่ากับเท่าใด A. 9 B. 10 C. 12 D. 15

ดูคำอธิบาย

S∞=6/(1−1/2)=12

ตอบ C

ข้อ 25 ลำดับ 1, 4, 9, 16, ... พจน์ทั่วไปคือข้อใด A. aₙ=n B. aₙ=2n C. aₙ=n² D. aₙ=2ⁿ

ดูคำอธิบาย

เป็นกำลังสองของจำนวนเต็มบวก

ตอบ C

ข้อ 26 ลำดับ 1, 3, 6, 10, 15, ... เป็นลำดับชนิดใด A. เลขคณิต B. เรขาคณิต C. จำนวนสามเหลี่ยม D. ค่าคงที่

ดูคำอธิบาย

ผลต่างเพิ่มเป็น 2,3,4,5

ตอบ C

ข้อ 27 แทรกจำนวน 2 จำนวนระหว่าง 4 และ 16 ให้เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ข้อใด A. 8,12 B. 6,10 C. 7,11 D. 5,9

ดูคำอธิบาย

มี 4 ช่วง d=(16−4)/3=4

ตอบ A

ข้อ 28 แทรกจำนวน 2 จำนวนระหว่าง 2 และ 54 ให้เป็นลำดับเรขาคณิต จะได้ข้อใด A. 6,18 B. 8,24 C. 4,16 D. 10,30

ดูคำอธิบาย

2,r, r², r³=54/2=27 จึง r=3

ตอบ A

ข้อ 29 ถ้าผลบวก 10 พจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับ 200 และ a₁=2 แล้ว a₁₀ เท่ากับเท่าใด A. 18 B. 28 C. 38 D. 48

ดูคำอธิบาย

200=10/2(2+a₁₀) จึง 40=2+a₁₀ และ a₁₀=38

ตอบ C

ข้อ 30 เงินเดือนเริ่ม 15,000 บาท เพิ่มปีละ 1,000 บาท ปีที่ 6 ได้เงินเดือนเท่าใด A. 19,000 B. 20,000 C. 21,000 D. 22,000

ดูคำอธิบาย

a₆=15,000+5(1,000)=20,000

ตอบ B

📌

15. สรุป

เลขคณิต: aₙ=a₁+(n−1)d

เลขคณิต: Sₙ=n/2(a₁+aₙ)

เรขาคณิต: aₙ=a₁rⁿ⁻¹

เรขาคณิต: Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)

อนันต์: S∞=a₁/(1−r), |r|<1

ผลต่างคงที่ คือเลขคณิต
อัตราส่วนคงที่ คือเรขาคณิต
พจน์ที่ n ใช้ aₙ
ผลบวก n พจน์ใช้ Sₙ
อนุกรมอนันต์ต้องตรวจ |r|<1

จำเป็นขั้นตอน

ตรวจรูปแบบ → หา d หรือ r → เลือกสูตร → แทนค่า → ตรวจพจน์หรือผลรวม

EP41 : ลำดับและอนุกรม เลขคณิต–เรขาคณิต

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ลำดับและอนุกรม เลขคณิต–เรขาคณิต

1. ปัญหานำ

2. ลำดับคืออะไร

3. ลำดับเลขคณิต

4. พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

5. ผลบวกอนุกรมเลขคณิต

6. ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

7. ลำดับเรขาคณิต

8. พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

9. ผลบวกอนุกรมเรขาคณิต

10. อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

11. การแทรกพจน์

12. เทคนิคทำข้อสอบ

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

15. สรุป