EP48 : การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันเกี่ยวเนื่อง

🎯

EP48 • Foundation Mathematics

การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันเกี่ยวเนื่อง

ฝึกอ่านความสัมพันธ์ของปริมาณว่าเปลี่ยนไปในทิศทางเดียวกัน ตรงข้ามกัน หรือเกี่ยวข้องกันหลายตัวแปร

เป้าหมาย

สร้างสมการจากข้อความ หา k และแก้โจทย์การแปรผันตรง ผกผัน ร่วม และเกี่ยวเนื่องได้อย่างรวดเร็ว

❓

1. ปัญหานำ

ถ้า y แปรผันตรงกับ x และ y=12 เมื่อ x=3 จงหา y เมื่อ x=5

y=kx

12=3k ⇒ k=4

เมื่อ x=5 ⇒ y=4(5)=20

↗️

2. การแปรผันตรง

เมื่อ x เพิ่ม y เพิ่มตามสัดส่วนเดียวกัน หรือเมื่อ x ลด y ลดตามสัดส่วนเดียวกัน

y∝x

y=kx

y/x=k

กราฟเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

k

3. ค่าคงที่ของการแปรผัน

k เป็นค่าที่บอกอัตราความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร

k=y/x สำหรับการแปรผันตรง

k=xy สำหรับการแปรผกผัน

ขั้นแรกของโจทย์

นำข้อมูลคู่แรกมาหา k แล้วจึงใช้ k กับข้อมูลชุดใหม่

xⁿ

4. การแปรผันตรงกับกำลังหรือราก

y แปรผันตรงกับ x² ⇒ y=kx²

y แปรผันตรงกับ x³ ⇒ y=kx³

y แปรผันตรงกับ √x ⇒ y=k√x

ต้องอ่านให้ครบว่าแปรผันกับ x หรือ x²

↘️

5. การแปรผกผัน

เมื่อ x เพิ่ม y ลดลง และเมื่อ x ลด y เพิ่มขึ้น โดยผลคูณคงที่

y∝1/x

y=k/x

xy=k

1/xⁿ

6. การแปรผกผันกับกำลังหรือราก

y แปรผกผันกับ x² ⇒ y=k/x²

y แปรผกผันกับ x³ ⇒ y=k/x³

y แปรผกผันกับ √x ⇒ y=k/√x

ระวัง

คำว่า “ผกผันกับ x²” ต้องนำ x² ลงตัวส่วนทั้งหมด

👷

7. โจทย์คนงาน–เวลา

เมื่องานเท่าเดิม จำนวนคนงานกับเวลามักแปรผกผันกัน

คนงาน×เวลา=ค่าคงที่

ตัวอย่าง 6 คนทำงานเสร็จใน 10 วัน ถ้าใช้ 12 คน

6(10)=12t ⇒ t=5 วัน

🚗

8. โจทย์ความเร็ว–เวลา

เมื่อระยะทางคงที่ ความเร็วกับเวลาแปรผกผันกัน

ระยะทาง=ความเร็ว×เวลา

เพิ่มความเร็วเป็น 2 เท่า เวลาจะลดเหลือครึ่งหนึ่ง

xy

9. การแปรผันร่วม

ถ้า z แปรผันตรงร่วมกับ x และ y

z∝xy

z=kxy

ถ้า x เพิ่ม 2 เท่าและ y เพิ่ม 3 เท่า z จะเพิ่ม 6 เท่า

x/y

10. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง

ตัวแปรหนึ่งอาจแปรตรงกับบางปริมาณและแปรผกผันกับอีกปริมาณ

z แปรตรงกับ x และผกผันกับ y ⇒ z=kx/y

z แปรตรงกับ x² และผกผันกับ y³ ⇒ z=kx²/y³

⚖️

11. วิธีเทียบสัดส่วนโดยไม่หา k

เมื่อเป็นสมการรูปเดียวกัน สามารถหารสมการสองสถานการณ์กันได้

y₂/y₁=x₂/x₁ สำหรับ y∝x

y₂/y₁=x₁/x₂ สำหรับ y∝1/x

z₂/z₁=(x₂/x₁)(y₁/y₂) สำหรับ z∝x/y

วิธีนี้เหมาะกับโจทย์ถามการเปลี่ยนเป็นกี่เท่า

🌍

12. ตัวอย่างจากสูตรจริง

พื้นที่วงกลม A=πr² ⇒ A แปรตรงกับ r²
ระยะทาง s=vt ⇒ s แปรตรงกับ v และ t
เวลา t=s/v ⇒ t แปรตรงกับ s และผกผันกับ v
แรงโน้มถ่วง F∝m₁m₂/r²

⚡

13. เทคนิคทำข้อสอบ

วงคำว่า “ตรง”, “ผกผัน”, “กำลังสอง”, “ราก”
ตัวที่แปรตรงเขียนไว้ตัวเศษ
ตัวที่แปรผกผันเขียนไว้ตัวส่วน
ใส่ k เพียงหนึ่งตัว
ใช้ข้อมูลชุดแรกหา k
ถ้าถามเป็นกี่เท่า ใช้วิธีเทียบอัตราส่วนจะเร็วกว่า
ตรวจทิศทางคำตอบ: แปรตรงควรไปทางเดียวกัน ผกผันควรสวนทางกัน

✏️

14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

ถ้า y แปรผันตรงกับ x และ y=18 เมื่อ x=6 จงหา y เมื่อ x=10

ดูเฉลย

y=kx, 18=6k ⇒ k=3

เมื่อ x=10, y=3(10)
ตอบ 30
ถ้า y แปรผกผันกับ x และ y=8 เมื่อ x=3 จงหา y เมื่อ x=12

ดูเฉลย

xy=k ⇒ k=8×3=24

y=24/12
ตอบ 2
ถ้า z แปรผันตรงกับ x² และ z=20 เมื่อ x=2 จงหา z เมื่อ x=5

ดูเฉลย

z=kx², 20=4k ⇒ k=5

z=5(25)
ตอบ 125
คนงาน 8 คนทำงานเสร็จใน 15 วัน ถ้าเพิ่มเป็น 12 คน จะใช้เวลากี่วัน

ดูเฉลย

8(15)=12t
ตอบ 10 วัน
ถ้า z แปรตรงกับ x และผกผันกับ y โดย z=12 เมื่อ x=8,y=2 จงหา z เมื่อ x=15,y=5

ดูเฉลย

z=kx/y, 12=8k/2=4k ⇒ k=3

z=3(15)/5
ตอบ 9

🎓

15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ถ้า y แปรผันตรงกับ x เขียนสมการได้ข้อใด A. y=kx B. y=k/x C. xy=kx D. y=x+k

ดูคำอธิบาย

การแปรผันตรงเขียนได้เป็น y=kx

ตอบ A

ข้อ 2 ในสมการ y=kx ตัว k หมายถึงอะไร A. ตัวแปรตาม B. ค่าคงที่ของการแปรผัน C. ตัวแปรต้น D. จุดตัดแกน x

ดูคำอธิบาย

k คือค่าคงที่ของการแปรผัน

ตอบ B

ข้อ 3 ถ้า y แปรผันตรงกับ x และ y=12 เมื่อ x=3 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 9 D. 36

ดูคำอธิบาย

12=3k จึง k=4

ตอบ B

ข้อ 4 จากข้อก่อน เมื่อ x=5 แล้ว y เท่ากับเท่าใด A. 15 B. 20 C. 25 D. 60

ดูคำอธิบาย

y=4x จึง y=20

ตอบ B

ข้อ 5 ถ้า y แปรผันตรงกับ x แล้วอัตราส่วนใดคงที่ A. xy B. y/x C. x+y D. x−y

ดูคำอธิบาย

จาก y=kx จะได้ y/x=k

ตอบ B

ข้อ 6 กราฟของการแปรผันตรง y=kx ผ่านจุดใดเสมอ A. (0,0) B. (0,k) C. (k,0) D. (1,0)

ดูคำอธิบาย

เมื่อ x=0 จะได้ y=0

ตอบ A

ข้อ 7 ถ้า y แปรผันตรงกับ x² เขียนได้ข้อใด A. y=kx B. y=kx² C. y=k/x² D. y=x²+k

ดูคำอธิบาย

แปรผันตรงกับ x² หมายถึง y=kx²

ตอบ B

ข้อ 8 ถ้า y=3x² เมื่อ x=2 แล้ว y เท่ากับเท่าใด A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

ดูคำอธิบาย

y=3(2²)=12

ตอบ C

ข้อ 9 ถ้า y แปรผันตรงกับ √x เขียนได้ข้อใด A. y=k√x B. y=k/√x C. y=kx² D. y=√(kx) เสมอ

ดูคำอธิบาย

นำปริมาณที่กล่าวว่าแปรผันตรงมาคูณ k

ตอบ A

ข้อ 10 ถ้า y แปรผันตรงกับ x และ x เพิ่มเป็น 3 เท่า y จะเป็นอย่างไร A. ลดเหลือ 1/3 B. เพิ่มเป็น 3 เท่า C. เพิ่มเป็น 9 เท่า D. ไม่เปลี่ยน

ดูคำอธิบาย

การแปรผันตรงเปลี่ยนในสัดส่วนเดียวกัน

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ถ้า y แปรผกผันกับ x เขียนสมการได้ข้อใด A. y=kx B. y=k/x C. y=x/k D. y=k+x

ดูคำอธิบาย

การแปรผกผันเขียนเป็น y=k/x

ตอบ B

ข้อ 12 ถ้า y แปรผกผันกับ x แล้วปริมาณใดคงที่ A. y/x B. xy C. x+y D. x−y

ดูคำอธิบาย

จาก y=k/x จะได้ xy=k

ตอบ B

ข้อ 13 ถ้า y แปรผกผันกับ x และ y=6 เมื่อ x=4 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 10 C. 24 D. 64

ดูคำอธิบาย

k=xy=6×4=24

ตอบ C

ข้อ 14 จากข้อก่อน เมื่อ x=8 แล้ว y เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 3 C. 4 D. 12

ดูคำอธิบาย

y=24/8=3

ตอบ B

ข้อ 15 ถ้า y แปรผกผันกับ x และ x เพิ่มเป็น 2 เท่า y จะเป็นอย่างไร A. เพิ่มเป็น 2 เท่า B. ลดเหลือครึ่งหนึ่ง C. เพิ่มเป็น 4 เท่า D. ไม่เปลี่ยน

ดูคำอธิบาย

ผลคูณ xy ต้องคงที่

ตอบ B

ข้อ 16 ถ้า y แปรผกผันกับ x² เขียนได้ข้อใด A. y=kx² B. y=k/x² C. y=k√x D. y=x²/k

ดูคำอธิบาย

แปรผกผันกับ x² หมายถึง y=k/x²

ตอบ B

ข้อ 17 ถ้า y=36/x² เมื่อ x=3 แล้ว y เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 4 C. 6 D. 12

ดูคำอธิบาย

y=36/9=4

ตอบ B

ข้อ 18 ถ้า y แปรผกผันกับ √x เขียนได้ข้อใด A. y=k√x B. y=k/√x C. y=k/x² D. y=√x/kx

ดูคำอธิบาย

แปรผกผันให้เขียนปริมาณนั้นไว้ในตัวส่วน

ตอบ B

ข้อ 19 คนงานกับเวลาทำงานเดิมโดยงานเท่าเดิม มักเป็นการแปรผันแบบใด A. ตรง B. ผกผัน C. คงที่ D. กำลังสอง

ดูคำอธิบาย

คนงานมากขึ้น เวลาลดลง โดยผลคูณคนงาน×เวลาคงที่

ตอบ B

ข้อ 20 ความเร็วกับเวลาเดินทางเมื่อระยะทางคงที่เป็นการแปรผันแบบใด A. ตรง B. ผกผัน C. เกี่ยวเนื่องตรง D. ไม่เกี่ยวกัน

ดูคำอธิบาย

เวลา=ระยะทาง/ความเร็ว

ตอบ B

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 ถ้า z แปรผันตรงกับ x และ y เขียนได้ข้อใด A. z=kxy B. z=kx/y C. z=ky/x D. z=k/(xy)

ดูคำอธิบาย

แปรผันตรงร่วมกับ x และ y จึงคูณกัน

ตอบ A

ข้อ 22 ถ้า z แปรผันตรงกับ x และแปรผกผันกับ y เขียนได้ข้อใด A. z=kxy B. z=kx/y C. z=ky/x D. z=k/(xy)

ดูคำอธิบาย

ตัวที่แปรตรงอยู่ตัวเศษ ตัวที่แปรผกผันอยู่ตัวส่วน

ตอบ B

ข้อ 23 ถ้า z แปรผันตรงกับ x² และแปรผกผันกับ y เขียนได้ข้อใด A. z=kx²/y B. z=kxy² C. z=ky/x² D. z=k/(x²y)

ดูคำอธิบาย

x² อยู่ตัวเศษและ y อยู่ตัวส่วน

ตอบ A

ข้อ 24 ถ้า z=kxy และ z=24 เมื่อ x=3,y=2 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 4 C. 6 D. 12

ดูคำอธิบาย

24=k(3)(2) จึง k=4

ตอบ B

ข้อ 25 จากข้อก่อน เมื่อ x=5,y=3 แล้ว z เท่ากับเท่าใด A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

ดูคำอธิบาย

z=4×5×3=60

ตอบ D

ข้อ 26 ถ้า z=kx/y และ z=10 เมื่อ x=4,y=2 แล้ว k เท่ากับเท่าใด A. 2 B. 5 C. 10 D. 20

ดูคำอธิบาย

10=4k/2=2k จึง k=5

ตอบ B

ข้อ 27 จากข้อก่อน เมื่อ x=9,y=3 แล้ว z เท่ากับเท่าใด A. 10 B. 15 C. 20 D. 45

ดูคำอธิบาย

z=5×9/3=15

ตอบ B

ข้อ 28 พื้นที่วงกลมแปรผันตรงกับปริมาณใด A. รัศมี B. รัศมีกำลังสอง C. ส่วนกลับของรัศมี D. เส้นผ่านศูนย์กลางกำลังสาม

ดูคำอธิบาย

A=πr²

ตอบ B

ข้อ 29 แรงโน้มถ่วงตามแบบจำลอง F∝1/r² เป็นการแปรผันแบบใด A. ตรงกับ r B. ผกผันกับ r C. ผกผันกับ r² D. ตรงกับ r²

ดูคำอธิบาย

F=k/r²

ตอบ C

ข้อ 30 ถ้า y แปรผันตรงกับ x และผกผันกับ z² เมื่อ x เพิ่ม 2 เท่าและ z เพิ่ม 2 เท่า y เปลี่ยนอย่างไร A. เพิ่ม 2 เท่า B. ลดเหลือครึ่งหนึ่ง C. ลดเหลือ 1/4 D. เพิ่ม 4 เท่า

ดูคำอธิบาย

y∝x/z² จึงคูณด้วย 2/4=1/2

ตอบ B

📌

16. สรุป

แปรตรง: y=kx และ y/x=k

แปรผกผัน: y=k/x และ xy=k

แปรร่วม: z=kxy

แปรเกี่ยวเนื่อง: z=kx/y

แปรตรงเปลี่ยนไปในสัดส่วนเดียวกัน
แปรผกผันเปลี่ยนสวนทางกัน
ตัวที่แปรตรงอยู่ตัวเศษ
ตัวที่แปรผกผันอยู่ตัวส่วน
ต้องรักษากำลังหรือรากตามข้อความโจทย์
หา k จากข้อมูลชุดแรกก่อนแทนข้อมูลชุดใหม่

จำเป็นขั้นตอน

แปลข้อความ → เขียนสมการ → หา k → แทนค่าใหม่ → ตรวจทิศทางและหน่วยของคำตอบ

EP48 : การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันเกี่ยวเนื่อง

เส้นทางสู่เป้าหมาย

การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันเกี่ยวเนื่อง

1. ปัญหานำ

2. การแปรผันตรง

3. ค่าคงที่ของการแปรผัน

4. การแปรผันตรงกับกำลังหรือราก

5. การแปรผกผัน

6. การแปรผกผันกับกำลังหรือราก

7. โจทย์คนงาน–เวลา

8. โจทย์ความเร็ว–เวลา

9. การแปรผันร่วม

10. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง

11. วิธีเทียบสัดส่วนโดยไม่หา k

12. ตัวอย่างจากสูตรจริง

13. เทคนิคทำข้อสอบ

14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

16. สรุป