EP47 : ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

🎯

EP47 • Foundation Mathematics

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ฝึกมองการจับคู่ระหว่างข้อมูลต้นทางกับผลลัพธ์ และตรวจว่ากฎการจับคู่นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่

เป้าหมาย

หาโดเมน–เรนจ์ ตรวจฟังก์ชัน คำนวณค่าฟังก์ชัน และใช้ฟังก์ชันประกอบกับฟังก์ชันผกผันได้

❓

1. ปัญหานำ

กำหนดการจับคู่ดังนี้

{(1,2),(2,4),(3,6)}

สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวมีผลลัพธ์เพียงค่าเดียว จึงเป็นฟังก์ชัน

โดเมน={1,2,3}

เรนจ์={2,4,6}

(x,y)

2. คู่อันดับ

คู่อันดับเขียนในรูป (x,y) โดยตำแหน่งมีความสำคัญ

(a,b)=(c,d) ⇔ a=c และ b=d

ระวัง

โดยทั่วไป (a,b) ไม่เท่ากับ (b,a)

A×B

3. ผลคูณคาร์ทีเซียน

ถ้า A และ B เป็นเซต

A×B={(a,b) | a∈A และ b∈B}

ตัวอย่าง A={1,2}, B={x,y}

A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}

n(A×B)=n(A)n(B)

R

4. ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์จาก A ไป B คือสับเซตของ A×B

R⊆A×B

ความสัมพันธ์อาจแสดงด้วยคู่อันดับ แผนภาพลูกศร ตาราง หรือกราฟ

D,R

5. โดเมนและเรนจ์

โดเมน: สมาชิกตัวหน้าที่ปรากฏในความสัมพันธ์
เรนจ์: สมาชิกตัวหลังที่ปรากฏในความสัมพันธ์

R={(1,3),(2,3),(4,5)}

โดเมน={1,2,4}, เรนจ์={3,5}

f

6. ฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ที่สมาชิกทุกตัวในโดเมนจับคู่กับผลลัพธ์เพียงค่าเดียว

หนึ่งค่า x → หนึ่งค่า y

สำคัญ

หลายค่า x ให้ค่า y เดียวกันได้ แต่ x เดียวให้หลายค่า y ไม่ได้

↕

7. การทดสอบเส้นตั้ง

ใช้ตรวจกราฟว่าเป็นฟังก์ชันของ x หรือไม่

เส้นตั้งทุกเส้นตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด → เป็นฟังก์ชัน
มีเส้นตั้งที่ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด → ไม่เป็นฟังก์ชัน

เส้นตรง y=2x+1 เป็นฟังก์ชัน แต่วงกลม x²+y²=9 ไม่เป็นฟังก์ชันของ x

f(x)

8. สัญลักษณ์และค่าของฟังก์ชัน

y=f(x)

x คืออินพุต และ f(x) คือผลลัพธ์

ถ้า f(x)=2x+1 ⇒ f(3)=7

แทนค่าให้ครบ

ถ้าแทนจำนวนลบ ควรใส่วงเล็บ เช่น f(−2)=(−2)²−4

Dom

9. โดเมนจากสูตร

โดเมนคือค่าของ x ที่ทำให้สูตรมีความหมายในระบบจำนวนจริง

ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์
ภายในรากที่สองต้องไม่ติดลบ

1/(x−2) ⇒ x≠2

√(x−3) ⇒ x≥3

±×÷

10. การดำเนินการของฟังก์ชัน

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(f−g)(x)=f(x)−g(x)

(fg)(x)=f(x)g(x)

(f/g)(x)=f(x)/g(x), g(x)≠0

f∘g

11. ฟังก์ชันประกอบ

(f∘g)(x)=f(g(x))

ให้ทำฟังก์ชันด้านในก่อน

f(x)=x+1, g(x)=2x

(f∘g)(x)=2x+1

(g∘f)(x)=2x+2

โดยทั่วไป f∘g อาจไม่เท่ากับ g∘f

1–1

12. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหมายถึง อินพุตต่างกันต้องให้ผลลัพธ์ต่างกัน

f(a)=f(b) ⇒ a=b

ตรวจจากกราฟด้วยการทดสอบเส้นนอน ถ้าเส้นนอนตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด ถือว่าเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

f⁻¹

13. ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันทำหน้าที่ย้อนการทำงานของฟังก์ชันเดิม

f(f⁻¹(x))=x

วิธีหา

เขียน y=f(x)
สลับ x กับ y
แก้สมการหา y
เขียนเป็น f⁻¹(x)

f(x)=2x+3 ⇒ f⁻¹(x)=(x−3)/2

⚡

14. เทคนิคทำข้อสอบ

หาคู่อันดับ ให้แยกตัวหน้าและตัวหลัง
หาโดเมนดูตัวหน้า หาเรนจ์ดูตัวหลัง
ตรวจฟังก์ชันโดยดูว่าตัวหน้าซ้ำแล้วให้ค่าต่างกันหรือไม่
กราฟใช้เส้นตั้งตรวจฟังก์ชัน
ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ และในรากคู่ห้ามติดลบ
ฟังก์ชันประกอบทำด้านในก่อน
ผกผันต้องเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และตรวจด้วยการประกอบกลับ

✏️

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

กำหนด A={1,2,3} และ B={a,b} จงหา n(A×B)

ดูเฉลย

n(A×B)=3×2
ตอบ 6 คู่อันดับ
กำหนด R={(1,2),(2,4),(3,4),(5,6)} จงหาโดเมนและเรนจ์

ดูเฉลย

โดเมน={1,2,3,5}

เรนจ์={2,4,6}
ความสัมพันธ์ {(1,2),(2,3),(2,5)} เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ดูเฉลย

สมาชิกตัวหน้า 2 จับคู่กับทั้ง 3 และ 5

ไม่เป็นฟังก์ชัน
ถ้า f(x)=x²−3x+2 จงหา f(4)

ดูเฉลย

f(4)=16−12+2
ตอบ 6
กำหนด f(x)=2x−1 และ g(x)=x+3 จงหา (f∘g)(x) และ (g∘f)(x)

ดูเฉลย

f(g(x))=2(x+3)−1=2x+5

g(f(x))=(2x−1)+3=2x+2

(f∘g)(x)=2x+5 และ (g∘f)(x)=2x+2

🎓

16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 คู่อันดับ (3,5) มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากับเท่าใด A. 3 B. 5 C. 8 D. 15

ดูคำอธิบาย

คู่อันดับเขียนเป็น (สมาชิกตัวหน้า, สมาชิกตัวหลัง)

ตอบ A

ข้อ 2 คู่อันดับ (a,b) เท่ากับ (c,d) เมื่อใด A. a=d และ b=c B. a=c และ b=d C. a=b และ c=d D. a+c=b+d

ดูคำอธิบาย

คู่อันดับเท่ากันเมื่อตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน

ตอบ B

ข้อ 3 ผลคูณคาร์ทีเซียน A×B หมายถึงข้อใด A. เซตของสมาชิกที่อยู่ร่วมกัน B. เซตของคู่อันดับ (a,b) เมื่อ a∈A และ b∈B C. ผลรวมสมาชิกของ A และ B D. เซตของสมาชิกที่ไม่ซ้ำกัน

ดูคำอธิบาย

A×B คือเซตของคู่อันดับที่ตัวหน้ามาจาก A และตัวหลังมาจาก B

ตอบ B

ข้อ 4 ถ้า A={1,2} และ B={a,b} แล้ว A×B มีสมาชิกกี่ตัว A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

ดูคำอธิบาย

จำนวนสมาชิกของ A×B เท่ากับ 2×2=4

ตอบ C

ข้อ 5 ถ้า n(A)=3 และ n(B)=5 แล้ว n(A×B) เท่ากับเท่าใด A. 8 B. 15 C. 25 D. 125

ดูคำอธิบาย

n(A×B)=n(A)n(B)=3×5=15

ตอบ B

ข้อ 6 ข้อใดเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B A. สับเซตของ A×B B. สับเซตของ A∪B C. สมาชิกของ A เท่านั้น D. สมาชิกของ B เท่านั้น

ดูคำอธิบาย

ความสัมพันธ์จาก A ไป B คือสับเซตของ A×B

ตอบ A

ข้อ 7 โดเมนของความสัมพันธ์คือข้อใด A. สมาชิกตัวหลังทั้งหมด B. สมาชิกตัวหน้าที่ปรากฏ C. สมาชิกที่ซ้ำกัน D. จำนวนคู่อันดับ

ดูคำอธิบาย

โดเมนคือเซตของสมาชิกตัวหน้า

ตอบ B

ข้อ 8 เรนจ์ของความสัมพันธ์คือข้อใด A. สมาชิกตัวหน้า B. สมาชิกตัวหลังที่ปรากฏ C. สมาชิกทั้งหมดในเอกภพ D. จำนวนสมาชิกของโดเมน

ดูคำอธิบาย

เรนจ์คือเซตของสมาชิกตัวหลัง

ตอบ B

ข้อ 9 ความสัมพันธ์ {(1,2),(2,4),(3,6)} มีโดเมนข้อใด A. {1,2,3} B. {2,4,6} C. {1,2,3,4,6} D. {2,3,4}

ดูคำอธิบาย

นำสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับมาเขียนโดยไม่ซ้ำ

ตอบ A

ข้อ 10 ความสัมพันธ์ {(1,2),(2,4),(3,6)} มีเรนจ์ข้อใด A. {1,2,3} B. {2,4,6} C. {1,2,3,4,6} D. {1,3,6}

ดูคำอธิบาย

นำสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับมาเขียนโดยไม่ซ้ำ

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ฟังก์ชันต้องมีเงื่อนไขสำคัญข้อใด A. สมาชิกโดเมนหนึ่งตัวจับคู่ได้หลายค่า B. สมาชิกโดเมนแต่ละตัวมีผลลัพธ์เพียงค่าเดียว C. สมาชิกเรนจ์ห้ามซ้ำ D. โดเมนและเรนจ์ต้องเท่ากัน

ดูคำอธิบาย

ตัวแปรต้นหนึ่งค่าต้องให้ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว

ตอบ B

ข้อ 12 ข้อใดเป็นฟังก์ชัน A. {(1,2),(1,3)} B. {(1,2),(2,3),(3,3)} C. {(2,1),(2,4),(3,5)} D. {(1,2),(1,2),(1,4)}

ดูคำอธิบาย

สมาชิกตัวหน้า 1,2,3 ไม่ซ้ำและแต่ละตัวมีผลลัพธ์เดียว

ตอบ B

ข้อ 13 ข้อใดไม่เป็นฟังก์ชัน A. {(1,2),(2,2)} B. {(1,3),(2,3),(3,3)} C. {(1,2),(1,4)} D. {(0,0),(1,1)}

ดูคำอธิบาย

ตัวหน้า 1 จับคู่กับทั้ง 2 และ 4

ตอบ C

ข้อ 14 ฟังก์ชันสามารถมีสมาชิกต่างกันในโดเมนให้ผลลัพธ์เท่ากันได้หรือไม่ A. ไม่ได้ B. ได้ C. ได้เฉพาะจำนวนคู่ D. ได้เฉพาะฟังก์ชันผกผัน

ดูคำอธิบาย

หลายค่า x สามารถให้ค่า y เดียวกันได้

ตอบ B

ข้อ 15 การทดสอบเส้นตั้งใช้ตรวจอะไร A. กราฟเป็นเส้นตรงหรือไม่ B. กราฟเป็นฟังก์ชันหรือไม่ C. กราฟมีจุดตัดแกนเท่าใด D. กราฟมีความชันบวกหรือไม่

ดูคำอธิบาย

ถ้าเส้นตั้งตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด กราฟนั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

ตอบ B

ข้อ 16 กราฟวงกลม x²+y²=9 เป็นฟังก์ชันของ x หรือไม่ A. เป็น B. ไม่เป็น C. เป็นเฉพาะ x=0 D. เป็นฟังก์ชันคงที่

ดูคำอธิบาย

เส้นตั้งบางเส้นตัดวงกลมสองจุด

ตอบ B

ข้อ 17 สมการ y=2x+3 เป็นฟังก์ชันหรือไม่ A. เป็น B. ไม่เป็น C. เป็นเฉพาะ x>0 D. บอกไม่ได้

ดูคำอธิบาย

ทุกค่า x ให้ค่า y เพียงค่าเดียว

ตอบ A

ข้อ 18 ถ้า f(x)=2x+1 แล้ว f(3) เท่ากับเท่าใด A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

ดูคำอธิบาย

f(3)=2(3)+1=7

ตอบ C

ข้อ 19 ถ้า f(x)=x²−4 แล้ว f(−2) เท่ากับเท่าใด A. −8 B. 0 C. 4 D. 8

ดูคำอธิบาย

f(−2)=(−2)²−4=0

ตอบ B

ข้อ 20 ถ้า f(x)=3x−5 และ f(a)=10 แล้ว a เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 5 C. 10 D. 15

ดูคำอธิบาย

3a−5=10 จึง 3a=15 และ a=5

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 โดเมนของ f(x)=1/(x−2) ต้องยกเว้นค่าใด A. −2 B. 0 C. 1 D. 2

ดูคำอธิบาย

ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ จึง x≠2

ตอบ D

ข้อ 22 โดเมนของ f(x)=√(x−3) ในจำนวนจริงคือข้อใด A. x≤3 B. x<3 C. x≥3 D. x≠3

ดูคำอธิบาย

ค่าภายในรากที่สองต้องไม่ติดลบ

ตอบ C

ข้อ 23 ถ้า f(x)=x+2 และ g(x)=3x แล้ว (f+g)(x) เท่ากับข้อใด A. 3x+2 B. 4x+2 C. 3x²+6 D. x+6

ดูคำอธิบาย

(f+g)(x)=x+2+3x=4x+2

ตอบ B

ข้อ 24 ถ้า f(x)=x+2 และ g(x)=3x แล้ว (fg)(x) เท่ากับข้อใด A. 3x+2 B. 4x+2 C. 3x²+6x D. 3x²+2

ดูคำอธิบาย

(fg)(x)=(x+2)(3x)=3x²+6x

ตอบ C

ข้อ 25 ถ้า f(x)=x+1 และ g(x)=2x แล้ว (f∘g)(x) เท่ากับข้อใด A. 2x+1 B. 2x+2 C. x+3 D. 2x²

ดูคำอธิบาย

f(g(x))=f(2x)=2x+1

ตอบ A

ข้อ 26 ถ้า f(x)=x+1 และ g(x)=2x แล้ว (g∘f)(x) เท่ากับข้อใด A. 2x+1 B. 2x+2 C. x+2 D. 2x²+2

ดูคำอธิบาย

g(f(x))=g(x+1)=2(x+1)=2x+2

ตอบ B

ข้อ 27 โดยทั่วไป f∘g และ g∘f มีค่าเป็นอย่างไร A. เท่ากันเสมอ B. อาจไม่เท่ากัน C. เป็นศูนย์เสมอ D. เป็นฟังก์ชันผกผันเสมอ

ดูคำอธิบาย

ลำดับการประกอบฟังก์ชันมีความสำคัญ

ตอบ B

ข้อ 28 ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งมีลักษณะใด A. x ต่างกันอาจให้ y เดียวกัน B. x ต่างกันต้องให้ y ต่างกัน C. ทุก y ต้องมี x สองค่า D. โดเมนต้องเป็นเซตว่าง

ดูคำอธิบาย

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งไม่ให้ผลลัพธ์ซ้ำจากอินพุตต่างกัน

ตอบ B

ข้อ 29 ถ้า f(x)=2x+3 แล้ว f⁻¹(x) เท่ากับข้อใด A. (x−3)/2 B. (x+3)/2 C. 2x−3 D. 1/(2x+3)

ดูคำอธิบาย

ให้ y=2x+3 สลับ x,y แล้วแก้ y ได้ f⁻¹(x)=(x−3)/2

ตอบ A

ข้อ 30 ข้อใดใช้ตรวจว่าฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน A. ทดสอบเส้นตั้ง B. ทดสอบเส้นนอน C. หาพิสัย D. หาค่าเฉลี่ย

ดูคำอธิบาย

กราฟต้องผ่านการทดสอบเส้นนอน จึงเป็นหนึ่งต่อหนึ่งและมีผกผัน

ตอบ B

📌

17. สรุป

A×B={(a,b) | a∈A, b∈B}

ความสัมพันธ์ R⊆A×B

ฟังก์ชัน: x หนึ่งค่าให้ y เพียงค่าเดียว

(f∘g)(x)=f(g(x))

f(f⁻¹(x))=x

โดเมนดูสมาชิกตัวหน้า
เรนจ์ดูสมาชิกตัวหลัง
ตัวหน้าซ้ำและให้ค่าต่างกัน แสดงว่าไม่เป็นฟังก์ชัน
เส้นตั้งใช้ตรวจฟังก์ชัน
เส้นนอนใช้ตรวจฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
ฟังก์ชันประกอบต้องทำฟังก์ชันด้านในก่อน

จำเป็นขั้นตอน

อ่านการจับคู่ → หาโดเมน–เรนจ์ → ตรวจฟังก์ชัน → แทนค่า → ประกอบฟังก์ชัน → ตรวจหนึ่งต่อหนึ่งก่อนหาผกผัน

EP47 : ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. ปัญหานำ

2. คู่อันดับ

3. ผลคูณคาร์ทีเซียน

4. ความสัมพันธ์

5. โดเมนและเรนจ์

6. ฟังก์ชันคืออะไร

7. การทดสอบเส้นตั้ง

8. สัญลักษณ์และค่าของฟังก์ชัน

9. โดเมนจากสูตร

10. การดำเนินการของฟังก์ชัน

11. ฟังก์ชันประกอบ

12. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

13. ฟังก์ชันผกผัน

14. เทคนิคทำข้อสอบ

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

17. สรุป