EP45 : สถิติเบื้องต้น ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
เรียนรู้ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ควอร์ไทล์ IQR ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก และผลของค่าผิดปกติ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz 30 ข้อ
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
สถิติเบื้องต้น ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
ฝึกสรุปข้อมูลด้วยค่ากลาง และวิเคราะห์ว่าข้อมูลกระจายตัวมากหรือน้อยเพียงใด
คำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ควอร์ไทล์ และเลือกใช้ค่าทางสถิติได้เหมาะสม
1. ปัญหานำ
คะแนนของนักเรียน 5 คนคือ 10,12,14,16 และ 48 คะแนน ควรใช้ค่าใดแทนคะแนนส่วนใหญ่ของกลุ่ม
ค่า 48 สูงผิดปกติและดึงค่าเฉลี่ยขึ้น จึงควรใช้มัธยฐานแทนค่ากลางของข้อมูลชุดนี้
2. ข้อมูลและความถี่
ข้อมูลคือค่าที่รวบรวมจากการสังเกตหรือวัดผล
- ข้อมูลดิบ: ค่าที่ยังไม่ได้จัดกลุ่ม
- ความถี่: จำนวนครั้งที่ค่านั้นปรากฏ
- ตารางแจกแจงความถี่: ช่วยสรุปข้อมูลจำนวนมาก
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ตัวอย่าง 4,6,8 มีค่าเฉลี่ย (4+6+8)/3=6
ค่าเฉลี่ยได้รับผลจากค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติมาก
4. มัธยฐาน
มัธยฐานคือค่าตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
- จำนวนข้อมูลคี่: เลือกค่ากลาง
- จำนวนข้อมูลคู่: เฉลี่ยสองค่ากลาง
5. ฐานนิยม
ฐานนิยมคือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด
ข้อมูลอาจไม่มีฐานนิยม หรือมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่าได้
6. พิสัย
เป็นวิธีวัดการกระจายที่ง่ายที่สุด
7. ควอร์ไทล์
ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็น 4 ส่วน
- Q1 คือมัธยฐานของครึ่งล่าง
- Q2 คือมัธยฐานของข้อมูลทั้งหมด
- Q3 คือมัธยฐานของครึ่งบน
8. ค่าผิดปกติด้วย IQR
ค่าที่ต่ำกว่าขอบล่างหรือสูงกว่าขอบบน อาจเป็นค่าผิดปกติ
9. ความแปรปรวน
ความแปรปรวนวัดค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะห่างจากค่าเฉลี่ย
การยกกำลังสองทำให้ค่าติดลบไม่หักล้างกับค่าบวก
10. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
มีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม จึงแปลความหมายง่ายกว่าความแปรปรวน
ค่ายิ่งน้อย ข้อมูลยิ่งสม่ำเสมอ ค่ายิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย
11. ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก
ใช้เมื่อคะแนนหรือข้อมูลแต่ละส่วนมีความสำคัญไม่เท่ากัน
12. ผลของการเปลี่ยนข้อมูล
- บวกค่าคงที่ c ทุกตัว ⇒ ค่าเฉลี่ยและมัธยฐานเพิ่ม c
- คูณทุกตัวด้วย k ⇒ ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคูณ |k|
- บวกค่าคงที่ทุกตัว ⇒ พิสัยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เปลี่ยน
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- เรียงข้อมูลก่อนหามัธยฐานและควอร์ไทล์
- ค่าเฉลี่ยย้อนกลับเป็นผลรวมได้ด้วย x̄×n
- มีค่าผิดปกติให้พิจารณามัธยฐาน
- ฐานนิยมดูค่าที่ซ้ำมากที่สุด
- พิสัยใช้เพียงค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด
- การกระจายเปรียบเทียบด้วย IQR หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
ข้อมูล 5,7,8,10,15 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และพิสัย
ดูเฉลย
ค่าเฉลี่ย=(5+7+8+10+15)/5=9
มัธยฐาน=8
พิสัย=15−5=10
ตอบ ค่าเฉลี่ย 9 มัธยฐาน 8 พิสัย 10
ข้อมูล 2,3,3,4,5,5,5,6 จงหาฐานนิยม
ดูเฉลย
ฐานนิยม=5
ข้อมูล 1,3,5,7,9,11,13 จงหา Q1, Q2 และ Q3
ดูเฉลย
Q2=7
ครึ่งล่าง 1,3,5 ⇒ Q1=3
ครึ่งบน 9,11,13 ⇒ Q3=11
ตอบ Q1=3, Q2=7, Q3=11
นักเรียน 6 คนมีคะแนนเฉลี่ย 18 คะแนน ผลรวมคะแนนทั้งหมดเท่าใด
ดูเฉลย
18×6=108 คะแนน
คะแนนสอบ 70 น้ำหนัก 50% งาน 80 น้ำหนัก 30% และจิตพิสัย 90 น้ำหนัก 20% คะแนนรวมเท่าใด
ดูเฉลย
70(0.5)+80(0.3)+90(0.2)
=35+24+18
ตอบ 77 คะแนน
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- ค่าเฉลี่ยใช้ข้อมูลทุกค่า
- มัธยฐานทนต่อค่าผิดปกติได้ดีกว่า
- ฐานนิยมใช้ได้กับข้อมูลเชิงประเภท
- IQR วัดการกระจายของข้อมูลกึ่งกลาง 50%
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย
เรียงข้อมูล → เลือกค่ากลาง → คำนวณการกระจาย → ตรวจค่าผิดปกติ → แปลความหมาย