EP42 : หลักการนับ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

🎯

EP42 • Foundation Mathematics

หลักการนับ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

ฝึกนับจำนวนวิธีอย่างเป็นระบบ โดยไม่ต้องเขียนแจกแจงทุกกรณี

เป้าหมาย

แยกให้ออกว่าโจทย์ควรใช้หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน หรือการจัดหมู่

❓

1. ปัญหานำ

มีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 2 ตัว จะแต่งตัวได้กี่แบบ

เลือกเสื้อ 3 วิธี

แต่ละวิธีเลือกกางเกงได้ 2 วิธี

ทั้งหมด 3×2=6 แบบ

➕

2. หลักการบวก

ใช้เมื่อเลือกทำอย่างใดอย่างหนึ่งจากหลายทางเลือกที่ไม่ทับซ้อนกัน

จำนวนวิธีทั้งหมด=m+n

ตัวอย่าง เดินทางด้วยรถยนต์ 3 เส้นทาง หรือรถไฟ 2 ขบวน รวม 5 วิธี

✖️

3. หลักการคูณ

ใช้เมื่อการทำงานประกอบด้วยหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน

จำนวนวิธีทั้งหมด=m×n×...

คำจำ

“หรือ” มักใช้บวก ส่วน “และทำต่อ” มักใช้คูณ

n!

4. แฟกทอเรียล

n!=n(n−1)(n−2)...2×1

0!=1

ตัวอย่าง 5!=120

🔀

5. การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด

ถ้ามีของแตกต่างกัน n สิ่ง และนำมาเรียงทั้งหมด

จำนวนวิธี=n!

ตัวอย่าง คน 4 คนยืนเรียงแถวได้ 4!=24 แบบ

nPr

6. การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วน

เลือกของ n สิ่งมาเรียง r สิ่ง โดยสนใจลำดับ

nPr=n!/(n−r)!

ตัวอย่าง เลือกประธานและรองประธานจาก 5 คน

5P2=5×4=20 วิธี

nCr

7. การจัดหมู่

เลือกของ n สิ่งมา r สิ่ง โดยไม่สนใจลำดับ

nCr=n!/[r!(n−r)!]

ตัวอย่าง เลือกตัวแทน 2 คนจาก 5 คน

5C2=10 วิธี

↔

8. แยก P กับ C ให้ถูก

ถ้าตำแหน่งหรือหน้าที่ต่างกัน → ใช้ Permutation
ถ้าเลือกเป็นกลุ่มเฉย ๆ → ใช้ Combination

ประธาน–รองประธาน: สนใจลำดับ

เลือกกรรมการ: ไม่สนใจลำดับ

🔁

9. การเรียงของที่มีของซ้ำ

ถ้ามีทั้งหมด n สิ่ง และมีของซ้ำเป็นกลุ่ม ๆ

จำนวนวิธี=n!/(n₁!n₂!...)

ตัวอย่าง BOOK มี 4 ตัว และ O ซ้ำ 2 ตัว

4!/2!=12 แบบ

⭕

10. การเรียงรอบวงกลม

การหมุนทั้งกลุ่มถือว่าเป็นแบบเดียวกัน

จำนวนวิธี=(n−1)!

ตัวอย่าง คน 5 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้ 4!=24 แบบ

🔢

11. การสร้างจำนวนและรหัส

รหัสอนุญาตให้ขึ้นต้นด้วย 0 ได้
จำนวนหลายหลัก ห้ามหลักแรกเป็น 0
ถ้าซ้ำได้ จำนวนทางเลือกแต่ละตำแหน่งคงเดิม
ถ้าห้ามซ้ำ จำนวนทางเลือกจะลดลงทีละ 1

ระวัง

โจทย์คำว่า “รหัส” กับ “จำนวน” อาจมีจำนวนวิธีไม่เท่ากัน เพราะเงื่อนไขเลข 0

⚡

12. เทคนิคทำข้อสอบ

ถามก่อนว่า “สนใจลำดับหรือไม่”
ถ้าเป็นหลายขั้นตอนต่อเนื่อง ให้ใช้หลักการคูณ
ถ้าเป็นทางเลือกแบบใดแบบหนึ่ง ให้ใช้หลักการบวก
ตำแหน่งต่างกันใช้ P
เลือกเป็นกลุ่มใช้ C
มีของซ้ำต้องหารด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนที่ซ้ำ
วงกลมให้ตรึงหนึ่งตำแหน่งก่อน

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

มีเสื้อ 4 ตัว กางเกง 3 ตัว และรองเท้า 2 คู่ แต่งตัวได้กี่แบบ

ดูเฉลย
4×3×2=24 แบบ
เลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการจาก 6 คน ได้กี่วิธี

ดูเฉลย
6P3=6×5×4=120 วิธี
เลือกนักเรียน 3 คนจาก 8 คน ได้กี่วิธี

ดูเฉลย
8C3=56 วิธี
เรียงอักษรในคำว่า BANANA ได้กี่แบบ

ดูเฉลย
มีทั้งหมด 6 ตัว โดย A ซ้ำ 3 และ N ซ้ำ 2
6!/(3!2!)=60 แบบ
คน 7 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่แบบ

ดูเฉลย
(7−1)!=720 แบบ

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ถ้ามีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 2 ตัว จะแต่งตัวได้กี่แบบ A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

ดูคำอธิบาย

ใช้หลักการคูณ 3×2=6

ตอบ B

ข้อ 2 มีทางเลือกเดินทาง 4 วิธี และเลือกเวลาออกเดินทาง 3 เวลา มีทั้งหมดกี่แบบ A. 7 B. 12 C. 16 D. 24

ดูคำอธิบาย

เลือกหนึ่งวิธีและหนึ่งเวลา ใช้ 4×3=12

ตอบ B

ข้อ 3 หลักการบวกใช้เมื่อใด A. ทำหลายขั้นต่อเนื่องกัน B. เลือกอย่างใดอย่างหนึ่งจากทางเลือกที่ไม่ซ้ำกัน C. เรียงของทุกชิ้น D. เลือกพร้อมกันทุกทาง

ดูคำอธิบาย

หลักการบวกใช้กับทางเลือกแบบ หรือ

ตอบ B

ข้อ 4 หลักการคูณใช้เมื่อใด A. เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง B. ทำหลายขั้นต่อเนื่องกัน C. ไม่มีเงื่อนไข D. เลือกไม่ได้

ดูคำอธิบาย

หลักการคูณใช้กับขั้นตอนที่ต้องทำต่อเนื่องกัน

ตอบ B

ข้อ 5 เลขโดด 1,2,3 สร้างจำนวน 2 หลักโดยไม่ซ้ำได้กี่จำนวน A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

หลักสิบมี 3 ทาง หลักหน่วยเหลือ 2 ทาง รวม 6

ตอบ B

ข้อ 6 เลขโดด 0,1,2 สร้างจำนวน 2 หลักโดยไม่ซ้ำได้กี่จำนวน A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

ดูคำอธิบาย

หลักสิบเลือกได้ 1 หรือ 2 มี 2 ทาง แล้วหลักหน่วยเหลือ 2 ทาง รวม 4

ตอบ C

ข้อ 7 การเรียงของ 4 สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมดมีกี่แบบ A. 4 B. 8 C. 12 D. 24

ดูคำอธิบาย

4!=24

ตอบ D

ข้อ 8 ค่า 5! เท่ากับเท่าใด A. 25 B. 60 C. 100 D. 120

ดูคำอธิบาย

5!=5×4×3×2×1=120

ตอบ D

ข้อ 9 ค่า 0! เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. ไม่กำหนด D. −1

ดูคำอธิบาย

ตามนิยาม 0!=1

ตอบ B

ข้อ 10 การเรียงคน 3 คนเป็นแถวตรงมีกี่แบบ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

3!=6

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 สูตรการเรียงสับเปลี่ยน n สิ่ง เลือกมาเรียง r สิ่ง คือข้อใด A. n!/(n−r)! B. n!/[r!(n−r)!] C. r!/(n−r)! D. n!/r!

ดูคำอธิบาย

nPr=n!/(n−r)!

ตอบ A

ข้อ 12 ค่า 5P2 เท่ากับเท่าใด A. 10 B. 20 C. 25 D. 60

ดูคำอธิบาย

5P2=5×4=20

ตอบ B

ข้อ 13 ค่า 6P3 เท่ากับเท่าใด A. 20 B. 60 C. 120 D. 216

ดูคำอธิบาย

6×5×4=120

ตอบ C

ข้อ 14 สูตรการจัดหมู่ n สิ่ง เลือก r สิ่ง คือข้อใด A. n!/(n−r)! B. n!/[r!(n−r)!] C. r!/(n−r)! D. n!/r!

ดูคำอธิบาย

nCr=n!/[r!(n−r)!]

ตอบ B

ข้อ 15 ค่า 5C2 เท่ากับเท่าใด A. 5 B. 10 C. 20 D. 25

ดูคำอธิบาย

5C2=10

ตอบ B

ข้อ 16 ค่า 6C3 เท่ากับเท่าใด A. 10 B. 20 C. 30 D. 60

ดูคำอธิบาย

6C3=20

ตอบ B

ข้อ 17 ข้อใดต่างกันระหว่าง nPr และ nCr A. nPr สนใจลำดับ แต่ nCr ไม่สนใจลำดับ B. nCr สนใจลำดับ แต่ nPr ไม่สนใจลำดับ C. เหมือนกันเสมอ D. ใช้ได้เฉพาะ r=1

ดูคำอธิบาย

Permutation สนใจตำแหน่ง ส่วน Combination สนใจเฉพาะกลุ่ม

ตอบ A

ข้อ 18 เลือกประธานและรองประธานจาก 5 คน มีกี่วิธี A. 10 B. 20 C. 25 D. 120

ดูคำอธิบาย

ตำแหน่งต่างกัน จึงใช้ 5P2=20

ตอบ B

ข้อ 19 เลือกตัวแทน 2 คนจาก 5 คน มีกี่วิธี A. 5 B. 10 C. 20 D. 25

ดูคำอธิบาย

ไม่สนใจลำดับ ใช้ 5C2=10

ตอบ B

ข้อ 20 เลือกกรรมการ 3 คนจาก 8 คน มีกี่วิธี A. 56 B. 112 C. 336 D. 512

ดูคำอธิบาย

8C3=56

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 การเรียงคำว่า CAT มีกี่แบบ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

อักษรต่างกัน 3 ตัว จึงมี 3!=6 แบบ

ตอบ B

ข้อ 22 การเรียงคำว่า MATH มีกี่แบบ A. 12 B. 16 C. 24 D. 48

ดูคำอธิบาย

อักษรต่างกัน 4 ตัว จึงมี 4!=24 แบบ

ตอบ C

ข้อ 23 การเรียงคำว่า LEVEL มีกี่แบบ A. 20 B. 30 C. 60 D. 120

ดูคำอธิบาย

มี 5 ตัว โดย L ซ้ำ 2 และ E ซ้ำ 2 ได้ 5!/(2!2!)=30

ตอบ B

ข้อ 24 การเรียงคำว่า BOOK มีกี่แบบ A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

ดูคำอธิบาย

มี O ซ้ำ 2 ตัว ได้ 4!/2!=12

ตอบ B

ข้อ 25 คน 5 คนนั่งรอบโต๊ะกลมมีกี่แบบ A. 24 B. 60 C. 120 D. 720

ดูคำอธิบาย

การเรียงรอบวงกลมใช้ (n−1)! = 4! = 24

ตอบ A

ข้อ 26 คน 6 คนนั่งรอบโต๊ะกลมมีกี่แบบ A. 60 B. 120 C. 240 D. 720

ดูคำอธิบาย

ใช้ (6−1)!=120

ตอบ B

ข้อ 27 เลือกหนังสือ 3 เล่มจาก 7 เล่มมีกี่วิธี A. 21 B. 35 C. 42 D. 210

ดูคำอธิบาย

7C3=35

ตอบ B

ข้อ 28 สร้างรหัส 3 หลักจากเลข 0–9 โดยซ้ำได้ มีกี่รหัส A. 100 B. 720 C. 900 D. 1,000

ดูคำอธิบาย

แต่ละหลักมี 10 ทาง รวม 10³=1,000

ตอบ D

ข้อ 29 สร้างรหัส 3 หลักจากเลข 0–9 โดยห้ามซ้ำ มีกี่รหัส A. 720 B. 900 C. 1,000 D. 504

ดูคำอธิบาย

10×9×8=720

ตอบ A

ข้อ 30 มีนักเรียนชาย 4 คน หญิง 3 คน เลือกตัวแทน 2 คน โดยต้องเป็นชาย 1 หญิง 1 มีกี่วิธี A. 7 B. 12 C. 18 D. 24

ดูคำอธิบาย

เลือกชาย 4 วิธี และหญิง 3 วิธี รวม 4×3=12

ตอบ B

📌

15. สรุป

หลักการบวก: เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง

หลักการคูณ: ทำหลายขั้นต่อเนื่อง

nPr=n!/(n−r)!

nCr=n!/[r!(n−r)!]

เรียงรอบวงกลม=(n−1)!

สนใจลำดับใช้ P
ไม่สนใจลำดับใช้ C
ของซ้ำต้องหารด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนที่ซ้ำ
รหัสอาจขึ้นต้นด้วย 0 ได้
จำนวนหลายหลักห้ามหลักแรกเป็น 0

จำเป็นขั้นตอน

แยกขั้นตอน → ตรวจลำดับ → เลือกบวกหรือคูณ → เลือก P หรือ C → ตรวจเงื่อนไขซ้ำและเลข 0

EP42 : หลักการนับ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

เส้นทางสู่เป้าหมาย

หลักการนับ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

1. ปัญหานำ

2. หลักการบวก

3. หลักการคูณ

4. แฟกทอเรียล

5. การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด

6. การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วน

7. การจัดหมู่

8. แยก P กับ C ให้ถูก

9. การเรียงของที่มีของซ้ำ

10. การเรียงรอบวงกลม

11. การสร้างจำนวนและรหัส

12. เทคนิคทำข้อสอบ

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

15. สรุป