EP44 : ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์อิสระ และกฎของเบย์

🎯

EP44 • Foundation Mathematics

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์อิสระ และกฎของเบย์

ฝึกคำนวณความน่าจะเป็นเมื่อมีข้อมูลเพิ่มเติม และวิเคราะห์เหตุการณ์หลายขั้นอย่างเป็นระบบ

เป้าหมาย

ใช้ P(A|B), กฎการคูณ, เหตุการณ์อิสระ, แผนภาพต้นไม้ และกฎของเบย์ได้ถูกต้อง

❓

1. ปัญหานำ

ทอดลูกเต๋า 1 ลูก และทราบแล้วว่าแต้มที่ได้เป็นจำนวนคู่ ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มมากกว่า 3 เท่ากับเท่าใด

แต้มคู่={2,4,6}

แต้มคู่และมากกว่า 3={4,6}

P=2/3

เมื่อมีข้อมูลว่า “เป็นจำนวนคู่” ปริภูมิตัวอย่างจึงลดลงเหลือเพียง 3 ผลลัพธ์

|

2. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

อ่านว่า ความน่าจะเป็นของ A เมื่อทราบว่า B เกิดแล้ว

เงื่อนไข

ต้องมี P(B)>0 และต้องมองผลลัพธ์ภายในเหตุการณ์ B เท่านั้น

✖️

3. กฎการคูณทั่วไป

P(A∩B)=P(A|B)P(B)

P(A∩B)=P(B|A)P(A)

ใช้กับเหตุการณ์ที่เกิดเป็นลำดับ เช่น หยิบครั้งแรกแล้วหยิบครั้งที่สอง

🔗

4. เหตุการณ์อิสระ

A และ B เป็นอิสระต่อกัน เมื่อการเกิด B ไม่เปลี่ยนโอกาสของ A

P(A|B)=P(A)

P(A∩B)=P(A)P(B)

ตัวอย่าง ผลของการโยนเหรียญครั้งแรกไม่กระทบครั้งที่สอง

🚫

5. อิสระกับไม่ทับซ้อนต่างกัน

ไม่ทับซ้อน: A และ B เกิดพร้อมกันไม่ได้
อิสระ: การเกิดเหตุการณ์หนึ่งไม่กระทบอีกเหตุการณ์

ไม่ทับซ้อน: P(A∩B)=0

ข้อสอบชอบหลอก

เหตุการณ์ไม่ทับซ้อนที่มีโอกาสเกิดไม่เป็นศูนย์ จะไม่เป็นอิสระต่อกัน

🎒

6. ใส่คืนและไม่ใส่คืน

ใส่คืน: จำนวนสิ่งของกลับเท่าเดิม เหตุการณ์แต่ละครั้งมักอิสระ

ไม่ใส่คืน: จำนวนสิ่งของเปลี่ยน ความน่าจะเป็นครั้งต่อไปจึงเปลี่ยน

ไม่ใส่คืน: 3/5×2/4

ใส่คืน: 3/5×3/5

🌳

7. แผนภาพต้นไม้

ใช้แสดงเหตุการณ์หลายขั้น

คูณความน่าจะเป็นตามกิ่งของเส้นทางเดียวกัน
บวกความน่าจะเป็นของหลายเส้นทางที่นำไปสู่เหตุการณ์เดียวกัน

จำง่าย

ตามทางให้คูณ หลายทางมารวมกันให้บวก

Σ

8. กฎความน่าจะเป็นรวม

ถ้า B₁,B₂,... แบ่งปริภูมิตัวอย่างออกเป็นส่วนที่ไม่ทับซ้อนกัน

P(A)=Σ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)

ตัวอย่าง สินค้ามาจากหลายโรงงาน แต่ละโรงงานมีอัตราของเสียต่างกัน

B

9. กฎของเบย์

P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

ใช้กลับทิศของเงื่อนไข เช่น รู้โอกาสตรวจบวกเมื่อป่วย แล้วต้องการหาโอกาสป่วยเมื่อผลตรวจบวก

🏭

10. ตัวอย่างโรงงาน

โรงงาน A ผลิต 60% ของเสีย 2% และโรงงาน B ผลิต 40% ของเสีย 5%

P(เสีย)=0.6(0.02)+0.4(0.05)=0.032

P(B|เสีย)=0.4(0.05)/0.032=0.625

ดังนั้นเมื่อพบของเสีย มีโอกาส 62.5% ที่มาจากโรงงาน B

🩺

11. การตรวจโรค

ความไว: P(ผลบวก|ป่วย)
ความจำเพาะ: P(ผลลบ|ไม่ป่วย)
ผลบวกลวง: P(ผลบวก|ไม่ป่วย)

ระวังการกลับเงื่อนไข

P(ผลบวก|ป่วย) ไม่เท่ากับ P(ป่วย|ผลบวก) โดยทั่วไป

⚡

12. เทคนิคทำข้อสอบ

วงคำว่า “เมื่อทราบว่า” หรือ “กำหนดให้”
กำหนดเหตุการณ์ A และ B ให้ชัด
ถ้าเป็นหลายขั้น ให้เขียนต้นไม้
ใส่คืนให้ใช้ความน่าจะเป็นเดิม
ไม่ใส่คืนต้องปรับทั้งตัวเศษและตัวส่วน
ตรวจความอิสระด้วย P(A∩B)=P(A)P(B)
โจทย์กลับเงื่อนไขให้คิดกฎของเบย์

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

ถ้า P(A∩B)=0.24 และ P(B)=0.6 จงหา P(A|B)

ดูเฉลย

P(A|B)=0.24/0.6
ตอบ 0.4
ถุงมีลูกบอลแดง 4 ลูก ขาว 3 ลูก หยิบ 2 ลูกโดยไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นได้แดงทั้งสองลูก

ดูเฉลย

4/7×3/6
ตอบ 2/7
ถุงเดียวกัน หากหยิบแล้วใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นได้แดงทั้งสองครั้ง

ดูเฉลย

4/7×4/7
ตอบ 16/49
ถ้า P(A)=0.5, P(B)=0.4 และ P(A∩B)=0.2 จงตรวจว่า A และ B อิสระต่อกันหรือไม่

ดูเฉลย

P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2
อิสระต่อกัน
เครื่อง A ผลิต 70% ของสินค้า มีของเสีย 1% เครื่อง B ผลิต 30% มีของเสีย 4% ถ้าสุ่มได้ของเสีย จงหาความน่าจะเป็นว่ามาจากเครื่อง B

ดูเฉลย

P(เสีย)=0.7(0.01)+0.3(0.04)=0.019

P(B|เสีย)=0.3(0.04)/0.019

ตอบ 12/19 หรือประมาณ 0.632

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A|B) คือข้อใด A. P(A∩B)/P(B) B. P(A∪B)/P(B) C. P(A)/P(B) D. P(B)/P(A)

ดูคำอธิบาย

นิยามคือ P(A|B)=P(A∩B)/P(B) เมื่อ P(B)>0

ตอบ A

ข้อ 2 สัญลักษณ์ P(A|B) อ่านว่าอย่างไร A. ความน่าจะเป็นของ A หรือ B B. ความน่าจะเป็นของ A เมื่อทราบว่า B เกิดแล้ว C. ความน่าจะเป็นของ B เมื่อทราบว่า A เกิดแล้ว D. ความน่าจะเป็นของ A และ B

ดูคำอธิบาย

เครื่องหมาย | อ่านว่า เมื่อกำหนดให้ หรือ เมื่อทราบว่า

ตอบ B

ข้อ 3 ถ้า P(A∩B)=0.2 และ P(B)=0.5 แล้ว P(A|B) เท่ากับเท่าใด A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.7

ดูคำอธิบาย

0.2÷0.5=0.4

ตอบ C

ข้อ 4 ถ้า P(A|B)=0.6 และ P(B)=0.5 แล้ว P(A∩B) เท่ากับเท่าใด A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 1.1

ดูคำอธิบาย

P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.6×0.5=0.3

ตอบ B

ข้อ 5 สูตรกฎการคูณทั่วไปคือข้อใด A. P(A∩B)=P(A|B)P(B) B. P(A∩B)=P(A)+P(B) C. P(A∪B)=P(A)P(B) D. P(A|B)=P(A)+P(B)

ดูคำอธิบาย

กฎการคูณทั่วไปมาจากนิยามความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ตอบ A

ข้อ 6 เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกันเมื่อใด A. P(A|B)=P(A) B. P(A|B)=0 C. P(A∩B)=0 D. P(A)+P(B)=1

ดูคำอธิบาย

การเกิด B ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของ A

ตอบ A

ข้อ 7 ถ้า A และ B อิสระต่อกัน สูตรใดถูกต้อง A. P(A∩B)=P(A)+P(B) B. P(A∩B)=P(A)P(B) C. P(A∪B)=0 D. P(A|B)=0

ดูคำอธิบาย

เหตุการณ์อิสระใช้ผลคูณของความน่าจะเป็น

ตอบ B

ข้อ 8 ถ้า P(A)=0.4 และ P(B)=0.5 และอิสระต่อกัน P(A∩B) เท่ากับเท่าใด A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9

ดูคำอธิบาย

0.4×0.5=0.2

ตอบ A

ข้อ 9 ถ้า P(A)=0.3 และ P(B)=0.6 และ P(A∩B)=0.18 เหตุการณ์เป็นอิสระหรือไม่ A. เป็น B. ไม่เป็น C. สรุปไม่ได้ D. เป็นเหตุการณ์ตรงข้าม

ดูคำอธิบาย

0.3×0.6=0.18 จึงเป็นอิสระ

ตอบ A

ข้อ 10 เหตุการณ์ไม่ทับซ้อนกันหมายถึงข้อใด A. P(A∩B)=0 B. P(A|B)=P(A) C. P(A)=P(B) D. P(A∪B)=0

ดูคำอธิบาย

เหตุการณ์ไม่ทับซ้อนกันไม่มีผลลัพธ์ร่วม

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 เหตุการณ์ไม่ทับซ้อนกันและมีความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์ จะเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ A. เป็นเสมอ B. ไม่เป็น C. เป็นเฉพาะ P(A)=P(B) D. สรุปไม่ได้

ดูคำอธิบาย

ถ้า A เกิดแล้ว B เกิดไม่ได้ จึงมีผลต่อกัน

ตอบ B

ข้อ 12 หยิบไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ เมื่อทราบว่าเป็นไพ่โพแดง ความน่าจะเป็นที่จะเป็นเอซเท่ากับเท่าใด A. 1/52 B. 1/13 C. 1/4 D. 4/13

ดูคำอธิบาย

ในไพ่โพแดง 13 ใบ มีเอซโพแดง 1 ใบ

ตอบ B

ข้อ 13 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก เมื่อทราบว่าได้แต้มคู่ ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มมากกว่า 3 เท่ากับเท่าใด A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 1

ดูคำอธิบาย

แต้มคู่คือ {2,4,6} และมากกว่า 3 คือ {4,6} จึง 2/3

ตอบ C

ข้อ 14 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก เมื่อทราบว่าได้แต้มมากกว่า 3 ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มคู่เท่ากับเท่าใด A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 1

ดูคำอธิบาย

แต้มมากกว่า 3 คือ {4,5,6} และคู่คือ {4,6} จึง 2/3

ตอบ C

ข้อ 15 ถุงมีลูกบอลแดง 3 น้ำเงิน 2 หยิบ 1 ลูกแล้วไม่ใส่คืน จากนั้นหยิบอีก 1 ลูก ความน่าจะเป็นได้แดงทั้งสองครั้งเท่ากับเท่าใด A. 3/10 B. 3/5 C. 6/25 D. 9/25

ดูคำอธิบาย

ครั้งแรก 3/5 ครั้งที่สองเหลือแดง 2 จาก 4 จึง 3/5×2/4=3/10

ตอบ A

ข้อ 16 ถุงเดียวกัน ถ้าใส่คืนหลังหยิบครั้งแรก ความน่าจะเป็นได้แดงทั้งสองครั้งเท่ากับเท่าใด A. 3/10 B. 6/25 C. 9/25 D. 3/5

ดูคำอธิบาย

ใส่คืนทำให้แต่ละครั้งอิสระ 3/5×3/5=9/25

ตอบ C

ข้อ 17 หยิบไพ่ 2 ใบโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นได้เอซทั้งสองใบคือข้อใด A. 1/169 B. 1/221 C. 1/13 D. 4/52

ดูคำอธิบาย

4/52×3/51=12/2652=1/221

ตอบ B

ข้อ 18 โยนเหรียญ 2 ครั้ง เหตุการณ์ออกหัวครั้งแรกกับออกหัวครั้งที่สองมีความสัมพันธ์อย่างไร A. อิสระต่อกัน B. ไม่ทับซ้อนกัน C. เป็นเหตุการณ์ตรงข้าม D. ขึ้นต่อกัน

ดูคำอธิบาย

ผลครั้งแรกไม่กระทบผลครั้งที่สอง

ตอบ A

ข้อ 19 ถ้า P(A)=0.5 และ P(B|A)=0.4 แล้ว P(A∩B) เท่ากับเท่าใด A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9

ดูคำอธิบาย

P(A∩B)=0.5×0.4=0.2

ตอบ B

ข้อ 20 ถ้า P(B)=0.8 และ P(A|B)=0.25 แล้ว P(A∩B) เท่ากับเท่าใด A. 0.05 B. 0.2 C. 0.4 D. 1.05

ดูคำอธิบาย

0.8×0.25=0.2

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สูตรกฎของเบย์คือข้อใด A. P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) B. P(A|B)=P(A)+P(B) C. P(A|B)=P(A∩B)P(B) D. P(A|B)=1−P(B|A)

ดูคำอธิบาย

กฎของเบย์ใช้กลับทิศของเงื่อนไข

ตอบ A

ข้อ 22 ถ้า P(A)=0.3, P(B|A)=0.8 และ P(B)=0.4 แล้ว P(A|B) เท่ากับเท่าใด A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8

ดูคำอธิบาย

0.8×0.3÷0.4=0.6

ตอบ C

ข้อ 23 โรงงาน A ผลิตสินค้า 60% และของเสีย 2% โรงงาน B ผลิต 40% และของเสีย 5% ความน่าจะเป็นสุ่มได้ของเสียเท่ากับเท่าใด A. 0.02 B. 0.032 C. 0.05 D. 0.07

ดูคำอธิบาย

0.6×0.02+0.4×0.05=0.012+0.020=0.032

ตอบ B

ข้อ 24 จากข้อมูลข้อก่อน ถ้าพบว่าเป็นของเสีย ความน่าจะเป็นที่มาจากโรงงาน B เท่ากับเท่าใด A. 0.375 B. 0.50 C. 0.625 D. 0.80

ดูคำอธิบาย

P(B|เสีย)=0.4×0.05/0.032=0.625

ตอบ C

ข้อ 25 กล่อง 1 เลือกด้วยโอกาส 1/2 มีลูกแดง 3 ขาว 1 กล่อง 2 มีแดง 1 ขาว 3 ถ้าหยิบได้แดง ความน่าจะเป็นว่ามาจากกล่อง 1 เท่ากับเท่าใด A. 1/4 B. 1/2 C. 3/4 D. 1

ดูคำอธิบาย

ตัวเศษ=1/2×3/4=3/8 ส่วน P(แดง)=3/8+1/8=1/2 จึง 3/4

ตอบ C

ข้อ 26 ถ้าการตรวจโรคมีความไว 90% หมายถึงข้อใด A. ผู้ไม่ป่วยตรวจลบ 90% B. ผู้ป่วยตรวจบวก 90% C. ผู้ตรวจบวกป่วย 90% D. ประชากรป่วย 90%

ดูคำอธิบาย

ความไวคือ P(ผลบวก|ป่วย)

ตอบ B

ข้อ 27 ถ้าการตรวจโรคมีความจำเพาะ 95% หมายถึงข้อใด A. P(ผลลบ|ไม่ป่วย)=0.95 B. P(ผลบวก|ป่วย)=0.95 C. P(ป่วย|ผลบวก)=0.95 D. P(ไม่ป่วย)=0.95

ดูคำอธิบาย

ความจำเพาะคือความน่าจะเป็นตรวจลบเมื่อไม่ป่วย

ตอบ A

ข้อ 28 ต้นไม้ความน่าจะเป็นมีประโยชน์หลักอย่างไร A. แสดงเหตุการณ์หลายขั้นและคูณตามกิ่ง B. ใช้แทนกราฟเส้นตรง C. หาค่าเฉลี่ย D. ใช้เฉพาะเหตุการณ์อิสระ

ดูคำอธิบาย

ต้นไม้ช่วยแสดงลำดับเหตุการณ์และความน่าจะเป็นตามแต่ละกิ่ง

ตอบ A

ข้อ 29 ในแผนภาพต้นไม้ ความน่าจะเป็นของเส้นทางหนึ่งหาอย่างไร A. บวกทุกกิ่งในเส้นทาง B. คูณความน่าจะเป็นตามกิ่ง C. ลบกิ่งแรกออก D. หารด้วยจำนวนกิ่ง

ดูคำอธิบาย

เหตุการณ์ต่อเนื่องบนเส้นทางเดียวกันใช้การคูณ

ตอบ B

ข้อ 30 ถ้ามีหลายเส้นทางที่นำไปสู่เหตุการณ์เดียวกัน ควรทำอย่างไร A. คูณทุกเส้นทางรวมกัน B. บวกความน่าจะเป็นของแต่ละเส้นทาง C. เลือกเส้นทางที่มากที่สุด D. ลบทุกเส้นทาง

ดูคำอธิบาย

คำนวณแต่ละเส้นทางด้วยการคูณ แล้วบวกเส้นทางที่เป็นเหตุการณ์เดียวกัน

ตอบ B

📌

15. สรุป

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

P(A∩B)=P(A|B)P(B)

อิสระ: P(A∩B)=P(A)P(B)

P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ)

P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

เงื่อนไขทำให้ปริภูมิตัวอย่างแคบลง
ใส่คืนมักทำให้เหตุการณ์อิสระ
ไม่ใส่คืนทำให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยน
อิสระไม่เหมือนกับไม่ทับซ้อน
กฎของเบย์ใช้กลับทิศของเงื่อนไข

จำเป็นขั้นตอน

กำหนดเหตุการณ์ → เขียนเงื่อนไข → สร้างต้นไม้ → คูณตามเส้นทาง → บวกหลายเส้นทาง → ใช้เบย์เมื่อกลับเงื่อนไข

EP44 : ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์อิสระ และกฎของเบย์

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์อิสระ และกฎของเบย์

1. ปัญหานำ

2. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

3. กฎการคูณทั่วไป

4. เหตุการณ์อิสระ

5. อิสระกับไม่ทับซ้อนต่างกัน

6. ใส่คืนและไม่ใส่คืน

7. แผนภาพต้นไม้

8. กฎความน่าจะเป็นรวม

9. กฎของเบย์

10. ตัวอย่างโรงงาน

11. การตรวจโรค

12. เทคนิคทำข้อสอบ

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

15. สรุป